《连续型随机变量及其分布 (2)精选文档.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《连续型随机变量及其分布 (2)精选文档.ppt（56页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、连续型随机变量及其分布本讲稿第一页，共五十六页一、连续型随机变量的定义一、连续型随机变量的定义定义定义1.设设 F(X)是是随机变量随机变量 X的分布函数的分布函数，若存在非负，若存在非负，使对任意实数，使对任意实数则称则称 X为为连续型随机变量连续型随机变量，称，称为为 X 的的概率密度函概率密度函数数，简称简称概率密度或密度函数概率密度或密度函数。常记为常记为函数函数规律就得到了全面描述规律就得到了全面描述.若已知密度函数，若已知密度函数，该连续型随机变量的概率分布该连续型随机变量的概率分布1.概率密度概率密度本讲稿第二页，共五十六页2.概率密度的性质概率密度的性质 非负性非负性 归一性归
2、一性由于由于可由下图表示可由下图表示f(x)x面积为面积为1这两条性质是判定一个函这两条性质是判定一个函是否为某随机变量是否为某随机变量X的概率密度函数的的概率密度函数的充要条件充要条件。数数本讲稿第三页，共五十六页 对于任意实数对于任意实数，有，有这是因为这是因为这里事件这里事件并非不可能事件，但并非不可能事件，但可见可见由由，不一定能推出，不一定能推出由由，不一定能推出，不一定能推出称称A 为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B 为为几乎必然事件几乎必然事件.本讲稿第四页，共五十六页 对于任意的数对于任意的数有有f(x)x连续型随机变量连续型随机变量 X 落在某区间落在某区间上的概率上的概率
3、在该区间上的改变量在该区间上的改变量在该区间上的积分在该区间上的积分(与端点是否在内无关与端点是否在内无关)图中阴影部分图中阴影部分本讲稿第五页，共五十六页 分布函数分布函数上连续，且密度函上连续，且密度函数数不唯一（在个别点的值可不同）。不唯一（在个别点的值可不同）。概率密度概率密度在点在点处连续，则有处连续，则有即即本讲稿第六页，共五十六页如果把概率理解为质量，如果把概率理解为质量，故故 X 的密度的密度上的概率与区间长度上的概率与区间长度之比的极限。之比的极限。这里，这里，相当于线密度相当于线密度。区间区间在在这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是 X 落在落在这表示这表示 X 落在小区间
4、落在小区间上的概率近似地等于上的概率近似地等于若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：在连续型随机变量理论中所起的作用与在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。相类似。本讲稿第七页，共五十六页解解例例1求下列函数是否为概率密度函数求下列函数是否为概率密度函数是显然的；是显然的；故故 f(x)可以作为密度函数。可以作为密度函数。本讲稿第八页，共五十六页解解例例2本讲稿第九页，共五十六页例例3设设X 的分布函数为的分布函数为求求解解本讲稿第十页，共五十六页例例4设设 X 是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度
5、为求求 常数常数 A；X的分布函数。的分布函数。解解 由由得得则则本讲稿第十一页，共五十六页 当当时，时，当当时，时，本讲稿第十二页，共五十六页得得当当时，时，所以所以由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.本讲稿第十三页，共五十六页分布函数分布函数离散型离散型r.vr.v的的分布函数分布函数连续型连续型r.vr.v的的分布函数分布函数分布函数分布函数的性质的性质概率分布律概率分布律与分布函数与分布函数的关系的关系概率密度与分概率密度与分布函数的关系布函数的关系本讲稿第十四页，共五十六页二、几种常用的连续型随机变量二、几种常用的连续型随机变量1.均匀分布均匀分布定义定义 若随机变量若
6、随机变量X 的概率密度为：的概率密度为：则称则称 X 服从区间服从区间a,b上的上的均匀分布均匀分布，记作，记作本讲稿第十五页，共五十六页均匀分布的密度函数的验证均匀分布的密度函数的验证设设，其中，其中是其密度函数，则有是其密度函数，则有由此可知由此可知确是密度函数。确是密度函数。本讲稿第十六页，共五十六页因为因为均匀分布的概率背景均匀分布的概率背景本讲稿第十七页，共五十六页均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数当当时，时，由于由于当当时，时，当当时，时，本讲稿第十八页，共五十六页由上可知均匀分布的分布函数为由上可知均匀分布的分布函数为abxF(x)01图形如下图形如下书书103页，例页，例2.
