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1、四川省成都市第七中学2015届高三数学（理）2月阶段性测试试题（扫描版）成都七中2015届高三上期2月阶段性测试数 学 试 题(答案)本试题卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）.满分150分.考试时间120分钟.第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A=， B=， 则=A B1 C.2 D.1，2【解析】 集合A=，B=，.故选A2.已知是虚数单位， 若（），则的值为A B C D【解析】 由，知为纯虚数，为纯虚数，故选B. 3.已知直线平面，直线平面，则下列结论中错误的是A.若， 则 B.若
2、， 则 C.若，则 D.若 ，则开始输入是【解析】 因为直线平面，直线平面，对于A，由知，又平面，所以，因此A正确. 对于B，因，平面， ，又平面，所以B正确.对于C，因，平面，又平面，所以C正确.对于D，由可知平行、相交、异面，所以D错.故选D.4. 在如图所示的程序框图中，若，则输出的结果是A. B.C. D.【解析】 由 得当时， ，当时，当时，故选B.5.一个边长为2，宽1的长方形内画有一个中学生运动会的会标，在长方形内随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在会标区域内，则该会标的面积约为A B C D【解析】 由几何概型的概率计算公式可知， ，所以会标的面积约为，故选B.6.三角函数，若
3、，则直线的倾斜角为A B C D 【解析】 由知三角函数的图像关于对称，所以所以，直线的斜率，其倾斜角为倾斜角为.故选D.7.已知数列满足，则A. -6 B.6 C.-1 D.1【解析】 由可得，从而可得，所以数列是一个周期为4的数列.又，所以，所以，又，所以.8. 已知向量， B是圆C：上的一个动点，则两向量所成角的最大值为A B C D 【解析】 如图，过点O向圆C作切线OB，连结CB，为所成最大角，因点C，所以，又，故选D.9.已知抛物线的焦点与双曲线的左焦点的连线交于第二象限内的点M，若抛物线在点M处的切线平行于双曲线的一条渐近线，则p=A. B. C. D.【解析】 由题意可知，抛物
4、线的焦点坐标为，双曲线的左焦点坐标为，则过抛物线的焦点与双曲线的左焦点的直线方程为，即.设该直线与抛物线的交点M的坐标为，则抛物线在点M的切线斜率为，又抛物线在点M处的切线与双曲线的一条渐近线平行，点M在第二象限，所以，解得.即，又点M在直线上，所以，解得,故选A.10.定义区间长度为，（），已知函数 ()的定义域与值域都是，则区间取最大长度时的值为A B C D 3【解析】 设是已知函数定义域的子集. 或，故函数在上单调递增，则，故是方程的同号的相异实数根，即的同号的相异实数根. ，同号，只需， 取最大值为.此时.第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
5、11.在二项式展开式中含项是第 项.【解析】 二项式展开式的通项公式为 ，令，二项式展开式的第7 项.12.已知，则=_.【解析】 由,得，,则,所以.13.设、满足约束条件，若取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数的值是 .【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由于目标函数取最大值时的最优解有无穷多个，所以目标函数的几何意义是直线与直线重合，比较得.14. 设，若，则的最大值为 .【解析】 ，由得为定值，令，当且仅当时等号成立，.15.在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点，若都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾
6、直线.现有如下几个命题：如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b一定是遗憾直线；“直线y=kx+b是完美直线”的充要条件是“k与b都是有理数”；存在恰有一个完美点的完美直线；完美直线经过无穷多个完美点，当且仅当直线经过两个不同的完美点.其中正确的命题是_（写出所有正确命题的编号）【解析】 对于，如果取k= ，b=，那么直线y=x+经过完美点（-1，0），是完美直线，所以错误；对于，由知当k=b=时，k与b均为无理数，但是直线y=x+是完美直线，所以错误；对于，设直线方程为y= x，只经过了一个完美点（0，0），所以正确；对于，设y=kx为过原点的完美直线，若此直线过不同的完美点（x1，y1）和
7、（x2，y2），把两点代入完美直线的方程得y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1-y2=k（x1-x2），则（x1-x2，y1-y2）也在完美直线y=kx上，且（x1-x2，y1-y2）也为完美点，通过这种方法得到直线经过无穷多个完美点，所以正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分） 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且（1）记角，若ABC是锐角三角形，求f(x)的取值范围；（2）求ABC的面积的最大值.【解析】 （1）在ABC中， A+B+C=，解得. （1分） 在ABC中，b=1， ，即 （4分）ABC
