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1、2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=xZ|0x3，则集合A的非空子集个数为( )个A15B16C7D82下列函数是偶函数，且在区间（0，+）上单调递减的是( )Ay=2xBy=log2xCy=|x|Dy=x23已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（9）=( )A3BC9D4三个数70.3，0.37，log30.7的大小关系是( )AB70.30.37log30.7C0.3770.3log30.7D5函数y=ax与y=logax（a0，且a1）在同一坐
2、标系中的图象只可能是( )ABCD6在用二分法求方程x3x1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可判定该根所在区间为( )A（1，1.25）B（1，1.5）C（1.5，2）D（1.25，1.5）7已知函数f（x）=2x和函数x，则函数f（x）与g（x）的图象关于( )对称Ax轴By轴C直线y=xD原点8已知R是实数集，集合P=mR|mx2+4mx40对xR都成立，Q=x|y=ln（x2+2x），则（RP）（RQ）=( )Ax|2x1Bx|2x1或x=0Cx|2x1Dx|2x1或x=09某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售
3、单价与日均销售量的关系如下表所示，请根据以上数据作出分析，这个经营部将销售单价定为( )元时才能获得最大的利润销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240A10.5B6.5C12.5D11.510已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，在（，0上单调递减，且有f（2）=0，则使得（x1）f（log3x）0的x的范围为( )A（1，2）BCD11给出下列命题：（1）函数和是同一个函数；（2）若函数，则函数f（x）的单调递减区间是其中正确命题的个数有( )个A1B2C3D412已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，若xR，f（x1）f（x），
4、则实数a的取值范围为( )ABCD二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13命题“若x0，则”的逆否命题为_14已知f（1+x）=x2+2x1，则f（x）=_15已知关于x方程|x2+2x3|=a（aR）有两个实数解，则a的取值范围是_16已知函数，x（k0）的最大值和最小值分别为M和m，则M+m=_三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（1）已知，求x+x1的值；（2）计算的值18（1）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（ab）=f（a）+f（b）”的函数的例子；（2）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有
5、f（a+b）=f（a）f（b）”的函数的例子；（3）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（ab）=f（a）f（b）”的函数的例子19已知函数f（x）=1，x（，0），判断f（x）的单调性并用定义证明20已知函数f（x）=4x2kx8在Q=x|y=ln（x2+2x）=x|x2+2x0=x|x0或x2，则RP=x|x0或x1，RQ=x|2x0，则（RP）（RQ）=x|2x1，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键9某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示，请根据以上数据作出分
6、析，这个经营部将销售单价定为( )元时才能获得最大的利润销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240A10.5B6.5C12.5D11.5【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，然后根据销售利润=日均销售量销售单价利润，建立等式关系，然后根据二次函数的性质求出x=即可【解答】解：设每桶水的价格为（6+x）元，公司日利润y元，则：y=（6+x5）（48040x）200，=40x2+440x+280，400，当x=5.5时函数有最大值，因此，每桶水的价格为
7、11.5元，公司日利润最大故选：D【点评】本题主要考查了二次函数模型的应用以及二次函数求最值，利用数学知识解决实际问题是中考中考查重点10已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，在（，0上单调递减，且有f（2）=0，则使得（x1）f（log3x）0的x的范围为( )A（1，2）BCD【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（，0上是减函数，函数f（x）在0x或1x9故选：C【点评】本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系
8、是解决本题的关键11给出下列命题：（1）函数和是同一个函数；（2）若函数，则函数f（x）的单调递减区间是（4）已知函数f（x）=a|log2x|+1（a0），定义函数，x0时，x0，F（x）=f（x）=F（x）；x0时，x0，F（x）=f（x）=F（x），故函数F（x）是偶函数，当a0时，|log2x|=，即log2x=或log2x=各有一个正根，即F（x）2=0有两个正根，由函数F（x）是偶函数，可得F（x）2=0也有两个负根，故方程F（x）2=0有四个根，即函数y=F（x）2有四个零点，故正确；故正确的命题有3个，故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了同一函数的定义，函数
9、的单调性，函数的奇偶性，函数的对称性，充要条件，函数的零点等知识点，难度中档12已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，若xR，f（x1）f（x），则实数a的取值范围为( )ABCD【考点】命题的真假判断与应用；全称命题【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑【分析】把x0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x0时的函数的最大值，由对xR，都有f（x1）f（x），可得4a2（4a2）1，求解该不等式得答案【解答】解：当x0时，f（x）=，由f（x）=，xa2，得f（x）a2；由f（x）=，0xa2，得f（x）a2当x0时，函数f（x）为奇函数，当x0时，对x
10、R，都有f（x1）f（x），如图，4a2（4a2）1，即8a21，解得：a实数a的取值范围是故选：A【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对xR，都有f（x1）f（x）得到不等式4a2（4a2）1，是中档题二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13命题“若x0，则”的逆否命题为若，则x0【考点】四种命题间的逆否关系【专题】计算题；规律型；转化思想；数学模型法；简易逻辑【分析】直接利用逆否命题写出结果即可【解答】解：命题“若x0，则”的逆否命题为：若，则x0故答案为：若，则x0【点评】本题考查逆否命题的定义的应用，基本知识
