人教出版数学九学年上册归纳.doc

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1、,第二十一章 二次根式1、 形如（)的式子叫二次根式。 0（一个非负数的算术平方根是非负数）2、 ， （）3、4、 ， 5、 ， 6、 代数式：用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子。7、 最简二次根式：满足下列条件的二次根式 被开方数不含分母，分母中不含根号。 被开方数中不含开得尽方的因数或因式。8、 同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。9、 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式合并。10、 二次根式的加、减、乘、除和化简，最后结果都要化为最简二次根式或有理式。11、 三个非负数： ， 12

2、、求取值范围 分式：分式有意义，分母不等于0。 零次幂： 零次幂有意义，底数不等于0。 二次根式：二次根式有意义，被开方数大于等于0。13、在面积相等的平面图形中，圆的周长最小。在面积相等的矩形中，正方形的周长最小。在周长相等的平面图形中，圆的面积最大。在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。14、 ， ， 15、16、两个特殊直角三角形三条边间的数量关系。17、乘法公式： 18、19、海伦-秦九韶公式： 如果一个三角形的三边长分别是 ,设，则三角形的面积为 = 20、分母有理化：分子有理化：21、满足下列条件： ， ，23、24、有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那

3、么这两个代数式相互叫做有理化因式 。（一个根式的有理化因式可以有无数个）25、 第二十二章 一元二次方程2、 一元二次方程：等号的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的方程。2、 一元二次方程的一般形式： 是常数项。3、 一元方程的解也叫做一元方程的根。4、 解一元二次方程的思想方法-降次。5、 直接开平方法。 。 直接开平方法，都能用平方差公式分解因式解。6、 配方法： 常数项移到方程的右边。二次项、一次项在方程的左边。 把二次项系数化为1。 方程两边都加上一次项系数一半的平方。 方程左边化成完全平方式，右边合并同类项。 利用直接开平方法解方程。7、 公式法： 8、 根的判

4、别式： 一元二次方程有两个不相等的实数根。 一元二次方程有两个相等的实数根。 一元二次方程没有实数根。 一元二次方程有实数根。12、 因式分解法：13、 一元二次方程 的根与系数关系（韦达定理）（两根 ） , 26、 黄金分割数。27、 实际问题与一元二次方程。 两个时间段的增长率、下降率。 连续整数、连续偶数、连续奇数的乘积。 面积问题。 两轮传染问题 植物分支问题 比赛场次问题。 握手问题。 多边形对角线的条数: 28、29、 以为两根的一个一元二次方程是： 8、 ，。 。是常数。则可以看做是一元二次方程：的两根。16、方程有一根是1 方程有一根是-1 方程有一根是0 方程的两根互为相反

5、数方程的两根互为倒数17、 ，则18、 两正数的和是定值，当这两个数相等时，这两个数的乘积最大。两正数的积是定值，当这两个数相等时，这两个数的和最小。19、一元二次方程 或者说方程，都要注意： 第二十三章 旋转1、 图形的旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度。 O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变成点P,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。2、 对应点到旋转中心的距离相等。 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 旋转前、后的图形全等。 对应线段（或所在直线）相交所成的角中有一个等于旋转角。3、 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与

6、另一个图形重合，那么就说这两个图形（关于这个点对称）。这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。4、 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。 中心对称的两个图形是全等的图形。5、 把一个图形围绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点是它的对称中心。6、 常见的中心对称图形（图案）： 几何图形、数字、字母、扑克牌等 判定一个图形（图案）是中心对称图形（图案）的方法。7、 点P（x , y)关于x轴对称的点的坐标是（x , -y) 。 点P（x , y)关于Y轴对称的点的坐标是（-x ,

7、 y)。 点P（x , y)关于原点对称的点的坐标是（-x , -y) 。8、 旋转对称性：如果一个图形绕着某点O旋转角后所得的图形与原图形重合。9、 正多边形关于其中心有的旋转对称性，它是n重的。 圆关于圆心有任意角的旋转对称性。中心对称图形是具有旋转对称性的图形，但具有旋转对称性的图形不一定是中心对称图形。比如正奇数边形。10、旋转对称性在解题中的应用。9、 作一个图形绕某点顺(逆)转动一定角度后的图形。 作一个图形关于某点对称的图形。 已知两个图形关于某点旋转对称，作出旋转中心。 已知两个图形关于某点中心对称，作出对称中心。3、 反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形。它又是关于对

