(新课标)2015年高考数学 题型全归纳 正、余弦定理在实际生活中的应用典型例题.doc

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1、正、余弦定理在实际生活中的应用正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天体运行等方面的应用十分广泛,解这类应用题需要我们吃透题意,对专业名词、术语要能正确理解,能将实际问题归结为数学问题.求解此类问题的大概步骤为:(1)准确理解题意,分清已知与所求,准确理解应用题中的有关名称、术语,如仰角、俯角、视角、象限角、方位角等;(2)根据题意画出图形;(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型,然后正确求解,演算过程要简练,计算要准确,最后作答.1.测量中正、余弦定理的应用例1某观测站在目标南偏西方向,从出发有一条南偏东走向的公路,在处测得公路上与

2、相距31千米的处有一人正沿此公路向走去,走20千米到达,此时测得距离为千米,求此人所在处距还有多少千米?分析:根据已知作出示意图,分析已知及所求,解,求角.再解,求出,再求出,从而求出(即为所求).东北解:由图知,.,.在中,.由余弦定理,得.即.整理,得,解得或(舍).故(千米).答:此人所在处距还有15千米.评注:正、余弦定理的应用中,示意图起着关键的作用,“形”可为“数”指引方向,因此,只有正确作出示意图,方能合理应用正、余弦定理. 2.航海中正、余弦定理的应用例2在海岸处,发现北偏东方向,距为海里的处有一艘走私船,在处北偏西方向,距为2海里的处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.

3、此时走私船正以海里/小时的速度从处向北偏东方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间?分析:注意到最快追上走私船,且两船所用时间相等,可画出示意图,需求的方位角及由到所需的航行时间.解:设缉私船追上走私船所需时间为小时,则有,.在中,根据余弦定理可得.根据正弦定理可得.,易知方向与正北方向垂直,从而.在中,根据正弦定理可得:,则有,小时分钟.所以缉私船沿北偏东方向,需分钟才能追上走私船.评注:认真分析问题的构成,三角形中边角关系的分析,可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提,此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.3.航测中正、余弦定理的应用例3飞机的航线和山顶

4、在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔m,速度为km/h,飞行员先看到山顶的俯角为,经过秒后又看到山顶的俯角为,求山顶的海拔高度(精确到m).分析:首先根据题意画出图形,如图,这样可在和中解出山顶到航线的距离,然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度.解:设飞行员的两次观测点依次为和,山顶为,山顶到直线的距离为.如图,在中,由已知,得,.又(km),根据正弦定理,可得,进而求得,(m),可得山顶的海拔高度为(m).评注:解题中要认真分析与问题有关的三角形,正确运用正、余弦定理有序地解相关的三角形,从而得到问题的答案.4.炮兵观测中正、余弦定理的应用例4我炮兵阵地位于地面处,两观察所分别位于

5、地面点和处,已知米,目标出现于地面点处时,测得,(如图),求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号).分析:根据题意画出图形,如图,题中的四点、可构成四个三角形.要求的长,由于,只需知道和的长,这样可选择在和中应用定理求解.解:在中,根据正弦定理有,同理,在中,根据正弦定理有.又在中,根据勾股定理有:.所以炮兵阵地到目标的距离为米.评注:应用正、余弦定理求解问题时,要将实际问题转化为数学问题,而此类问题又可归结为解斜三角形问题,因此,解题的关键是正确寻求边、角关系,方能正确求解. 5.下料中正余弦定理的应用例5已知扇形铁板的半径为,圆心角为,要从中截取一个面积最大的矩形,应怎样划线?分析:要使截取

6、矩形面积最大,必须使矩形的四个顶点都在扇形的边界上,即为扇形的内接矩形,如图所示.(1)(2)解:在图(1)中,在上取一点,过作于,过作交于,再过作于.设,.在中,由正弦定理,得.于是.当即时,取得最大值.在图(2)中,取中点,连结,在上取一点,过作交于,过作交于,过作交于,连结得矩形,设,则.在中,由正弦定理得:,.(当时取“”).当时,取得最大值.,作,按图(1)划线所截得的矩形面积最大.评注:此题属于探索性问题,需要我们自己寻求参数,建立目标函数,这需要有扎实的基本功,在平时学习中要有意识训练这方面的能力.综上,通过对以上例题的分析,要能正确解答实际问题需:(1)准确理解有关问题的陈述材料和应用的背景;(2)能够综合地,灵活地应用所学知识去分析和解决带有实际意义的与生产、生活、科学实验相结合的数学问题. - 5 -

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