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1、高等代数课件因式分解定理本讲稿第一页，共十三页复习复习 因式分解与多项式系数所在数域有关x44=(x22)(x2+2)QRC本讲稿第二页，共十三页一、不可约多项式一、不可约多项式定义：定义：设p(x)Px，且(p(x)0，若p(x)不能表示成数域P上两个次数比p(x)低的多项式的乘积，则称 p(x)为数域P上的不可约多项式不可约多项式本讲稿第三页，共十三页注意注意:一个多项式是否不可约依赖于系数域一元多项式总是不可约多项式 p(x)不可约 p(x)的因式只有零次多项式与它自身的非零常数倍.若p(x)不可约，对 f(x)Px,有(p(x),f(x)=1或p(x)|f(x).本讲稿第四页，共十三页
2、 定理定理5：设p(x)是不可约多项式，f(x),g(x)Px，若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)推广推广：设p(x)是不可约多项式,fi(x)Px,i=1,2,s，若p(x)|f1(x)f2(x)fs(x),则必存在某个fi(x),使得 p(x)|fi(x)。设p(x)是不可约多项式，cP,则cp(x)也是不可约多项式。本讲稿第五页，共十三页二、因式分解及唯一性定理二、因式分解及唯一性定理1.定理定理 f(x)Px,若(f(x)1,则f(x)可唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,若有两个分解式 f(x)=p1(x)p2(x)ps(x
3、)=q1(x)q2(x)qt(x)则s=t,且适当排列因式的次序后,有pi(x)=ciqi(x),其中ci,i=1,2,s是一些非零常数 本讲稿第六页，共十三页1)理解证明过程.注:2)整个证明过程中没有具体的分解多项式的方法.3)定理的作用主要是理论上的.本讲稿第七页，共十三页2标准分解式标准分解式设f(x)Px,(f(x)1,则 f(x)总可表成 其中c为f(x)的首项系数，pi(x)为互不相同的首项系数为1的不可约多项式，riZ+，称之为f(x)的标准标准分解式分解式 本讲稿第八页，共十三页性质1 设f(x),h(x)Px,(f(x)1,(h(x)0,且 f(x)的标准分解式为 ，则 h
4、(x)|f(x)的充分必要条件是h(x)具有这样的形式 其中0 li ri,i=1,2,s.本讲稿第九页，共十三页性质2设f(x),g(x)Px,f(x)0,g(x)0,且 ri,li0,i=1,2,s,其中p1(x),p2(x),ps(x)是互不相同的首项系数为1的不可约多项式,则其中mi=minri,li,i=1,2,s,本讲稿第十页，共十三页设fi(x)Px,i=1,2,n,且 其中rij0,1 i n,1 j s,p1(x),p2(x),ps(x)是互不相同的首1的不可约多项式,则其中mi=minr1i,r2i,rni,i=1,2,s.性质3本讲稿第十一页，共十三页注意：虽然上面给出了利用因式分解定理求最大公因式的公式，但由于对于多项式的因式分解没有一般的方法，因而这种方法不能取代辗转相除法求最大公因式。本讲稿第十二页，共十三页例1 求f(x)=x4+x22的标准分解式。例2 设p1(x),p2(x)是数域P上两个不同的首项系数为1的不可约多项式,f(x)Px,若pi(x)|f(x),i=1,2,则p1(x)p2(x)|f(x)。(上述结果能否推广？)本讲稿第十三页，共十三页