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1、北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择题1、（昌平区2015届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是ABCD 2、（昌平区2015届高三上学期期末）已知直线m和平面，则下列四个命题中正确的是A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则3、（朝阳区2015届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A BC D4、（大兴区2015届高三上学期期末）已知直线平面，直线平面，有下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.以上命题中，正确命题的序
2、号是 （A） （B） （C） （D）5、（东城区2015届高三上学期期末）在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标为分别为，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为 （A） （B） （C） （D） 6、（丰台区2015届高三上学期期末）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是7、（海淀区2015届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）（A）（B）（C）（D）8、（石景山区2015届高三上学期期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的
3、各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A. B. C. D. 9、（西城区2015届高三上学期期末）侧(左)视图正(主)视图俯视图22111116一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A）最长棱的棱长为 （B）最长棱的棱长为（C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D）侧面四个三角形都是直角三角形二、填空题1、（东城区2015届高三上学期期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形,，分别为线段上的点若，则三棱锥体积的最小值为 .2、（海淀区2015届高三上学期期末）如图所示，在正方体中，点是边的中点. 动点在直线（除两点）上运动的过程中，平面可能经过的该正方
4、体的顶点是 . （写出满足条件的所有顶点）3、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是_。三、解答题1、（昌平区2015届高三上学期期末）如图，垂直于梯形所在的平面，. 为中点， 四边形为矩形，线段交于点N .(I) 求证：/ 平面；(II) 求二面角的大小；(III)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？ 若存在，请求出的长;若不存在，请说明理由.2、（朝阳区2015届高三上学期期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面， ，点是的中点，点在边上移动（）若为中点，求证
5、：/平面；（）求证：；DPCBFAE（）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由.3、（大兴区2015届高三上学期期末）在如图所示的几何体中， 四边形是正方形,且,.（）若与交于点,求证:；（）求证：；（）求二面角的余弦值.4、（东城区2015届高三上学期期末）如图，平面，为的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）证明：在线段上存在点，使得，并求的值5、（丰台区2015届高三上学期期末）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，PA底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA =AB =AC =2，（I）求证：CD平面PAC；（）求二面角的大小；（）如果N是棱AB上一点，且直
6、线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值6、（海淀区2015届高三上学期期末）如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，平面平面.（）求证：； （）设点分别是的中点，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （）求二面角的余弦值. 7、（石景山区2015届高三上学期期末）如图,在四面体中,平面,.是的中点,是的中点.（）求证：平面平面；（）若点在线段上，且满足,求证：平面；（）若,求二面角的大小.B CD A B1 C1 E F A1 D18、（西城区2015届高三上学期期末）如图，在四棱柱中，底面，且 ，点E在棱AB上，平面与棱相交于点F.（）证明：平面；（）若E是棱AB的中点，求二面角的余
