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1、山东省烟台市莱州一中等2015届高三数学上学期期末考试题 文（含解析）新人教A版【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、命题，数列，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1. 已知集合，A. B. C. D. 【知识点】集合及其运算A1【答案】C【解析】A= ,B=,则.【思路点拨】先求出A,B再求结果。【题文】2.函数的
2、定义域为A. B. C. D. 【知识点】函数及其表示B1【答案】D【解析】由题意得，则，则。【思路点拨】根据对数函数的意义求得。【题文】3.已知角的终边与单位圆交于点等于A. B. C. D.1【知识点】二倍角公式C6【答案】A【解析】点P在单位圆上=a=或-cos2a=2cos2a-1=2（）2-1=-【思路点拨】首先求出点P的坐标，再利用三角函数的定义得出a的度数，进而由二倍角公式求出结果即可【题文】4.已知变量满足约束条件则的最大值为A. B.0C.1D.3【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】C【解析】由z=x-2y得y=x-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y
3、=x-，由图象可知当直线y=x-，过点A（1，0）时，直线 y=x-的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x-2y，得z=1，目标函数z=x-2y的最大值是1【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【题文】5.为了得到的图象，只需把图象上的所有点的A.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D.横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【知识点】函数的图象与性质C4【答案】D【解析】由函数图象变换的规则函数，xR的图象，可以由函数，xR的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到【思路点拨
4、】得到函数，xR的图象，只需把函数，xR的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【题文】6.过点作圆的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为A. B. C. D. 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案】A【解析】圆（x-2）2+y2=1的圆心为C（2，0），半径为1，以（3，1）、C（2，0）为直径的圆的方程为（x-2.5）2+（y-0.5）2=0.5，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程x+y-3=0【思路点拨】求出以（3，1）、C（2，0）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程【题文】7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是A.2
5、B. C. D.3【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】D【解析】根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V=2x=3x=3【思路点拨】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可【题文】8.已知的重心为G，角A，B，C所对的边分别为，若，则A.1：1:1B. C. D. 【知识点】单元综合F4【答案】B【解析】设a，b，c为角A，B，C所对的边，由，则2a+=-3c=-3c(-)，即（2a-3c）+(b-3c)=，又因，不共线，则2a-3c=0，b-3c=0，即2a=b=3c.所以【思路点拨】利用正弦定理化简已知表达式，通过，不共线，求出a、b、c的关系，利用余弦定理求
6、解即可【题文】9.函数的图象是【知识点】函数的图像B8【答案】B【解析】由得x1或-1x0,根据符合函数的单调性知（1，+）和（-1,0）为增函数，求得。【思路点拨】根据函数的定义域和单调性求出。【题文】10.已知函数，其中e是自然对数的底数，若直线与函数的图象有三个交点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【知识点】函数与方程B9【答案】D【解析】函数图象如下，要使直线y=2与函数y=f（x）的图象有三个交点，只要ae22，解得a2e-2【思路点拨】由题意，二次函数开口应该向上，并且ae22，得到a2e-2，得到选项二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.【题文】11.已知
7、向量，若【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案】3【解析】，=(-1，1)+(3，m)=(2，m+1)，由，得（-1）（m+1）-2=0解得：m=-3【思路点拨】由向量的坐标加法运算求得的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求解m的值【题文】12.设正项等比数列项积为的值为【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案】3【解析】正项等比数列an，前n项积为Tn，T10=9T6，=a7a8a9a10=（a5a12）2=9，a5a12=3【思路点拨】由已知条件推导出=a7a8a9a10=（a5a12）2=9，由此能求出a5a12的值【题文】13.已知恒成立，则实数m的最大值为【知识点】基
8、本不等式E6【答案】10【解析】要使xym-2恒成立即使mxy+2恒成立只要m（xy+2）的最小值即可x0，y0，xy=x+2yxy=x+2y2当且仅当x=2y时，取等号令=t则t22t解得t2即xy8所以xy+2的最小值为10所以m10【思路点拨】分离出m；将不等式恒成立转化为求函数的最值；据x0，y0；将已知等式利用基本不等式；通过换元解不等式求出xy的最小值，注意验等号何时取得，求出m的范围【题文】14. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为【知识点】双曲线及其几何性质H6【答案】x2-=1【解析】因为抛物线y2=24x的准线方程为x=-2，则由
9、题意知，点F（-2，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=1，b2=3，所以双曲线的方程为 x2-=1。【思路点拨】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=-2，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（-2，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=x，可得=，则得a、b的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决【题文】15.设点是函数y=f（x）（x1xx2）图象上的两端点.O为坐标原点，且点N满足在函数的图象上，且满足（为实数），则称的最大
10、值为函数的“高度”.函数在区间上的“高度”为【知识点】单元综合B14【答案】4【解析】由函数f（x）=x2-2x-1及区间-1，3可得区间端点A（-1，2），B（3，2）=(-1，2)+(1-)(3，2)=（3-4，2），N（3-4，2）；点N满足=+(1-)，0，01xM=3-4，yM=（3-4）2-2（3-4）-1=162-16+2，|MN|=|162-16|=16|(-)2-|，0，1，0(-)2，|(-)2-|0，|MN|4函数f（x）=x2-2x-1在区间-1，3上的“高度”为4【思路点拨】利用向量共线即可得出点N的坐标及的取值范围、利用两点间的距离公式即可得出|MN|、再二次函数的
