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1、高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示二 课件 新人教A版必修本讲稿第一页，共二十三页2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示本讲稿第二页，共二十三页问题提出问题提出 1.1.向量加法与减法有哪几种几何运算向量加法与减法有哪几种几何运算法则？法则？2.2.怎样理解向量的数乘运算怎样理解向量的数乘运算a？（1 1）|a a|=|=|a a|；（2 2）0 0时，时，a与与a方向相同；方向相同；0 0时，时，a与与a方向相反；方向相反；=0=0时，时，a=0.=0.本讲稿第三页，共二十三页3.3.平面向量共线定理是什么？平面向量共线定理是什么？4.4.如图，光滑斜面上一个
2、木块受到的重如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为力为G G，下滑力为，下滑力为F F1 1，木块对斜面的压，木块对斜面的压力为力为F F2 2，这三个力的方向分别如何？，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？三者有何相互关系？G GF F1 1F F2 2非零向量非零向量a与向量与向量b共线共线 存在唯存在唯一实数一实数，使，使ba.本讲稿第四页，共二十三页5.5.在物理中，力是一个向量，力的合成就在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算是向量的加法运算.力也可以分解，任何力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和个
3、不同方向的分力之和.将这种力的分解将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论论.本讲稿第五页，共二十三页探究（一）：平面向量基本定理探究（一）：平面向量基本定理 思考思考1 1：给定平面内任意两个向量给定平面内任意两个向量e1 1，e2 2，如何求作向量如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？e1 1e2 22 2e2 2B BC CO O3 3e1 1A Ae1 1D D3 3e1 12 2e2 2e1 1-2-2e2 2本讲稿第六页，共二十三页思考思考2 2：如图，设如图，设OAOA，OBOB，OCOC为三条共点
4、射为三条共点射线，线，P P为为OCOC上一点，能否在上一点，能否在OAOA、OBOB上分别上分别找一点找一点M M、N N，使四边形，使四边形OMPNOMPN为平行四边形为平行四边形？M MN NO OA AB BC CP P本讲稿第七页，共二十三页思考思考3 3：在下列两图中，向量在下列两图中，向量不共线，能否在直线不共线，能否在直线OAOA、OBOB上分别找一点上分别找一点M M、N N，使，使？O OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N本讲稿第八页，共二十三页O OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N本讲稿第九页，共二十三页思
5、考思考5 5：若上述向量若上述向量e1 1，e2 2，a都为定向量，都为定向量，且且e1 1，e2 2不共线，则实数不共线，则实数1 1，2 2是否存在？是否存在？是否唯一？是否唯一？O OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N本讲稿第十页，共二十三页思考思考6 6：若向量若向量a与与e1 1或或e2 2共线，共线，a还能用还能用1 1e1 12 2e2 2表示吗？表示吗？e1 1aa=1 1e1 1+0+0e2 2e2 2aa=0 0e1 1+2 2e2 2本讲稿第十一页，共二十三页思考思考7 7：根据上述分析，平面内任一向量根据上述分析，平面内任一向量a都都可以
6、由这个平面内两个不共线的向量可以由这个平面内两个不共线的向量e1 1，e2 2表示出来，从而可形成一个定理表示出来，从而可形成一个定理.你能完你能完整地描述这个定理的内容吗？整地描述这个定理的内容吗？若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，则是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对，有且只有一对实数实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.本讲稿第十二页，共二十三页思考思考8 8：上述定理称为上述定理称为平面向量基本定理平面向量基本定理，不共线向量不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有叫做表示这一平面内所有向量的一组向量的
7、一组基底基底.那么同一平面内可以作那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？的表示式是否相同？若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线向量，则对是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数1 1，2 2，使，使a1e12e2.本讲稿第十三页，共二十三页探究探究(二二):):平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 00，180180 思考思考1 1：不共线的向量有不同的方向，对不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量于两个非零向量
8、a和和b，作，作 a，b，如图如图.为了反映这两个向量的位置关系，为了反映这两个向量的位置关系，称称AOBAOB为向量为向量a与与b的的夹角夹角.你认为向量你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？的夹角的取值范围应如何约定为宜？baabA AB BO O本讲稿第十四页，共二十三页思考思考2 2：如果向量如果向量a与与b的夹角是的夹角是9090，则称，则称向量向量a与与b垂直垂直，记作，记作ab.互相垂直的两互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ba本讲稿第十五页，共二十三页思考思考3 3：把一个向量分解为两个互相垂直把一个向量分解为两个互相
9、垂直的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解.如图，向量如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量是两个互相垂直的单位向量，向量a与与i的夹角是的夹角是3030，且，且|a|=4|=4，以向量，以向量i、j为基为基底，向量底，向量a如何表示？如何表示？B BaiO OjA AP P本讲稿第十六页，共二十三页思考思考4 4：在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对作为基底，对于平面内的一个向量于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数知，有且
10、只有一对实数x x、y y，使得，使得 ax xiy yj.我们把我们把有序数对（有序数对（x x，y y）叫做向量）叫做向量a的坐标，的坐标，记作记作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫叫做做a在在y y轴轴上的坐标，上式叫做向量上的坐标，上式叫做向量的的坐标表示坐标表示.那么那么x x、y y的的几何意义如何？几何意义如何？aix xy yO Ojx xy y本讲稿第十七页，共二十三页思考思考5 5：相等向量的坐标必然相等，作向相等向量的坐标必然相等，作向量量 a，则，则 (x(x，y)y)，此时点，此时点A A是坐是坐标是什么？标是什
11、么？A Aaix xy yO OjA(x,y)A(x,y)本讲稿第十八页，共二十三页理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，已知向量如图，已知向量e1 1、e2 2，求作向量，求作向量2.52.5e1 13 3e2 2.e1e2C CO OA A2.52.5e1 1B B3 3e2 2本讲稿第十九页，共二十三页例例2 2 如图，写出向量如图，写出向量a，b，c，d的坐标的坐标.2452abcd4 252xyOa=(2,3)=(2,3)b=(-2,3)=(-2,3)c=(-2,-3)=(-2,-3)d=(2,-3)=(2,-3)本讲稿第二十页，共二十三页 例例3 3 如图，在平行四边形如图，在平行四
12、边形ABCDABCD中，中，=a，=b，E E、M M分别是分别是ADAD、DCDC的中点，的中点，点点F F在在BCBC上，且上，且BC=3BFBC=3BF，以，以a，b为基底分为基底分别表示向量别表示向量 和和 .A AB BE ED DC CF FM M本讲稿第二十一页，共二十三页小结作业小结作业 1.1.平面向量基本定理是建立在向量加平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点承前起后的重要知识点.2.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是的一个几何量，平行向量的夹角是00或或180180，垂直向量的夹角是，垂直向量的夹角是90.90.本讲稿第二十二页，共二十三页 3.3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义对应关系，它使得向量具有代数意义.将向将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标终点坐标就是向量的坐标.作业：作业：P P102102习题习题2.32.3 B B组组：3 3，4 4.本讲稿第二十三页，共二十三页