8、是锐角三角形， ，得x+，于是2，即f(x)的取值范围为(，2 （6分）（2）由（1）知，由余弦定理得，即.，当且仅当时，等号成立. （10分）此时，故当时，ABC的面积的最大值为. （12分）17.（本小题满分12分）某校高三年级有400人，在省标准化考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（右图）.（1）求第四个小矩形的高；（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？（3）样本中，已知成绩在内的学生中有三名女生，现从成绩在内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有名女生被选取，求的分布列和数学期望0.0300.02
9、00.0120.010100 110 120 130 140 150【解析】（1）由频率分布直方图可知，第四个小矩形的高为. （3分）（2）因为样本中，数学成绩在120分以上的频率为，（4分）所以通过样本估计总体（即将频率看作概率），可估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有（人）. （6分）（3）由频率分布直方图可知，样本中成绩在内的学生共有（人）. 于是，由题设知这6人恰好是3男3女.（7分）因为的所有可能取值为0、1、2、3，且，.（10分）所以的分布列为：0123所以的数学期望为：(12分)18.（本小题满分12分）已知几何体A-BCPM的三视图如图所示，侧视图是
10、直角三角形，正视图是一个梯形. （1）求证： ；（2）求二面角的余弦值.1侧视图主视图211俯视图【解析】 （1）由三视图可知，平面平面，平面平面，且，平面， （3分） 又平面，. （5分）E（2）解法一 取BC的中点N，连接MN，由三视图可知，PMCN 且PM=CN，MNPC，MN=PC，由（1）知平面ABC，平面ABC作，交AC的延长线于H，连接MH易知，为二面角的平面角 （7分）由三视图可知PC=MN=1，CB=2，AC=1，点A到直线BC的距离为AE=.在中，AC=1，在中，在中，在中， （11分）E故二面角的余弦值为 （12分）解法二 由三视图可知，PMCN 且PM=CN，MNPC，
11、MN=PC，由（1）知平面ABC，平面ABCPC=MN=1，CB=2，AC=1，点A到直线BC的距离为AE=.在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示在中，AC=1， （8分）设平面MAC的法向量为，则由得，解得，是平面MAC的一个法向量. （10分）又平面ABC的一个法向量为， （11分）由图可知二面角为锐二面角，二面角的余弦值为 （12分）19.（本小题满分12分）已知数列的前项和满足，且.（1） 求证:数列是等比数列,并通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【解析】 （1） 由可得，两式作差得， （3分）又，则，所以，整理得，又，故数列是首项为，公比为的等比数列，
12、所以. （6分）（2） 由（1）可得，所以， （7分）故，设，则，作差得，所以. （9分）设，则， （11分）故. （12分）20.（本小题满分13分）xMQPA1y已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-，其离心率是方程的根.（1） 求椭圆C的标准方程；（2） （2）若椭圆C长轴的左右端点分别为A1，A2，设直线x=4与x轴交于点D，动点M是直线x=4上异于点D的任意一点，直线A1M，A2M与椭圆C交于P，Q两点，问直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点；若不是，请说明理由 【解析】 （1）设椭圆C的方程为，则依题意得，又离心率是方程的的根，所以，.椭圆C的
13、标准方程为. （4分）（2）由（1）知椭圆C的标准方程为，设动点，则，直线的方程为，直线的方程为，由 消去得，. （6分）由 消去得，. （8分），直线的方程为，直线过定点. （12分）当时，；当时，.此时直线也恒过定点.综上可知，直线PQ恒过定点，且定点坐标为. （13分）21.（本小题满分14分）已知函数，的图象过点，且在点（）处的切线与直线垂直. （1）求的值.（2）若存在（e为自然对数的底数，且e=2.71828），使得不等式成立，求实数的取值范围；（3）设函数的图象上从左至右依次存在三个点，且，求证：.【解析】 （1），因在点（）处的切线与直线垂直. . （2分）又函数的图象过点，所以，. （4分）（2）由（1）知，由题意得，则，若存在，使不等式成立，只需小于或等于的最大值，设，则， （7分）当时，故单调递减；当时，故单调递增.，.当时，h（x）的最大值为，故，即实数的取值范围是. （10分）（3） 由（1）得，欲证，只需证在且上恒成立.令，构造函数， ， （12分）当时，在内是单调递减，故当时，有最大值，从而当时，有.即故 . （14分）16