11、单调性即可得出三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】16.（本小题满分12分）已知函数的周期为.（I）求的解析式；（II）在中，角A、B、C的对边分别是，求的面积.【知识点】单元综合C9【答案】(1) f(x)=sin(x-)（II）【解析】(1)f(x)=sin2-cos2=sin(2-),所以，所以f(x)=sin(x-)(2)由f(A)=,得sin（A-）=，因为0A,所以-A-,所以A-=所以A=,由得，又b+c=3,所以bc=2，所以S=【思路点拨】f(x)=sin2-cos2=sin(2-),所以，所以f(x)=sin(x-)由得b+
12、c=3,所以bc=2，所以S=。【题文】17.（本小题满分12分）已知数列中，为其前项和，且对任意，都有.（I）求数列的通项公式；（II）设数列满足，求数列的前项和.【知识点】数列求和D4【答案】（I）（II）【解析】（I）得=，而，所以=当n时，当n=1时也成立，所以数列的通项公式（2），所以=。【思路点拨】，当n=1时也成立，所以数列的通项公式=。【题文】18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥平面ABCD，E为PD的中点，F在AD上且.（1）求证：CE/平面PAB；（2）若PA=2AB=2，求四面体PACE的体积.【知识点】单元综合G12【答案】（1）略（2）【解析】（1）证明：因为所以
13、又所以,所以AF=CF=DF,所以F为AD的中点。又E为PD的中点，所以EFPA,而APPAB，所以EF面PAB，又,所以CFAB,可得CF面PAB，又EFCF=F,所以面PAB面CEFCE 面CEF,所以CE/平面PAB（2）因为EFPA，所以EF面PAC，PA=2AB=2所以AC=2AB=2，CD=2，= =.【思路点拨】由面面平行证明线面平行，= =.求出。【题文】19.（本小题满分12分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.（1）求n的值；（2）从袋子中不放回地随
14、机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记“”为事件A，求事件A的概率；在区间内任取2个实数，求事件“恒成立”的概率.【知识点】单元综合K9【答案】（1）2（2）1-【解析】（1）由题意，根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是，可得n=2（2）从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个,P(A)= =记“x2+y2（a-b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y24恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为=（x，y）|0x2，0y2，x，yR，而事件B构成的区域B=（x
15、，y）|x2+y24，（x，y）P(B)=1-【思路点拨】（1）根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是，可求n的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，故可求概率；记“x2+y2（a-b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y24恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件B构成的区域，即可求得结论【题文】20.（本小题满分13分）已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是.（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知动直线与椭圆E相交于A、B两点，且在轴上存在点M，使得与k的取值无
16、关，试求点M的坐标.【知识点】单元综合H10【答案】（I）x2+3y2=5（2）M（-，0）【解析】（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=，c=ea=，故b=，所以，椭圆E的方程为，即x2+3y2=5（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则x1+x2=-，x1x2=；=（x1-m，y1）=（x1-m，k（x1+1），=（x2-m，y2）=（x2-m，k（x2+1）；=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m-，要使
17、上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=-存在点M（-，0）满足题意【思路点拨】（I）椭圆的焦点在x轴上，且a= ，e=，故c、b可求，所以椭圆E的方程可以写出来（II）假设存在点M符合题意，设AB为y=k（x+1），代入方程E可得关于x的一元二次方程（*）；设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），由方程（*）根与系数的关系可得，x1+x2，x1x2；计算 得关于m、k的代数式，要使这个代数式与k无关，可以得到m的值；从而得点M【题文】21.（本小题满分14分）已知函数（为自然对数的底数）.（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（2）讨论函数的极值情况；（3）当时，若直线与曲
18、线没有公共点，求k的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案】（）e（）当a0时f（x）无极值, 当a0时,f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值（3）k1【解析】（）由f（x）=x-1+，得f（x）=1-，又曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，f（1）=0，即1-=0，解得a=e（）f（x）=1-，当a0时，f（x）0，f（x）为（-，+）上的增函数，所以f（x）无极值；当a0时，令f（x）=0，得ex=a，x=lna，x（-，lna），f（x）0；x（lna，+），f（x）0；f（x）在（-，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，故f（x）在x=ln
19、a处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值综上，当当a0时，f（x）无极值；当a0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值（）当a=1时，f（x）=x-1+，令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+，则直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，等价于方程g（x）=0在R上没有实数解假设k1，此时g（0）=10，g（）=-1+0，又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k1【思路点拨】（）依题意，f（1）=0，从而可求得a的值；（）f（x）=1-，分a0时a0讨论，可知f（x）在（-，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，从而可求其极值；（）令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+，则直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点方程g（x）=0在R上没有实数解分k1与k1讨论即可得答案- 12 -