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1、第六章机器人的轨迹规划1第1页，共24页，编辑于2022年，星期三6.1.1 机器人规划的基机本概念 所谓机器人的规划(P1anning)，指的是机器人根据自身的任务，求得完成这一任务的解决方案的过程。这里所说的任务，具有广义的概念，既可以指机器人要完成的某一具体任务，也可以是机器人的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等。轨迹：轨迹：每个自由度每个自由度的位移、速度和加速度的位移、速度和加速度的时间历程。的时间历程。描述方法描述方法:描述成工具坐标系描述成工具坐标系 T T 相对于工相对于工作台作台坐标系坐标系 S S 的运动。的运动。路径点路径点-这个术语包括了所有的中间点以及初始点和
2、最终点。这个术语包括了所有的中间点以及初始点和最终点。需要记住的是，虽然通常使用需要记住的是，虽然通常使用“点点”这个术语，但实际上它们是表达位置和这个术语，但实际上它们是表达位置和姿态的坐标系。姿态的坐标系。第2页，共24页，编辑于2022年，星期三 轨迹规划的目的是将操作人员输入的简单的任务描述变为详细的运动轨迹描述。例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确定出达到目标的关节轨迹的形状、运动的时间和速度等。6.1.1 机器人规划的基本概念第3页，共24页，编辑于2022年，星期三 关节空间法首先将在工具空间中期望的路径点，通过逆运动学计
3、算，得到期望的关节位置，然后在关节空间内，给每个关节找到一个经过中间点到达目的终点的光滑函数，同时使得每个关节到达中间点和终点的时间相同，这样便可保证机械手工具能够到达期望的直角坐标位置。这里只要求各个关节在路径点之间的时间相同，而各个关节的光滑函数的确定则是互相独立的。6.2 第4页，共24页，编辑于2022年，星期三下面具体介绍在关节空间内常用的两种规划方法1）三次多项式 考虑机械手末端在一定时间内从初始位置和方位移动到目标位置和方位的问题。利用逆运动学计算，可以首先求出一组起始和终了的关节位置现在的问题是求出一组通过起点和终点的光滑函数光滑函数。满足这个条件的光滑函数可以有许多条，如下图
4、所示：6.2 关节空间法第5页，共24页，编辑于2022年，星期三显然，这些光滑函数必须满足以下条件：同时若要求在起点和终点的速度为零，即：同时若要求在起点和终点的速度为零，即：那么可以选择如下的三次多项式：那么可以选择如下的三次多项式：作为所要求的光滑函数。式作为所要求的光滑函数。式4-3中有中有4个待定系数，而该式需满足式个待定系数，而该式需满足式4-1和和4-2的的4个约束条件，因此可以唯一地解出这些系数：个约束条件，因此可以唯一地解出这些系数：（4-3）（4-2）（4-1）6.2 关节空间法满足起点和终点的关节角度约束满足起点和终点的关节角度约束满足起点和终点的关节速度约束满足起点和终
5、点的关节速度约束第6页，共24页，编辑于2022年，星期三（4-4）6.2 关节空间法注意：这组解只适用于关节起点、终点速度为零的运动情况。注意：这组解只适用于关节起点、终点速度为零的运动情况。第7页，共24页，编辑于2022年，星期三例：设机械手的某个关节的起始关节角0150，并且机械手原来是静止的。要求在3秒钟内平滑地运动到f=750时停下来(即要求在终端时速度为零)。规划出满足上述条件的平滑运动的轨迹，并画出关节角位置、角速度及角加速度随时间变化的曲线。解：根据所给约束条件，直接代入式(4-4)，可得：a0=15，a1=0，a2=20，a3=-4.44 所求关节角的位置函数为：对上式求导
6、，可以得到角速度和角加速度（4-6）（4-7）6.2 关节空间法第8页，共24页，编辑于2022年，星期三 根据式(4-5)(4-7)可画出它们随时间的变化曲线如下图所示。由图看出，速度曲线为一抛物线，加速度则为一直线。利用三次多项式规划出的关节角的运动轨迹6.2 关节空间法第9页，共24页，编辑于2022年，星期三过路径点的三次多项式过路径点的三次多项式方法是：方法是：把所有路径点都看成是把所有路径点都看成是“起点起点”或或“终点终点”，求解逆运动学，得到，求解逆运动学，得到相应的关节矢量值。然后确定所要求的三次多项式插值函数，把路径点平滑相应的关节矢量值。然后确定所要求的三次多项式插值函数
7、，把路径点平滑的连接起来。的连接起来。不同的是，这些不同的是，这些“起点起点”和和“终点终点”的关节速度不再是零。的关节速度不再是零。第10页，共24页，编辑于2022年，星期三同理可以求得此时的三次多项式系数：同理可以求得此时的三次多项式系数：由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位置和速由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位置和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的期望关节速度，有度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的期望关节速度，有以下三种方法：以下三种方法：此时的速度约束条件变为：第11页，共24页，编辑于2022年，星期三 （1 1
