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1、安徽省滁州二中高二数学222 反证法教案 新人教A版选修2-2 教学目的：搞清函数的反证法，了解反证法是间接证明的一种方法，理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.教学重点：反证法的解题思想教学难点：反证法的解题步骤.教学过程：用反证法证明否定性命题例1 已知三个正数 成等比数列，但不成等差数列，求证：不成等差数列.证明：假设成等差数列，则即，而，即，即.从而，与不成等差数列矛盾，故不成等差数列.点评：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体，适用反证法.（2）反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.二、用反证法证明唯一性问题例
2、2 一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直.证明：根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明.（1）如图（1），点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线.因为平面，平面，所以，在平面内经过点A有两条直线都和直线垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.（2）如图（2），点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB和AC（B、C为垂足），那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为平面，平面，所以.在平面内经过点A有两条直
3、线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.综上，经过一点A只能有平面的一条垂线.三、用反证法证明“至多”或“至少”类问题.例3 已知，且，求证：方程和中，至少有一个方程有实根证明：假设两个一元二次方程都没有实根，那么它们的判别式都小于零，即，把代入上式，得，即。这与“任何实数的平方为非负数”相矛盾，所以假设不成立。故这两个方程中，至少有一个方程有实根.点评；对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法.常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有个至多有个反设词一个也没有至少有两个至多有个至少有总结归纳：课后练习：设均为实数，且，求证：中至少有一个大于零.2