有理数的乘方及混合运算(基本).doc

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1、,有理数的乘方、混合运算及科学记数法(基础)撰稿:吴婷婷 审稿:常春芳【学习目标】1理解有理数乘方的定义;2. 掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算;3. 进一步掌握有理数的混合运算.4. 会用科学记数法表示大数.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power)即有:.在中,叫做底数, n叫做指数要点诠释: (1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果 (2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来(3)一个数可以看作这个数本身的一次方例如,5就是51,指数1通常省略不写 要点二

2、、乘方运算的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,如 0要点诠释: (1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值(2)任何数的偶次幂都是非负数要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行要点诠释: (1)有理数运算分三级,并且从高级到低级进行运算,加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)

3、是第三级运算; (2)在含有多重括号的混合运算中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行(3)在运算过程中注意运算律的运用要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式(其中是整数数位只有一位的数,l|10,是正整数),这种记数法叫做科学记数法,如.要点诠释:(1)负数也可以用科学记数法表示,“”照写,其它与正数一样,如=;(2)把一个数写成形式时,若这个数是大于10的数,则n比这个数的整数位数少1.【典型例题】类型一、有理数乘方【高清课堂:有理数的乘方及混合运算 356849 有理数乘方的性质】1计算:(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)【答案与解析

4、】(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)【总结升华】与不同,而表示的n次幂的相反数举一反三:【变式】比较与的异同【答案】相同点:它们的结果相同,指数相同;不同点:表示-5的3次方,即(-5)(-5)(-5)-125,而表示5的3次方的相反数,即-(555)因此,它们的底数不同,表示的意义不同类型二、乘方的符号法则2不做运算,判断下列各运算结果的符号(-2)7,(-3)24,(-1.0009)2009,-(-2)2010【思路点拨】理解乘方的意义,掌握乘方的符号法则【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断,可得:(-2)7运算的结果是负;(-3)24运算的结果为正;(-1

5、.0009)2009运算的结果是负;运算的结果是正;-(-2)2010运算的结果是负【总结升华】“一看底数,二看指数”,当底数是正数时,结果为正;当底数是0时,结果是0;当底数是负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数,结果为负类型三、有理数的混合运算【高清课堂:有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题1】3.计算:(1)(2)(3)(4)【答案与解析】(1)法一:原式;法二:原式= (2)原式(3) 原式(-24)-1-8=-32-3+66-9=22 (4) 原式=-1000-25+11=-1014【总结升华】有理数的混合运算,确定运算顺序是关键,细心计算是运算正确的前提

6、举一反三:【变式】计算:(1) (2)【答案】原式原式类型四、科学记数法4. 用科学记数法表示:(1);(2)亿;(3)【答案与解析】(1)把写成时,它是将原数的小数点向左移动9位得到的,即把原数缩小到,所以;(2)亿=300 000 000 000,把亿写成时,的值应比 300 000 000 000的整数位少1,因此 ,所以3000亿=;(3)写成时,“-”照写,其它和正数一样,所以.【总结升华】带有文字单位的数先变为原数,再写成形式,的确定:n比这个数的整数位数少1.举一反三:【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据,本市常住人口760.57万人,其中760.57万人用科学记数法表

7、示为 ( ) A7.605 7人 B7.605 7人 C7.605 7人 D 0.760 57人【答案】B5. 把下列用科学记数法表示的数转化成原数. (1); (2); (3)千米【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用(1);(2);(3)千米=千米.【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数,方法简单:是几就将中的小数点向右移动几位.类型五、探索规律 6.你见过拉面馆的师傅拉面吗?他们用一根粗的面条,第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条,再把两头捏在一起抻拉,反复数次,就能拉出许多根细面条,如下图,第3次捏合抻拉得到 根面条,第5次捏合抻拉得到 根面条,第次捏合抻拉得到 根面条,要想得到6

