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1、重庆市巫山中学2014-2015学年高二上学期期末考试理 科 数 学满分150分 时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项答在机读卡上）1.直线在x轴上的截距为( ) A. B. C. D.22.命题“xR，x22x40”的否定为() AxR，x22x40 BxR，x22x40 CxR，x22x40 DxR，x22x403.几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积是() A B C D4.已知，则下列结论错误的是()A.B. C.D.5.设表示平面，表示两条不同的直线，给定下列四个命题： ，, 其中正确
2、的是( ) A.(1)(2) B.(2)( 4) C.(3)(4) D.(2)(3)6.经过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线与两点，交双曲线的渐近线于两点，若，则双曲线的离心率是() A. B. C. D.7.已知恒成立，则实数m的取值范围是 A.B. C.D.8.用一个与圆柱母线成600角的平面截圆柱，截口为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D.9.光线沿直线y2x1射到直线yx上，被yx反射后的光线所在的直线方程为() Ayx1 Byx CyxDyx110.抛物线（）的焦点为，已知点、为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最
3、大值为 ( ) A. B. 1 C. D. 2二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将正确答案写在答题卡上）11.不等式|x3|+|x2|7的解集为_;12.棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为 ;13.在坐标平面内,与点A（1,2）距离为1,且与点B（3,1）距离为2的直线共有 条;14. 已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆上一动点R,则的最大值为 ;15. 过抛物线y24x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为_.三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本
4、小题满分13分）如图将长，宽的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：(1)求异面直线PQ与AC所成角的余弦值(2)求三棱锥的体积17.（本小题满分13分）已知圆x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0.(1)若直线和圆总有两个不同的公共点，求k的取值集合(2)求当k取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长.18.（本小题满分12分）设命题p：实数x满足x24ax3a20. 命题q：实数x满足(1)当a1，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围19. （本小题满分12分）设A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点
5、，满足OAOB(O为坐标原点).求证：(1)A、B两点的横坐标之积为； (2)直线AB经过一个定点.20.（本小题满分13分）如图，在底面是菱形的四棱锥中，点E在PD上，且满足，,（1） 在棱上是否存在一点F,使,若存在，求出的长度（2）求二面角的余弦值21.（本小题满分12分）以椭圆的中心为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”. 已知椭圆的离心率为,且过点(1) 求椭圆及其“伴随”的方程; (2) 过点作“伴随”的切线交椭圆于, 两点, 记为坐标原点)的面积为, 将表示为的函数, 并求的最大值.2016级理科数学参考答案一、 选择题： ACACB DACBA二、 填空题：11. 12. 1
6、3. 2 14. 6 15.三、解答题：16.解：（1）由已知，三棱柱为直三棱柱，在上取一点D，使得,连结,所以，,在中，所以直线PQ与AC所成的夹角的余弦值为（2）17.解：（1）已知圆的方程为（x-3）2+（y-4）2=4，其圆心（3，4）到直线kx-y-4k+3=0的距离为.直线和圆总有两个不同的公共点，所以2，即（k+1）24（1+k2），即3k2-2k+30.而3k2-2k+3=3（k-）2+0恒成立.所以k的取值集合为R（方法二：直线过定点（4,3），可以判断点（4,3）在圆的内部，从而确定直线和圆总有两个不同的公共点，所以k的取值集合为R）（2）由于当圆心到直线的距离最大时，直线
7、被圆截得的弦最短，而d=,当且仅当k=1时，“=”成立，即k=1时，dmax=.故当k=1时，直线被圆截得的弦最短，该最短弦的长为（注：由（1）可以确定圆心到直线的距离最大为圆心与点（4,3）的距离，从而确定最短弦;在上面的解法中对k的分类讨论用对勾函数求解也可.）18.解(1)由x24ax3a20，得ax0) 当a1时，1x3，所以p：1x3.由解得2x3，所以q：2x3.若pq为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是x|2x3(2) 设Ax|x24ax3a20x|ax0，B x|2x3根据题意可得 ，则03，即1a2.故实数a的取值范围是a|1a219. 证明:(1)设A(x1,y1)、
8、B(x2,y2),则y12=2px1、y22=2px2. OAOB, x1x2+y1y2=0, y12y22=4p2x1x2=4p2(-y1y2). y1y2=-4p2,从而x1x2=4p2也为定值. (2)y12-y22=2p(x1-x2), =. 直线AB的方程为y-y1= (x-x1), 即y=x-+y1, y=x+, 亦即y=(x-2p). 直线AB经过定点(2p,0).20.解：连结建立空间直角坐标系则 ,.设棱上一点F，所以所以F为的中点时，并且此时(2) 设平面的法向量为故二面角的余弦值为21.解析：(1) 椭圆的离心率为, 则, 设椭圆的方程为 2分椭圆过点， ， .4分椭圆的标准方程为， 椭圆的“伴随”方程为. .6分(2) 由题意知，.易知切线的斜率存在,设切线的方程为由得 .8分设, 两点的坐标分别为, , 则, .又由与圆相切, 所以, . 所以 10分 , .(当且仅当时取等号)所以当时， 的最大值为1. .12分- 7 -