7、27本讲稿第十九页，共五十六页解解依题意，依题意，X U 0,30 以以7:00为起点为起点0，以分为单位，以分为单位随机变量，随机变量，例例1 1 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，时起，每每15分钟来一班车，分钟来一班车，即即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间如果乘客到达此站时间X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀之间的均匀试求他候车时间少于试求他候车时间少于5分钟的概率分钟的概率.本讲稿第二十页，共五十六页所求概率为：所求概率为：即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5分钟的概率是分钟的概率是 1/3
8、。本讲稿第二十一页，共五十六页例例2 2 设随机变量设随机变量X 服从服从1，6上的均匀分布，求一元上的均匀分布，求一元二次方程二次方程有实根的概率。有实根的概率。解解因为当因为当时，方程有实根，故所求时，方程有实根，故所求概率为概率为而而X的概率密度为的概率密度为从而从而本讲稿第二十二页，共五十六页作业作业8122页 11、12 13、14本讲稿第二十三页，共五十六页 指数分布指数分布若随机变量若随机变量X 的概率密度为：的概率密度为：指数分布指数分布。为常数，则称随机变量为常数，则称随机变量X服从服从参数为参数为其中其中的的概率密度概率密度的图形的图形指数分布的指数分布的分布函数分布函数为
9、为本讲稿第二十四页，共五十六页密度函数的验证密度函数的验证本讲稿第二十五页，共五十六页解解(2)(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.51.5年，求它还能使用两年，求它还能使用两.电子元件的寿命电子元件的寿命X(年）服从参数为年）服从参数为3的指数分布的指数分布例例3 3(1)(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。年的概率为多少？年的概率为多少？由已知得由已知得 X 的概率密度为的概率密度为本讲稿第二十六页，共五十六页由由、结果得：结果得：指数分布具有指数分布具有无记忆性无记忆性，即，即本讲稿第二十七页，共五十六页解解由题意知由题意知，其中，其
10、中现在现在 X 的概率密度为的概率密度为例例4 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位单位:分钟分钟)X 服从指数为服从指数为的指数分布。若等待时间超过的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他离开，假设他一个月内要来银行分钟，则他离开，假设他一个月内要来银行5次。次。以以 Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率的分布律及至少有一次没有等到服务的概率本讲稿第二十八页，共五十六页因此因此所以所以 Y 的分布律为的分布律为于是于是本讲稿第二十九页，共五十六页求求 常数常
11、数A;该晶体管寿命不超过该晶体管寿命不超过150小时的概率；小时的概率；一台仪器中装有一台仪器中装有4只此种晶体管，工作只此种晶体管，工作150小时后小时后至少有一只失效的概率。至少有一只失效的概率。例例5(105页例页例2.39)某种晶体管的寿命某种晶体管的寿命X，其密度函数为，其密度函数为本讲稿第三十页，共五十六页随机变量的函数的分布 第二章 一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布第五节本讲稿第三十一页，共五十六页随机变量的函数随机变量的函数设设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y是是X的函数，的函数，Y=g
12、(X),则则Y也是一个随机变量，当也是一个随机变量，当X取值取值x时，时，Y取值为取值为y=g(x)本节的任务：本节的任务：已知随机变量已知随机变量X的分布的分布，并且已知，并且已知Y=g(X),要求随机变量要求随机变量Y的分布的分布(分布律或分布密度分布律或分布密度)本讲稿第三十二页，共五十六页一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布当当X为离散型随机变量时，为离散型随机变量时，Y=g(X)也是离散型随也是离散型随机变量，并且在机变量，并且在X分布律已知的情况下，求分布律已知的情况下，求Y的分布的分布律是很容易的。律是很容易的。本讲稿第三十三页，共五十六页例例1.已知已知
13、X 的分布律为的分布律为求求Y=2X1，Z=X21的分布律。的分布律。解解 故故Y的分布律为的分布律为本讲稿第三十四页，共五十六页故故Z 的分布律为的分布律为本讲稿第三十五页，共五十六页注意注意 设设互不相等时，则互不相等时，则由由可得可得 当当，则把那些相等的值合并，则把那些相等的值合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加得到并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律。的分布律。本讲稿第三十六页，共五十六页例例2.设某工程队完成某项工程所需时间为设某工程队完成某项工程所需时间为X(天天)近似近似服从参数为服从参数为的正态分布，奖金方法规的正态分布，奖金方法规定，若在定，若在100天内完
