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1、,第57练 高考大题突破练立体几何1一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是腰长为6的等腰直角三角形，俯视图是正方形(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；(3)在(2)的情形下，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值2.如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，ADDC，PA底面ABCD，PAADDCAB1，M为PC的中点，N点在AB上且ANNB.(1)证明：MN平面PAD；(2)求直线MN与平面PCB所成的角3.
2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC4，CB2，AA12，ACB60，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)证明：平面AEB平面BB1C1C；(2)证明：C1F平面ABE；(3)设P是BE的中点，求三棱锥PB1C1F的体积4(2016浙江)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值答案精析1解(1)该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD是边长为6的正方形，高PD6，故所求体积是V62672.(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积
3、的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，即由四棱锥D1ABCD，D1BB1C1C，D1BB1A1A组成其拼法如图2所示. (3)因为AB1E的边长AB16，B1E3，AE9，所以SAB1E27，而SABC18，所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.2证明方法一(1)过点M作MECD交PD于E点，连接AE，ANNB，ANABDCEM，又EMDCAB，EMAN，四边形AEMN为平行四边形，MNAE，又AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)过N点作NQAP交BP于点Q，NFCB于点F，连接QF，过N点作NHQF于点H，连接MH，易知QN平面ABCD，QN
4、BC，又NFBC，NFQNN，NF平面QNF，QN平面QNF，BC平面QNF，BCNH，NHQF，BCQFF，BC平面PBC，QF平面PBC，NH平面PBC，NMH为直线MN与平面PCB所成角，通过计算可得MNAE，QN，NF，NH，sinNMH，NMH60，直线MN与平面PCB所成角为60.方法二(1)以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，过点作MECD，ME交PD于点E，连接AE，由已知可得A(0,0,0)，B(0,2,0)，D(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，M(，)，E(，0，)，N(0，0)(，0，)，(，0
5、，)，MNAE，MN平面PAD，AE平面PAD，MN平面PAD.(2)不妨设a(1，y，z)，且a平面PCB，则a，a，而(1，1,0)，(0，2,1)，a(1,1,2)cosa，.即向量a与的夹角为30，直线MN与平面PCB所成的角为60.3(1)证明在ABC中，AC2BC4，ACB60，AB2，AB2BC2AC2，ABBC，由已知得ABBB1，且BCBB1B，又BC平面BB1C1C，BB1平面BB1C1C，AB平面BB1C1C，又AB平面ABE，平面ABE平面BB1C1C.(2)证明取AC的中点M，连接C1M，FM，在ABC中，FMAB，而FM平面ABE，AB平面ABE，直线FM平面ABE
6、，在矩形ACC1A1中，E，M分别是A1C1，AC的中点，C1MAE，而C1M平面ABE，AE平面ABE，C1M平面ABE，C1MFMM，C1M平面FMC1，FM平面FMC1，平面ABE平面FMC1，又C1F平面FMC1，故C1F平面ABE.(3)解取B1C1的中点H，连接EH，则EHAB，且EHAB，又AB平面BB1C1C，EH平面BB1C1C，P是BE的中点，EH2.4(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，所以AC平面BCFE，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F
7、为CK的中点，则BFCK，且CKACC，CK，AC都在平面ACFD内，所以BF平面ACFD.(2)解方法一过点F作FQAK于Q，连接BQ.因为BF平面ACFD，AK在平面ACFD内，所以BFAK，则AK平面BQF，BQ在平面BQF内，所以BQAK.所以BQF是二面角BADF的平面角在RtACK中，AC3，CK2，得FQ.在RtBQF中，FQ，BF，得cosBQF.所以，二面角BADF的平面角的余弦值为.方法二因为BCK为等边三角形，取BC的中点O，连接KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0，)，A(1，3，0)，E，F.因此，(0,3,0)，(1,3，)，(2,3,0)设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2)由得取m(，0，1)；由得取n(3，2，)于是，cosm，n.所以，二面角BADF的平面角的余弦值为.