7、弦值；（）求三棱锥的体积的最大值.9、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）如图，四棱锥中，PA平面ABCD，ABC=BAD=90，AD=2PA=2AB=2BC=2。（I）求三棱锥的外接球的体积；（II）求二面角与二面角的正弦值之比。参考答案一、选择题1、D2、C3、A4、B5、A 6、A7、A8、D9、D二、填空题1、2、3、三、解答题1、解：()连接在中，分别为中点，所以因为所以 4分()如图以为原点，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 5分则设平面的法向量为则即 解得令，得 所以 7分因为平所以，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的大小为 9分() 设存在点Q满
8、足条件.由 设，整理得 ，11分因为直线与平面所成角的大小为，所以 ， 13分则知，即点与E点重合.故在线段上存在一点，且 14分2、（）证明：在中，因为点是中点，点是中点，所以/又因为平面，平面， 所以/平面.4分（）证明：因为底面是正方形，所以又因为侧面底面，平面平面=， 且平面，所以平面由于平面，所以 由已知，点是的中点，所以又因为，所以平面.因为平面，所以.9分（）点为边上靠近点的三等分点因为，所以DCBFAEPxFyzF由（）可知，平面.又/,所以平面，即， .所以，两两垂直分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）.不妨设，则，.于是，. 设平面的一个法向量为，由 得 取，则，
9、得 由于，,所以平面.即平面的一个法向量为 根据题意，解得由于，所以.即点为边上靠近点的三等分点.14分3、证明：（）如图，取中点，连， 在中，因为分别是的中点，所以，且， 又由已知得，且， 所以，所以四边形是平行四边形，所以3分 又，所以 4分 （）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系 则， ，2分 所以， ， 所以，且 所以，； 4分又，所以 5分（） 设平面的法向量为 由（）知， 所以，令，得 2分 又平面的法向量为 3分 设二面角的大小为，是锐角 则 所以二面角的余弦值为 5分4、 5、证明：(I)连结AC因为为在中，所以，所以因为AB/CD，所以又因为地面ABCD，所以因为，所以平面
10、PAC4分(II)如图建立空间直角坐标系，则因为M是棱PD的中点，所以所以，设为平面MAB的法向量，所以，即，令，则，所以平面MAB的法向量因为平面ABCD，所以是平面ABC的一个法向量所以因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为4分(III)因为N是棱AB上一点，所以设，设直线CN与平面MAB所成角为，因为平面MAB的法向量，所以解得，即，所以14分6、证明：（）连接. 在正方形中，.因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 1分因为 平面， 所以 . 2分在菱形中，.因为 平面，平面，所以 平面. 4分因为 平面， 所以 . 5分（）平面，理由如下： 6分取的中点，连接.因为 是的中点
11、，所以 ，且.因为 是的中点，所以 .在正方形中，.所以 ，且.所以 四边形为平行四边形.所以 . 8分因为 平面，平面， 所以 平面. 9分（）在平面内过点作.由（）可知：平面. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.在菱形中，所以 ，. 设平面的一个法向量为.因为 即所以 即. 11分 由（）可知：是平面的一个法向量. 12分所以 . 所以 二面角的余弦值为. 14分7、（）, 2分且ABCDPQMOH 4分（）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点，所以且；取CD的四等分点H，使DH=3CH， 且AQ =3QC,所以, 且，所以，四边形为平行四
12、边形，所以，且,所以PQ/面BDC. 9分 (III)如图建系,则, 10分ABCDPQMyzx设面的法向量,即令,则设面的法向量 11分即令, 则 12分所以二面角的大小为 14分8、（）证明：因为是棱柱，所以平面平面.又因为平面平面，平面平面，所以. 2分又因为平面，平面，所以平面. 4分（）解：因为底面，B CA1 D1D A B1 C1 E F xyzM 所以，两两垂直，以A为原点，以，分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系. 5分则，所以 ,.设平面的法向量为由，, 得令,得. 7分又因为平面的法向量为， 8分所以，由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 10分（）
13、解：过点F作于点,因为平面平面，平面,所以平面,所以 12分.因为当F与点重合时，取到最大值2（此时点E与点B重合），所以当F与点重合时，三棱锥的体积的最大值为. 14分9、解：（I）连接AC，则ACCD，又PA平面ABCD，PACD，CD平面PAC，又PC平面PAC，PCD=90，（2分）而PAD=90，从而三棱锥P-ACD外接球的球心为PD中点E。（4分）直径，所以三棱锥P-ACD外接球的体积。（6分）（II）建立坐标系，以点A为坐标原点，分别为轴正方向，则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）。设平面PBC的法向量，则即=（1，0，1）由（I）知CD平面PAC，故平面PAC的一个法向量为=（-1，1，0），（8分）所以。二面角B-PC-A的大小为，其正弦值为，（10分）由CD平面PAC，得平面PCD平面PAC，二面角A-PC-D为直二面角，其正弦值为1，（12分）综上，二面角BPCA与二面角APCD的正弦值之比为。（13分）20