《福建诗山县第二中学2015届高三数学上学期期末考试试题理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建诗山县第二中学2015届高三数学上学期期末考试试题理.doc（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2015届东山二中高三（上）理科数学期末考试卷班级 座号 姓名 一、选择题：（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共50分）1、设复数满足，则 =( ) A. B. C. D.2、设集合P|，则集合P的所有子集个数是() A.2 B.3 C.7 D.83、下列结论正确的是( ) A.若向量，则存在唯一的实数使得B.已知向量为非零向量，则“的夹角为钝角”的充要条件是“0”C.命题：若，则或的逆否命题为：若且，则D.若命题，则4、 设随机变量服从正态分布，若，则实数等于( ) A B C5 D35、等比数列的前n项和为,，则=（ ） A.27 B.81 C.243 D.7296、
2、设函数的图像关于直线对称,它的周期是，则（ ）A.的图象过点 B.的一个对称中心是 C.在上是减函数D.将的图象向右平移个单位得到函数的图象7、图一是某高校学生身高的条形统计图，从左到右表示学生人数依次记为A1、A2、A10（如A2表示身高在内的人数）。图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在内的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填的条件及输出的值分别是（ ） AB CD8、如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为( ) A B C
3、 D9、已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，则的最小值为( ) A. B. C. 4 D.910、已知都是定义在上的函数，且 ，且，若数列的前项和大于，则的最小值为（ ） A6 B7 C8 D5二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11、设二项式的展开式中常数项为，则 12、平面向量与的夹角为60，=(2,0)，|=1，则|+2| 13、记集合和集合表示的平面区域分别为，若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为 . 14、 设，则函数的最大值为 . 15、已知两个正数，可按规则扩充为一个新数c，在三数
4、中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个数称为一次操作若，经过6次操作后扩充所得的数为（m，n为正整数），则的值为 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16、（本小题满分13分）已知,其中,.（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）在中,角所对的边分别为, , 且向量与共线，求边长和的值.17、（本小题满分13分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实
5、时监测到的数据： 城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118东莞137中山95江门78云浮76茂名107揭阳80深圳94珠海95湛江75潮州94河源124肇庆48清远47佛山160惠州113汕头88汕尾74阳江112韶关68梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0,50)50，100）100,150)150,200)城市个数 （2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取个城市，省环保部门再从中随机选取个城市组织专家进行调研，记
6、省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为”，求的分布列和数学期望18、（本小题满分13分）如图, 的外接圆的半径为, 所在的平面, , , 且,.（1）求证: 平面ADC平面BCDE.（2）试问线段DE上是否存在点M, 使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在,确定点M的位置, 若不存在, 请说明.19、（本小题满分13分） 已知x0，1，函数.（1）求函数f（x）的单调区间和值域；（2）设a -1，若，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围.20、（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为（）求抛物线的方程；（）若点为抛物线的准线上的任意一点，过点作抛
7、物线的切线与，切点 分别为，求证：直线恒过某一定点；()分析()的条件和结论，反思其解题过程，再对命题()进行变式和推广请写出一个你发现的真命题，不要求证明（说明：本小题将根据所给出的命题的正确性和一般性酌情给分）21、（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分如果多做，则按所做的前两题记分作答时，在答题卡上把所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修42：矩阵与变换已知矩阵，绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为（）求矩阵；（）若曲线：在矩阵对应变换作用下得到曲线，求曲线的方程（2）（本小题满分7分）选修44：坐标系与参数
8、方程已知直线l的参数方程是（其中t为参数），圆c的极坐标方程为，（）将圆C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程。 （）过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值（3）（本小题满分7分）选修45：不等式选讲设函数f(x)=|x4|+,（）求f(x)的最小值m（）当 (a,b,cR)时,求的最小值.2015届东山二中数学理期末参考答案：CDCA CBCD BA11、， 12、2, 13、, 14、, 15、 21,15、【解析】因为pq0，所以第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1，因为c1pq，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（p