8、）根根据据工工具具坐坐标标系系在在直直角角坐坐标标空空间间中中的的瞬瞬时时线线速速度度和和角角速速度度来来确确定每个路径点的关节速度定每个路径点的关节速度 ；该方法工作量大。；该方法工作量大。（2 2）采用路径点处加速度连续的方法，由控制系统按照此）采用路径点处加速度连续的方法，由控制系统按照此要求自动地选择路径点的速度。要求自动地选择路径点的速度。（3 3）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发式方）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发式方法，由控制系统自动地选择路径点的速度；法，由控制系统自动地选择路径点的速度；第12页，共24页，编辑于2022年，星期三 对对于于方方法法（
9、2 2），为为了了保保证证路路径径点点处处的的加加速速度度连连续续，可可以以设设法法用用两两条条三三次次曲曲线线在在路路径径点点处处按按照照一一定定的的规规则则联联系系起起来来，拼拼凑凑成成所所要要求求的的轨轨迹迹。其其约约束束条条件件是是：联联接接处处不不仅仅速速度连续，而且加速度也要连续。度连续，而且加速度也要连续。第13页，共24页，编辑于2022年，星期三 对于方法（对于方法（3 3），），这里所说的启发式方法很简单，即假设用直线段把这里所说的启发式方法很简单，即假设用直线段把这些路径点依次连接起来，如果相邻线段的斜率在路径点处改变符号，这些路径点依次连接起来，如果相邻线段的斜率在路径
10、点处改变符号，则把速度选定为零；如果相邻线段不改变符号，则选择路径点两侧的线则把速度选定为零；如果相邻线段不改变符号，则选择路径点两侧的线段斜率的平均值作为该点的速度。段斜率的平均值作为该点的速度。第14页，共24页，编辑于2022年，星期三如如果果对对于于运运动动轨轨迹迹的的要要求求更更为为严严格格，约约束束条条件件增增多多，那那么么三三次次多多项项式式就就不不能能满满足足需需要要，必必须须用用更更高高阶阶的的多多项项式式对对运运动动轨轨迹迹的的路路径径段段进进行行插插值值。例例如如，对对某某段段路路径径的的起起点点和和终终点点都都规规定定了了关关节节的的位位置置、速速度度和和加加速速度度（
11、有有六六个个未未知知的的系系数数），则则要要用用一一个个五次多项式进行插值。五次多项式进行插值。第15页，共24页，编辑于2022年，星期三2）与抛物线拟合的线性函数 前面介绍了利用三次多项式函数插值的规划方法。另外一种常用方法是线性函数插值法，即用一条直线将起点与终点连接起来。但是，简单的线性函数插值将使得关节的运动速度在起点和终点处不连续，它也意味着需要产生无穷大的加速度，这显然是不希望的。因此可以考虑在起点和终点处，用抛物线与直线连接起来，在抛物线段内，使用恒定的加速度来平滑地改变速度，从而使得整个运动轨迹的位置和速度是连续的。6.2 关节空间法第16页，共24页，编辑于2022年，星期
12、三线性函数插值图线性函数插值图利用抛物线过渡的线性函数利用抛物线过渡的线性函数插值图插值图6.2 关节空间法第17页，共24页，编辑于2022年，星期三过路径点的路径与抛物线拟合的线性函数过路径点的路径与抛物线拟合的线性函数 如图所示，某个关节在运动中设有如图所示，某个关节在运动中设有n n个路径点，其中三个相邻的路径点表个路径点，其中三个相邻的路径点表示为示为j j，k k和和l l，每两个相邻的路径点之间都以线性函数相连，而所有的路径点附近则用每两个相邻的路径点之间都以线性函数相连，而所有的路径点附近则用抛物线过渡。（同样存在多解）抛物线过渡。（同样存在多解）第18页，共24页，编辑于20
13、22年，星期三第19页，共24页，编辑于2022年，星期三 如果要求机器人通过某个结点，同时速度不为零，怎么办？如果要求机器人通过某个结点，同时速度不为零，怎么办？可以在此结点两端规定两个可以在此结点两端规定两个“伪结点伪结点”，令该结点在两伪结点的连线上，令该结点在两伪结点的连线上，并位于两过渡域之间的线性域上。并位于两过渡域之间的线性域上。第20页，共24页，编辑于2022年，星期三 前面介绍的在关节空间内的规划，可以保证运动轨迹经过给定的路径点。但是在直角坐标空间，路径点之间的轨迹形状往往是十分复杂的，它取决于机械手的运动学机构特性。在有些情况下，对机械手末端的轨迹形状也有一定要求，如要
14、求它在两点之间走一条直线，或者沿着一个圆弧运动以绕过障碍物等。这时便需要在直角坐标空间内规划机械手的运动轨迹 直角坐标空间的路径点，指的是机械手末端的工具坐标相对于基坐标的位置和姿态每一个点由6个量组成，其中3个量描述位置，另外3个量描述姿态。在直角坐标空间内规划的方法主要有：线性函数插值法和圆弧插值法。6.3笛卡儿空间规划法 第21页，共24页，编辑于2022年，星期三前面轨迹规划的任务，是根据给定的路径点规划出运动轨迹的所有参数。例如，在用三次多项式函数插值时，便是产生出多项式系数a0,a1,a2,a3从而得到整个轨迹的运动方程：对上式求导，可以得到速度和加速度6.4 轨迹的实时生成第22页，共24页，编辑于2022年，星期三 前面讨论了在给定路径点的情况下如何规划出运动轨迹的问题。但是还有一个如何描述路径点并以合适的方式输入给机器人的问题。最常用的方法便是利用机器人语言。用户将要求实现的动作编成相应的应用程序，其中有相应的语句用来描述轨迹规划，并通过相应的控制作用来实现期望的运动。6.4 路径的描述第23页，共24页，编辑于2022年，星期三THANK YOU第24页，共24页，编辑于2022年，星期三