11、的考查14已知f（1+x）=x2+2x1，则f（x）=x22【考点】函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】直接利用配方法，求解函数的解析式即可【解答】解：f（1+x）=x2+2x1=（x+1）22，则f（x）=x22故答案为：x22【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力15已知关于x方程|x2+2x3|=a（aR）有两个实数解，则a的取值范围是a=0，或a4，【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】画出函数y=|x2+2x3|的图象，数形结合，可得满足条件的a的取值范围【解答】解：函数y=|
12、x2+2x3|的图象，由函数y=x2+2x3的图象纵向对折变换得到，如下图所示：若关于x方程|x2+2x3|=a（aR）有两个实数解，则a=0，或a4，故答案为：a=0，或a4【点评】本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，画出满足条件的函数图象，是解答的关键16已知函数，x（k0）的最大值和最小值分别为M和m，则M+m=8【考点】函数的最值及其几何意义【专题】整体思想；构造法；函数的性质及应用【分析】由函数f（x）变形，构造函数g（x）=log2（x+）+，x（k0），判断它为奇函数，设出最大值和最小值，计算即可得到所求最值之和【解答】解：函数=log2（x+）+5=log2（x+）+4
13、，构造函数g（x）=log2（x+）+，x（k0），即有g（x）+g（x）=log2（x+）+log2（x+）+=log2（1+x2x2）+=0，即g（x）为奇函数，设g（x）的最大值为t，则最小值即为t，则f（x）的最大值为M=t+4，最小值为m=t+4，即有M+m=8故答案为：8【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用构造函数，判断奇偶性，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（1）已知，求x+x1的值；（2）计算的值【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分
14、析】（1）利用平方关系，直接求解即可（2）利用对数运算法则以及指数运算法则化简求解即可【解答】解：（1），x+x1=92=7 （2）=222log63log62=3【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂运算法则的应用，考查计算能力18（1）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（ab）=f（a）+f（b）”的函数的例子；（2）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a+b）=f（a）f（b）”的函数的例子；（3）请你举2个满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（ab）=f（a）f（b）”的函数的例子【考点】抽象函数及其应用【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【
15、分析】根据条件分别判断抽象函数满足的函数模型进行求解即可【解答】解：（1）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（ab）=f（a）+f（b）”的函数模型为对数函数模型，则f（x）=log2x或f（x）=logx满足条件；（2）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（a+b）=f（a）f（b）”的函数模型为指数函数模型，则f（x）=2x或f（x）=（）x满足条件；（3）满足“对定义域内任意实数a，b，都有f（ab）=f（a）f（b）”的函数模型是幂函数模型，则f（x）=x2或f（x）=x满足条件；【点评】本题主要考查抽象函数的理解和应用，根据指数函数，对数函数，幂函数的数学模型是解决本题的关键1
16、9已知函数f（x）=1，x（，0），判断f（x）的单调性并用定义证明【考点】函数单调性的判断与证明【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】可以看出x增大时，增大，从而f（x）增大，从而得出该函数在（，0）内单调递增根据增函数的定义，设任意的x1x20，然后作差，通分，证明f（x1）f（x2）即可得出f（x）在（，0）内单调递增【解答】解：x增大时，减小，增大，f（x）增大，f（x）在（，0）内单调递增，证明如下：设x1x20，则：；x1x20；x1x20，x1x20；f（x1）f（x2）；f（x）在（，0）内单调递增【点评】考查增函数的定义，以及根据增函数的定义判断并证明一个
17、函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后，是分式的一般要通分20已知函数f（x）=4x2kx8在【分析】（1）根据二次函数的性质建立不等式关系即可（2）根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可求出函数的解析式【解答】解：（1）f（x）=4x2kx8在1）求集合A；2）若函数，求函数f（x）的值域【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法【专题】计算题；分类讨论；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】（1）由，解得x范围即可得出；（2）f（x）=（log2x3）（log2x2）=，由xA，可得log2x1，且log2x2，即可得出函数f（x）的值域【解答】解：（1
18、）由，解得x2，且x4A=x|x2且x4（2）f（x）=（log2x3）（log2x2）=5log2x+6=，xA，log2x1，且log2x2，当log2x；当log2x时，f（x）；当log2x时，f（x）函数f（x）的值域是【点评】本题考查了函数的定义域与值域、对数的运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22设函数g（x）=3x，h（x）=9x（1）解方程：h（x）24g（x）h（2）=0；（2）令，求的值；（3）若是实数集R上的奇函数，且f（h（x）1）+f（2kg（x）0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围【考点】函数恒成立问题【专题】综合题；转化思想；换
19、元法；函数的性质及应用【分析】（1）整理可得9x243x81=0，解二次方程得3x=27，进而求出x值；（2）求出=，发现题中所求自变量值和等于1，探索p（x）+p（1x）=+=1，进而得出=1006+p（）=；（3）利用函数的单调性，奇偶性得出32x1k3x2对任意的xR都成立，转换为恒成立问题进行求解【解答】解：（1）h（x）24g（x）h（2）=0，9x243x81=0，3x=27，x=3；（2）令=，p（1x）=，p（x）+p（1x）=+=1，=1006+p（）=；（3）因为是实数集R上的奇函数，所以，解得a=3，b=1，经检验符合题意，从而，由指数函数性质知：f（x）在实数集R上单调递增由f（h（x）1）+f（2kg（x）0得f（h（x）1）f（2kg（x），又因为f（x）是实数集R上的奇函数，所以f（h（x）1）f（kg（x）2）又因为f（x）在实数集R上单调递增，所以h（x）1kg（x）2，即32x1k3x2对任意的xR都成立，即对任意的xR都成立，令2，k2【点评】考查了利用换元法解不等式，利用条件，找出题中的等量关系，恒成立问题- 13 -