9、q+p+q）=（p+1）2（q+1）-1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）-1=（p+1）3（q+1）2-1，第四次可得：c4=（c3+1）（c2+1）-1=（p+1）5（q+1）3-1，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13-1，因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n-1（m，n为正整数），所以m=8，n=13，所以m+n=2116、解：(1) 由题意知. 的最小正周期 3分 在上单调递减，令，得的单调递减区间 6分 (2)，,又，即 9分，由余弦定理得=7. 因为向量与共线，所以，由正弦定理得. . 13分17、解:（1）根
10、据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围0,50)50，100）100,150)150,200)城市频数21261 3分 （2）按分层抽样的方法， 从“良好”类城市中抽取个， 从“轻度污染”类城市中抽取个， 6分 所以抽出的“良好”类城市为个，抽出的“轻度污染”类城市为个 根据题意的所有可能取值为： 7分, ，11分的分布列为：所以 12分答：的数学期望为个 13分18、解（1）CD 平面ABC，BE/CD BE平面ABC，BEAB BE=1, ， 从而 的半径为，AB是直径，ACBC 又CD 平面ABC，CDBC，故BC平面ACD平面BCDE，平面ADC平面BCDE
11、 6分（2）方法1：假设点M存在，过点M作MNCD于N，连结AN，作MFCB于F，连结AF平面ADC平面BCDE，MN平面ACD，MAN为MA与平面ACD所成的角 设MN=x，计算易得，DN=，MF= 故 解得：（舍去） ，故，从而满足条件的点存在，且 方法2：建立如图所示空间直角坐标系Cxyz，则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则 7分易知平面ABC的法向量为，假设M点存在，设，则， 再设，即，从而 10分设直线AM与平面ACD所成的角为，则： 解得， 其中应舍去，而故满足条件的点M存在，且点M的坐标为 13分19、解:（）f（x）
12、=2x-，令f（x）=0，解得：，x=-1（舍去）2分列表：x0（0，）（，1）1f （x）-0+f（x）ln21-ln可知f（x）的单调减区间是0，增区间是，1；4分因为1-ln=ln2-（ln3-1）ln2，所以当x0，1时，f（x）的值域为，ln2 7分（）g（x）=3（x2-a2）因为a-1，x0，1所以g（x）0， g（x）为0，1上的减函数，g（1）g（x）g（0），所以g（x）1-4a-3a2，-4a因为当x0，1时，f（x）的值域为，ln2 10分由题意知：，ln21-4a-3a2， -4a所以 又a-1，得a-。 13分20 本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的
13、位置关系、归纳推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等解：（）依题意可设抛物线的方程为：（）由焦点为可知，所以所以所求的抛物线方程为4分（）方法一：设切点、坐标分别为，由（）知，则切线的斜率分别为，故切线的方程分别为，5分联立以上两个方程，得.故的坐标为，6分因为点在抛物线的准线上，所以，即7分设直线的方程为，代入抛物线方程，得，所以，即，所以9分故的方程为，故直线恒过定点10分方法二：设切点、坐标分别为，设，易知直线斜率必存在，可设过点的切线方程为由，消去并整理得因为切线与抛物线有且只有一个交点，所以，整理得，所以直线斜率为方程的两个
14、根，故，5分另一方面，由可得方程的解为，所以6分假设存在一定点，使得直线恒过该定点，则由抛物线对称性可知该定点必在轴上，设该定点为，7分则所以，所以，整理得所以，所以9分所以直线过定点10分（）结论一：若点为直线（）上的任意一点，过点作抛物线（）的切线，切点分别为，则直线恒过定点14分结论二：过点（）任作一条直线交抛物线于两点，分别以点为切点作该抛物线的切线，两切线交于点，则点必在定直线上14分结论三：已知点为直线上的一点，若过点可以作两条直线与抛物线（）相切，切点分别为，则直线恒过定点14分说明：以上两结论只要给出其中一个即可或给出更一般性的结论；以上两结论中的抛物线开口方向均可改变；该小题
15、评分可对照以下表格分等级给分：得分答题情况0分写出与命题（）无关的结论所给命题的条件与结论均存在问题1分将准线或抛物线改为其它特殊情况，结论正确.将准线或抛物线其中一个一般化，但结论中的定点（或定直线）有误2分写出命题的逆命题，结论正确.( 其它分点逆命题相应给分)将准线和抛物线都推广成一般情况，但结论中的定点（或定直线）有误3分将准线和抛物线其中一个推广成一般情况，结论正确将准线和抛物线都推广成一般情况，但中漏写一个或两个4分将准线和抛物线都推广成一般情况，结论正确21. （1）解：（）由已知得，矩阵3分（）矩阵，它所对应的变换为解得把它代人方程整理，得 ， 即经过矩阵变换后的曲线方程为 7
16、分（2） 解：()圆C的极坐标方程为=2cos（+），2=cos-sin，x2+y2=x-y，即（x-）2+（y+）2=1，圆C是以M（，-）为圆心，1为半径的圆化直线l的参数方程（t为参数）为普通方程：x-y+4=0， 3分()圆心M（，-）到直线l的距离为d=5， 5分要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（，-）到直线的距离d，由勾股定理求得切线长的最小值为=27分（3）解:()法1: f(x)=|x4|+|(x4)(x3)|=1,故当3x4时函数f(x)的最小值为1. m =1.4分 法2:. 1分x4时,f(x)1;x1,3x4时,f(x)=1, 3分故函数f(x)的最小值为1. m =1.4分()由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)(a+2b+3c)2=15分故a2+b2+c26分当且仅当时取最小值等号7分