14、成，则得超产奖天内完成，则得超产奖10000万元；若在万元；若在若在若在100天至天至115天内完成，则得超产奖天内完成，则得超产奖1000元；若完元；若完成时间超过成时间超过115天，则罚款天，则罚款5000元。求该工程队在完成元。求该工程队在完成这项工程时，奖金额这项工程时，奖金额Y的分布律。的分布律。解解 依题意依题意本讲稿第三十七页，共五十六页可见可见Y是是X的函数，且是离散型随机变量。的函数，且是离散型随机变量。则则Y的分布律为的分布律为本讲稿第三十八页，共五十六页.分布函数法分布函数法（一般的函数都适用）（一般的函数都适用）先求先求的分布函数的分布函数 再利用再利用的分布函数与概率
15、密度之间的分布函数与概率密度之间的关系求的关系求的概率密度为的概率密度为三、连续型随机变量的函数的分布三、连续型随机变量的函数的分布本讲稿第三十九页，共五十六页解解 先求先求 Y=2X+8 的分布函数的分布函数设随机变量设随机变量X 具有概率密度：具有概率密度：例例3 3试求试求Y=2X+8 的概率密度的概率密度本讲稿第四十页，共五十六页 得得 Y=2X+8 的概率密度为的概率密度为本讲稿第四十一页，共五十六页设设X U(1,1)，求，求Y=X2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。例例4 4解解 由已知得由已知得则则Y的分布函数的分布函数当当y0时，时，;当当y1时，时，当当0y1时，
16、时，本讲稿第四十二页，共五十六页Y 的分布函数为的分布函数为上式对上式对Y 求导，即得求导，即得的概率密度为的概率密度为设设X U(1,2)，求，求Y=X2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。例例5 5本讲稿第四十三页，共五十六页.公式法公式法（直接应用于单调函数）（直接应用于单调函数）定理定理 设设 随机变量随机变量X具有概率密度具有概率密度处处可导处处可导,且是严格单调函数且是严格单调函数则则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为其中其中 h(y)是是 g(x)的反函数，的反函数，与与具体题中再定。具体题中再定。本讲稿第四十四页，共五十六页注：注：
17、只有当只有当g(x)是是x的严格单调可导函数时，才可的严格单调可导函数时，才可 用以上公式；用以上公式；注意定义域的选择。注意定义域的选择。例如例如 在在例例3中，用公式法中，用公式法故故g(x)严格单调增，其反函数为严格单调增，其反函数为本讲稿第四十五页，共五十六页注：注：当当f(x)在在(a,b)外取值为外取值为 0 时，只要求时，只要求y=g(x)在在(a,b)上单调就可用公式。上单调就可用公式。单调增，单调增，单调减，单调减，设随机变量设随机变量X 的概率密度为的概率密度为求求Y=sinX 的概率密度的概率密度.例例7 7解解反函数反函数当当时时本讲稿第四十六页，共五十六页当当时时所以
18、当所以当时时故故本讲稿第四十七页，共五十六页当当时时分布函数法：分布函数法：注意到注意到,x xsinsinx x0 01 1时时,故故 当当当当时时,当当时时,本讲稿第四十八页，共五十六页而而求导得求导得:本讲稿第四十九页，共五十六页例例6 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解：在区间在区间(0,1)上上,函数函数lnx0,于是于是 y在区间在区间(0,1)上单调下降，有反函数上单调下降，有反函数由前述定理得由前述定理得注意取绝对值本讲稿第五十页，共五十六页已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，代
19、入代入 的表达式中的表达式中得得即即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布.本讲稿第五十一页，共五十六页书书119页例页例2.48书书112页练习页练习2.7第第2题题本讲稿第五十二页，共五十六页知识小结知识小结一、研究对象一、研究对象：随机变量（随机试验结果数量化）：随机变量（随机试验结果数量化）二、分布函数的性质二、分布函数的性质离散型离散型连续型连续型单调不减性单调不减性连续性连续性右连续性右连续性本讲稿第五十三页，共五十六页三、分布律和概率密度函数的性质三、分布律和概率密度函数的性质离散型离散型连续型连续型四、几种重要的分布四、几种重要的分布本讲稿第五十四页，共五十六页四、几种重要的分布四、几种重要的分布离散型离散型连续型连续型(01)分布分布二项二项 分布分布泊松泊松 分布分布几何分布几何分布超几何分布超几何分布均匀分布均匀分布指数指数 分布分布五、常见的题型五、常见的题型求解：分布律、概率密度、分布函数（相互求解）求解：分布律、概率密度、分布函数（相互求解）随机变量函数的分布（离散、连续）随机变量函数的分布（离散、连续）本讲稿第五十五页，共五十六页作业作业9122页页 15、16、17本讲稿第五十六页，共五十六页