8、称的轴对称图形。14、 点关于对称的点是 点关于对称的点是第二十四章 圆1、 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径。2 圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到O的距离等于定长r的点的集合。 圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r). 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。3、 弦：连接圆上任意两点的线段。 直径：经过圆心的弦。圆心是直径的中点。 直径是圆中最长的弦。 同一个圆中的两条直径互相平分。4、 圆弧（简称弧）：圆上任意两点的部分。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧。 优弧：大

9、于半圆的弧。 劣弧：小于半圆的弧。5、 等圆：能够重合的两个圆。 半径相等的两个圆是等圆。 同圆或等圆的半径相等。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。6、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 圆关于圆心有任意角的旋转对称性。7、 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。8、 垂径定理的一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦同，并且平分弦所对的两条弧。9、 跨度、拱高。10、 圆心角：顶点在圆心的角。圆心角的度数等于所对弧的度数。圆周角：顶点在圆心，角的两边都与圆相交。圆周角等于它所对的弧的度数的一半。等于这条弧所对的

10、圆心角的一半。11、 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。12、 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧相等。13、 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心的一半。14、 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等。15、 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，900 的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。16、 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。 17、 圆内接多边形：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上。

11、 18、圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的外角等于内对角。对角互补的四边形必有一外接圆。（对角互补的四边形四点共圆）19、如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 它是“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。”这个定理的逆定理。20、 两条平行弦所夹的弧相等 （在同圆中，相等的两条弧对应的两条线段平行）求两条平行弦间的距离有两种可能。21、 圆内接平行四边形是矩形。矩形一定有一个外接圆。圆内接菱形是正方形。圆内接梯形是等腰梯形。22、 点和圆的位置关系 圆O的半径为r,点p到圆心的距离OP=d位置关系点P在圆内点P在圆上点P在圆外数量关系dr23、 经过一点可

12、以做无数个圆 经过两点可以做无数个圆，圆心在两点连线段的垂直平分线上。 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 过同一直线上的三点不能作圆。24、 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。（一个圆有无数个内接三角形，一个圆有无数个内接多边形。）圆心叫做三角形的外心，它是三边垂直平分线的交点。外心到三顶点的距离相等。这个距离就是外接圆半径。锐角三角形的外心在三角形内。 直角三角形的外心是斜边的中点。（所以直角三角形的外接圆半径R= ，c表示斜边。）钝角三角形的外心在三角形的外面。25、 反证法26、 直线和圆相交：直线和圆有两个公共点。 这条直线叫做圆的割线。27、 直线和圆相切

13、：直线和圆只有一个公共点。 这条直线叫做圆的切线。这个点叫做切点。28、 直线和圆相离：直线和圆没有公共点。29、 直线和圆的位置关系圆O的半径为r,O到直线的距离为d,位置关系相交相切相离数量关系dr30、 切线的判定定理： 和圆有惟一的公共点。 和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 经过半径外端和半径垂直的直线是圆的直线。 弦切角定理逆定理。 切割线定理逆定理。31、 证明切线的具体方法： 有切点，连半径，证垂直。 无切点，作垂直，证半径。32切线的性质： 与圆有惟一公共点。 与圆心的距离等于半径。 圆的切线垂直过切点的半径。 过圆心且垂直于切线的直线过切点。 过切点且垂直于切线的直线过

14、圆心。33、 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。34、 切线长定理（圆幂定理之一）：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。35、 同一个圆的两条切线相交，有切线长定理。同一个圆的两条切线平行，两个切点的连线段是直径。36、与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。（它是这个多边形能够覆盖的圆中面积最大的圆，但多边形的外接圆不是能够覆盖这个多边形的面积最小的圆。） 多边形叫做这个圆的外切多边形。（一个圆有无数个外切多边形）37、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆（三角形叫做这个圆的外切三角形） 内切圆的圆

15、心叫做三角形的内心，它是三条角平分线的交点。内心到三边的距离相等，这个距离就是内切圆半径r , s表示三角形的面积，p表示半周长。38、直角三角形的内切圆半径： = ，c表示直角三角形的斜边。39、 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离包括内含和外离。40、 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切包括内切和外切。41、如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。半径不相等的两个圆，相交时有圆心在公共弦同侧和异侧两种情况。已知相交两圆半径和公共弦长，求圆心距时有两种情况。42、相交两圆的连心线垂直平分公共弦。相切两圆的连心线必过切点。43、圆心距：两个圆心的距离连心线

