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1、【高考领航】2014高考数学总复习 2-12 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例练习 苏教版【A组】一、填空题1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_解析：yx381x234，yx281(x0)令y0得x9，令y9，令y0得0xf(0)的解集为_解析：f(x)xcos x，f(x)1sin x0，f(x)(xR)是增函数若f(ex1)f(0)，则ex10，ex1，即x0.解集为(0，)答案：(0，)3(2011高考福建卷)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则
2、ab的最大值等于_解析：函数的导数为f(x)12x22ax2b，由函数f(x)在x1处有极值，可知函数f(x)在x1处的导数值为零，122a2b0，所以ab6，由题意知a，b都是正实数，所以ab229，当且仅当ab3时取到等号答案：94(2011高考浙江卷)设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是_解析：设h(x)f(x)ex，则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex.由x1为函数f(x)ex的一个极值点，当x1时，ax22axbxbcca0，ca.f(x)ax2bxa.若方程ax2b
3、xa0有两根x1，x2，则x1x21，中图象一定不满足该条件答案：5函数f(x)2x43x21在区间上的最大值和最小值分别是_解析：令f(x)8x36x0，得x0或x，x0及x不合题意，舍去f231，f，f(2)21.原函数的最大值为f(2)21，最小值为f.答案：21，6若f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_解析：f(x)3x26ax3(a2)，由题意知f(x)0有两个不等的实根，故(6a)2433(a2)0，即a2a20，解得a2或a0的解集为(1,3)，可设f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，因而f(x)a(x1)(x3)2xax22(1a)x3ag
4、(x)xf(x)ax32(1a)x23ax，g(x)在区间内单调递减，g(x)3ax24(1a)x3a在上的函数值非正，由于a0，故只需ga(1a)3a0，注意到a0，a24(1a)90，得a1或a5(舍去)故所求a的取值范围是(，1(2)证明：a1时，方程f(x)2x31仅有一个实数根，即证方程2x3x24x40仅有一个实数根令h(x)2x3x24x4，由h(x)6x22x40，得x11，x2，易知h(x)在(，1)，上递增，在上递减，h(x)的极大值h(1)10，故函数h(x)的图象与x轴仅有一个交点，a1时，方程f(x)2x31仅有一个实数根，得证(3)设r(x)f(x)(2a1)x3a
5、1ax2x1，r(0)1，对称轴为x，由题意，得或解出5a0，故使|f(x)(2a1)x3a1|3成立的充要条件是5a0.【B组】一、填空题1(2013江苏淮安四校联考)挖一条隧道，截面下方为矩形，上方为半圆(如图)，如果截面积为20 m2，当宽为_时，使截面周长最小解析：如图所示，设半圆的半径为r，矩形的高为h，则截面积S2rh20，截面周长C2r2hr2rr2rrr.设C(r)，令C(r)0，解得r2 .故当r2 时，周长C最小，即宽为4 时，截面周长最小答案：4 2(2013泰州统考)已知函数f(x)ln x，若函数f(x)在1，)上为增函数，则正实数a的取值范围为_答案：1，)3(20
6、13苏北四市调研)已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_答案：2，14(2013黄冈模拟)已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_答案：4，)5函数f(x)xex，x0,4的最大值是_解析：f(x)exxexex(1x)，令f(x)0，x1.又f(0)0，f(4)，f(1)e1，f(1)为最大值答案：6函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为_解析：y3x23a，令y0，可得：ax2.又x(0,1)，0a0时，(xk)f(x)x1
7、0，求k的最大值解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)存在唯一的零点，故g(x)在(0，)存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2.7