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1、【全程复习方略】（福建专用）2014版高中数学 第三节 柯西不等式课时提升作业 新人教A版选修4-51.已知a,bR+且a+b=1.求证:(ax+by)2ax2+by2.2.已知实数a,b,c满足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1.求证:-c1.3.在半径为R的圆内,求内接长方形的周长最大值.4.已知为锐角,a,bR+,求证:(a+b)25.若a,b,c均为正数,且a+b+c=6,求的最大值.6.(2012福建高考)已知函数f(x)=m-|x-2|,mR,且f(x+2)0的解集为-1,1.(1)求m的值.(2)若a,b,cR+,且=m,求证:a+2b+3c9.7.已知A,B,C是三角形内角
2、的弧度数.求证:8.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:5.(2)求的最小值.9.设P是ABC内的一点,x,y,z是P到三边a,b,c的距离,R是ABC外接圆的半径,证明:10.(2013福州模拟)(1)已知|x1-2|1,|x2-2|1.求证:2x1+x26,|x1-x2|2.(2)设a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=k,求证:答案解析1.【证明】设m=则|ax+by|=|mn|m|n|=(ax+by)2ax2+by2.2.【证明】a+2b+c=1,a+2b=1-c,又a2+b2+c2=1,a2+b2=1-c2.由柯西不等式得(12+22)(a2+b2)(a
3、+2b)2,即5(1-c2)(1-c)2,整理得3c2-c-20.解得-c1.3.【解析】如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为于是ABCD的周长l=2(x+)=2(1x+1).由柯西不等式得l2x2+()2(12+12=22R=4R.当且仅当即x=R时等号成立.此时,即四边形ABCD为正方形,故周长最大的内接长方形为正方形,其周长为4R.4.【证明】设m=(),n=(cos,sin),则|a+b|=|cos+sin|=|mn|m|n|=(a+b)25.【解析】由柯西不等式得()2=(1+1+1)2(12+12+12)(2a+2b+1+2c+3)=3(26+4)=48.当且仅当=即2a=2
4、b+1=2c+3时等号成立,又a+b+c=6,a=,b=,c=时,+有最大值.6.【解析】(1)因为f(x+2)=m-|x|0,等价于|x|m,由|x|m有解,得m0,且其解集为x|-mxm,又f(x+2)0的解集为-1,1,故m=1.(2)由(1)知=1,又a,b,cR+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)( )()2=9.7.【证明】A+B+C=,()=(A+B+C)()=()2+()2+()2()2+()2+()2=(1+1+1)2=9,.8.【解析】(1)根据柯西不等式,得(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y) (5x+4y+3z)2,因为5x+4y+3z=10,所以=5.(2)根据基本不等式,得当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)(5x+4y+3z)2=100,即(x2+y2+z2)2,当且仅当时,等号成立.综上,232=18.9.【证明】由柯西不等式得,设S为ABC的面积,则ax+by+cz=2S=2=故不等式成立.10.【证明】(1)|x1-2|1,|x2-2|1,1x13,1x23,2x1+x26,|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|x1-2|+|x2-2|1+1=2,|x1-x2|0,所以- 5 -