16、：连接两个圆心的直线。44、圆和圆的位置关系 两个圆的半径分别为r1和r2(r1r2),圆心距为d。 位置关系内含内切相交外切外离数量关系0dr2-r1d=r2-r1r2-r1dr2+r1公共点个数0121045、 在相交、外切、外离时，两圆半径可以相等。（在相交时，两个圆心不能在公共弦的同侧）46、 两个圆组成的图形，是个轴对称图形，连心线就是对称轴。47、各边相等、各角相等的多边形叫正多边形。 （三角形三边相等得到三角相等。三角相等得到三边相等。）48、把一个圆n（n3）等分： 顺次连接这n个分点，得到的多边形是这个圆的内接多边形，它是正多边形。圆心叫做正多边形的中心，圆的半径叫做正多边形

17、的半径。圆心到边的距离叫做正多边形的边心距。每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距是正多边形的内切圆的半径。正多边形有一个外接圆和一个内切圆，两个圆是一个同心圆。经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形。它是正多边形。49、圆内接等边多边形是正多边形。圆内接等角多边形不一定是正多边形。（如矩形）圆内接等角奇数边形是正多边形。圆外切等角多边形是正多边形。圆外切等边多边形不一定是正多边形。（如菱形）圆外切等边奇数边形是正多边形。50、利用圆和量角器作正多边形。51、尺规作图作正三、四、六、五52、 正n边形的半径和边心距把正n边形分成n个全等的等腰

18、三角形，2n个全等的直角三角形。53、 正多边形的有关计算：n内角中心角半径边心距边长周长面积三6001200R四900900R2R2六1200600RR6R五R八R十R十二R3R2， 54、 正n边形是轴对称图形，有n条对称轴。 正2n边形是中心对称图形，对称中心是中心。 正n边形关于其中心有的旋转对称性。 （边数相同的正多边形都相似。）54、 等边三角形：55、 等腰直角三角形： =56、 300、600、900直角三角形： =57、半径是R，n0的圆心角所对的弧长为： 58、半径是R，圆心角为n0的扇形面积为： = ，59、圆锥的母线长为，底面圆的半径为r,圆锥侧面展开图的圆心角为n0,

19、则： 60、曲边梯形的面积：60、 对角线相等的多边形： 等腰梯形、矩形（正方形）、正五边形60、圆外切四边形对边之和相等。（菱形必有一个内切圆。）圆外切矩形是正方形。圆外切平行四边形是菱形。圆外切偶数边形两两互不相邻边之和等于周长的一半。61、圆环的面积等于 以和小圆相切的大圆的弦为半径 的圆的面积。62、作图： 作三角形、矩形、正方形的外接圆。 作三角形、菱形、正方形的内切圆。 已知一段弧，确定它的圆心。 作正三、四、六边形。 平分一弧，做一弧所在圆的圆心。62、 圆中作辅助线的口诀及技巧: (一）口诀 半径弦长弦心距，勾股定理做道具。切线应用及证明，切点圆心半径连。 遇到直径想直角，一般

20、特殊来转化。弦弧中点圆心连，垂径定理记心间。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。相交两圆公共弦，圆心切点连成线。 (二)：圆中常见辅助线的添加技巧: 1、遇到弦时（解决有关弦的问题时） （1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形， 根据勾股定理求有关量。 （2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：可得等腰三角形； 据圆周角的性质可得相等的圆周角。 2、遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。

21、作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3、遇到90的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4、 遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直） 作用：利用切线的性质定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。 5、遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段， 再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）， 再证其与直线垂直。 6、 遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得：

22、（1）内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； （2）内心到三角形三条边的距离相等 （等面积法求半径要记住） 7、 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 作用：外心到三角形各顶点的距离相等。 63、弦切角：顶点在圆上，一边是圆的切线，一边是圆的割线。64、弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。等于它所夹的弧的度数的一半。如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个角也相等。65、 同弦所对的圆内角圆上角圆外角 66、四点共圆： 四点到某一点距离相等。 同弦所对的圆周角相等的逆定理。 对角互补的四边形四点共圆。 相交弦定理的逆定理。 割线定理的逆定理。67、相交弦定理：68、切割线定理：69、割线

23、定理：70、三角形的外接圆半径R： = 第二十五章 概率初步1、 必然事件：在一定条件下，必然发生的事件。不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件。必然事件和不可能事件统称为确定事件2、 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。3、 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。4、一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率。记为P（A）5、 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A发包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率。6、 特别地，当A为必然事件时，P（A）=1； 当A为不可能事件时，P（A）=0。7、用列举法求概率。 用列表法求概率。 用树形图求概率。8、 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P（A）= p.9、 一般地，即使试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等，我们也可以通过试验的方法去估计一个随机事件发生的概率，只要试验的次n足够大，频率就可以作为概率p的估计值。 将试验次数最多的频率值的最后一个有效数字四舍五入，作为概率的估计值。