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1、2013届高三六校高考模拟考试理科数学试题本试卷共21小题,满分150分。考试用时120分钟。一、选择题(本大题共8小题,每题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1满足的复数的共轭复数是( )ABC D2已知函数的定义域为,的定义域为,则( )AB CD3如图给出的是计算的值的一个程序框图,图中空白执行框内应填入( )开 始i=1, S=0S=S+输出S结 束否是第4题图2013A B C D4若变量满足则的最大值是( )A90B80C50D405记等比数列的前项和为,若,则 ( )A2B6C16D206 已知直线,过的直线与分别交于,若是线段的中点,则等于(
2、 )A12B CD7已知某四棱锥的三视图,如右图。则此四棱锥的体积为( )A3B4C5D68设,定义,则+2等于( )ABCD 二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分每小题5分,满分30分)(一)必做题(第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答)9某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表已知在全校 学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是019现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为 一年级二年级三年级女生373男生37737010若则的值为 .11曲线在点(1,)处的切线方程为,则 (为常数)12已知,若是它一条对称轴,则 13如右图,
3、等边中,则 (二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题)14(坐标系与参数方程选做题)曲线(为参数)上一点到点与的距离之和为 15(几何证明选讲选做题)如右图,在中,斜边,直角边,如果以为圆心的圆与相切于,则的半径长为 三、解答题(本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16(本小题满分12分)已知函数(1)求函数的最小值和最小正周期;(2)设的内角的对边分别为且,若,求的值。17(本小题满分12分)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质
4、量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)(1)从这15天的PM2.5日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这15天的数据中任取三天数据,记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求的分布列;(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。DBECA18(本小题满分14分)在如图所示的几何体中,
5、是边长为2的正三角形,平面ABC,平面平面ABC,BD=CD,且(1)若AE=2,求证:AC平面BDE;(2)若二面角ADEB为60求AE的长。19(本小题满分14分)数列的前n项和为,(1)设,证明:数列是等比数列;(2)求数列的前项和;(3)若,求不超过的最大整数的值。20(本小题满分14分)如图所示:已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点。(1)求证:以AF为直径的圆与x轴相切;(2)设抛物线在A,B两点处的切线的交点为M,若点M的横坐标为2,求ABM的外接圆方程;(3)设过抛物线焦点F的直线与椭圆的交点为C、D,是否存在直线使得,若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由
6、。21(本小题满分14分)已知函数,(1)求函数的单调区间;(2)当时,函数恒成立,求实数的取值范围;(3)设正实数满足求证: 2013届高三六校高考模拟考试理科数学参考答案一、选择题题号12345678答案DCDCDBBA1【解析】故选D2【解析】,故选C3【解析】因为分母为1,3,5,7,9,2013,所以应填入故选D4【解析】画出可行域(如图),在点取最大值答案: C5【解析】,故选D 6【解析】设、,所以、所以故选B7【解析】如图,四棱锥故选B8【解析】设终边过点的角(不妨设)则,其中是终边过的角(不妨设)当时,有+2故选A二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分每小题5分
7、,满分30分)916,102,11,12,13,14,15,9【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人,那么三年级的学生的人数应该是,即总体中各个年级的人数比例为,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为答案:10【解析】答案:11【解析】答案:12【解析】由已知得,由代入得,又,所以答案:13【解析】,答案:(二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题)14【解析】曲线表示的椭圆标准方程为,可知点,为椭圆的焦点,故答案:15【解析】连则,在中,,答案:三、解答题(本大题共6小题,满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16【解析】(1),3分则的最小值是,最小正周期是;6分(
8、2),则,7分,所以,所以,9分因为,所以由正弦定理得,10分由余弦定理得,即11分由解得:,12分17【解析】(1)记“从15天的PM2.5日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件, 4分(2)依据条件,服从超几何分布:其中,的可能值为,其分布列为:7分7分 (3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为,10分一年中空气质量达到一级或二级的天数为,则,一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级。12分18【解析】(1)分别取 的中点,连接,则,且,因为,,为的中点,所以,,又因为平面平面,所以平面3分BEDCAMNP又平面,所以,5分所以,且,因此四边形
9、为平行四边形,所以,所以,又平面,平面,所以平面.7分BEDCAMH(或者建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,计算即证)(2)解法一:过作垂直的延长线于,连接.因为,所以平面,平面则有.所以平面,平面,所以.所以为二面角的平面角,即. 10分在中,则 ,.在中,.设,则,所以,又在中,即=,解得,所以 14分解法二:由(1)知平面,,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,.DyBECAM(o)xz设平面的法向量则所以 令, 所以 ,11分又平面的法向量,所以,解得, 即14分19【解析】(1) 因为,所以 当时,则,1分 当时,2分所以,即,所以,而,4分所以数列是首项为,公比为的等比数
10、列,所以5分(2)由(1)得所以 ,7分-得:,8分.10分(3)由(1)知 11分,13分所以,故不超过的最大整数为14分 20【解析】(1)解法一(几何法)设线段AF中点为,过作垂直于x轴,垂足为,则 , 2分又, 3分 以线段AF为直径的圆与x轴相切。4分 解法二(代数法)设,线段AF中点为,过作垂直于x轴,垂足为,则, 2分又点为线段AF的中点,3分,以线段AF为直径的圆与x轴相切。4分(2)设直线AB的方程为,由 , 5分由, 6分,故的外接圆圆心为线段的中点。设线段AB中点为点P,易证P与抛物线的准线相切,切点为点M ,7分 8分又, 9分(3),设,10分则 ,设,则 11分将代入可得: 12分由,联立可得,13分联立可得 ,解得。 14分21【解析】(1) , 1分由的判别式,当即时,恒成立,则在单调递增;2分当时,在恒成立,则在单调递增; 3分当时,方程的两正根为则在单调递增,单调递减,单调递增综上,当时,只有单调递增区间;当时,单调递增区间为,;单调递减区间为 5分(2)即时,恒成立当时,在单调递增,当时,满足条件 7分当时,在单调递减,则在单调递减,此时不满足条件,故实数的取值范围为 9分(3)由(2)知,在恒成立,令 ,则 , 10分 11分又, , 13分 14分11