8、4根细面条,需 次捏合抻拉. 第1次 第2次 第3次【思路点拨】本题考查了有理数的乘方,解题的关键是找出每一次拉出来面条的根数的规律 第1次:;第2次:;第3次:;第次:.【答案】8;32; 6【解析】由题意可知,每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍,所以可得到:第1次:;第2次:;第3次:;第次:.第3次捏合抻拉得到面条根数:,即8根;第5次得到:,即32根;第次捏合抻拉得到;因为,所以要想得到64根面条,需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是:从所给的特殊情形入手,再经过猜想归纳,从看似杂乱的问题中找出内在的规律,使问题变得有章可循举一反三:【变式】已知212,224,

9、238,2416,2532,观察上面的规律,试猜想22008的末位数字是_【答案】6【巩固练习】一、选择题1下列各组数中,计算结果相等的是 ( )A-23与(-2)3 B-22与(-2)2 C与 D与2下列说法中,正确的是( )A一个数的平方一定大于这个数 B一个数的平方一定是正数C一个数的平方一定小于这个数 D一个数的平方不可能是负数3式子的意义是( )A 4与5商的立方的相反数 B4的立方与5的商的相反数 C4的立方的相反数除5 D的立方4中国是严重缺水的国家之一,人均淡水资源为世界人均量的四分之一,所以我们为中国节水,为世界节水若每人每天浪费水0.32L,那么100万人每天浪费的水,用科

10、学记数法表示为( ) A3.2107L B 3.2106L C3.2105L D3.2104L5计算(-1)2+(-1)3( ) A-2 B- 1 C0 D26观察下列等式:71=7,7249,73343,742401,7516807,76117649由此可判断7100的个位数字是( ) A7 B9 C3 D17一根1米长的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如此下去,第6次后剩下的绳子的长度为( ) A米 B米 C米 D米二、填空题8在(-2)4中,指数是_,底数是_,在-23中,指数是_,底数是_,在中底数是_,指数是_9一个数的平方等于它本身的数是_;一个数的立方等于它本身的数是

11、 10 ; ;= ; 11 , 126008000= (用科学记数法表示),= (把用科学记数法表示的数还原).13 , , ,从而猜想:三、解答题14计算下列各式:(1)-23+(3-6)2-8(-1)4;(2);(3);(4)15已知x的倒数和绝对值都是它本身,y、z是有理数,并且,求的值16探索规律:观察下面三行数,2, -4, 8, -16, 32, -64, -2, -8, 4, -20, 28, -68, -1, 2, -4, 8, -16, 32, (1) 第行第10个数是多少?(2) 第行数与第行数分别有什么关系?(3) 取每行第10个数,计算这三个数的和【答案与解析】一、选择

12、题1【答案】 A【解析】-23=-8,(-2)3= -82【答案】 D【解析】一个数的平方与这个数的大小不定,例如:;而;,从而A,C均错;一个数的平方是正数或0,即非负数,所以B错,只有D对3【答案】B【解析】表示4的立方与5的商的相反数4【答案】C 【解析】100万人每天浪费的水为:0.32100万=0.321 000 000=3.2105L5【答案】C 【解析】 (-1)21,(-1)3-16【答案】D 【解析】个位上的数字每4个一循环,100是4的倍数,所以的个位数字应为1 7【答案】C二、填空题8【答案】4 , -2 , 3 , 2, 2, 2 【解析】依据乘方的定义解答9【答案】0

13、,1;0,1,-1;10【答案】3, -32, 11【答案】-27,7212【答案】6.008106 ; 300 800;13【答案】【解析】 , , 从而猜想:每组数中,右边的幂的底数与左边的最后一个数的关系是:所以三、解答题14【解析】 (1)-23+(3-6)2-8(-1)4-8+9-8-7;(2);(3);(4)15【解析】因为x的倒数和绝对值都是它本身,所以x1,又因为|y+3|+(2x+3z)20,所以y+30且2x+3z0所以y-3当x1时,2x+3z0,把x1,y-3,代入得:16【解析】(1)2, -4, 8, -16, 32, -64, 第行可以改写为:2, ,,由-2的指数规律,可以知道n=10时,即 =-1024为第 行第10个数(2)第行数是第行相应的数减4;第行数是第行相应的数的-0.5倍;(3)第行第10个数为-1024-4=-1028 第行第10个数为(-0.5)(-1024)=512所以第行、第行、第行第10个数字之和为-1024+(-1028)+512=-1540

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