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1、第一部分专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第4讲 不等式专题强化精练提能 理1不等式|2x1|3的解集为()A(1，2)B(1，2)C(1，1) D(2，2)解析：选A.因为|2x1|332x131x2.所以|2x1|3的解集(1，2)2不等式x2的解集是()A(，0(2，4 B0，2)4，)C2，4) D(，2(4，)解析：选B.当x20，即x2时，不等式可化为(x2)24，所以x4；当x20，即x2时，不等式可化为(x2)24，所以0x2.3(2015聊城市第一次质量预测)已知点P(x，y)的坐标满足条件那么点P到直线3x4y130的距离的最小值为()A.B2C. D1解析：
2、选B.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x4y130，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x4y130的距离最近的点是(1，0)又点(1，0)到直线3x4y130的距离等于2，即点P到直线3x4y130的距离的最小值为2，故选B.4(2015洛阳市监测考试)下列命题中，正确的是()A若ab，cd，则acbdB若acbc，则abC若，则ab，cd，则acbd解析：选C.A：取a2，b1，c1，d2，可知A错误；B：当cbcab，所以B错误；C：因为0，所以ab，C正确；D：取ac2，bd1，可知D错误，故选C.5(2014高考重庆卷)若log4(3a4b)log2，
3、则ab的最小值是()A62 B72C64 D74解析：选D.由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)77274，当且仅当时取等号故选D.6(2015济南地区八校联考)已知变量x，y满足约束条件若zx2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2kx10在区间(b，a)上有两解，则实数k的范围是()A(6，2) B(3，2)C. D.解析：选C.根据可行域的图形可知，目标函数zx2y在点(1，0)处取得最大值1，即a1，在点(1，1)处取得最小值3，即b3，从而可知方程x2kx10在区间(3，1)上有两解，令f(
4、x)x2kx1，则k2，故选C.7已知函数f(x)则不等式xxf(x)2的解集为_解析：原不等式等价于或解得0x1或x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_解析：因为xy，所以(2y)x.又x0，y0，故xy(2y)x，当且仅当xy时，等号成立答案：9已知O为平面直角坐标系的原点，P，Q的坐标均满足不等式组则cosPOQ的最小值等于_解析：满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，因为余弦函数在区间上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当点P与A(1，7)重合，Q与B(4，3)重合时，POQ最大此时kOB，kOA7.由tanPOQ1POQcosPOQ.答案：10若不等式|x1|x4
5、|a，对任意的xR恒成立，则实数a的取值范围是_解析：只要函数f(x)|x1|x4|的最小值不小于a即可由于|x1|x4|(x1)(x4)|5，所以5|x1|x4|5，故只要5a即可当a0时，将不等式5a整理，得a25a40，无解；当a0时，将不等式5a整理，得a25a40，则有a4或1a0.综上可知，实数a的取值范围是(，41，0)答案：(，41，0)11已知函数f(x).(1)若f(x)k的解集为x|x2，求k的值；(2)若对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围解：(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x2是其解集，得kx22x6k0的两根是3，2.由根与系数的关系可知(2)(
6、3)，即k.(2)因为x0，f(x)，当且仅当x时取等号由已知f(x)t对任意x0恒成立，故t，即t的取值范围是.12设集合A为函数yln(x22x8)的定义域，集合B为函数yx的值域，集合C为不等式(x4)0的解集(1)求AB；(2)若CRA，求a的取值范围解：(1)由x22x80，得4x2，即Ax|4x0，即x1时，y211，此时x0，符合题意；当x10，即x1时，y213，此时x2，符合题意所以By|y3或y1，所以ABx|4x3或1x0时，C，不可能有CRA；当a0时，C，若CRA，则2，所以a2，所以a0.故a的取值范围为.13某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带
7、，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2x万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解：(1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1，所以y400k(k1)(x2x)400(x2x)240x160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0x240.故y与x的函数关系是y240x160(0x240)(2)y240x160216024 800160
8、9 440，当且仅当240x，即x20时等号成立，此时k1111.故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9 440万元14(2015南昌检测)已知函数f(x)x3ax2bx.(1)若a2b，试问函数f(x)能否在x1处取到极值？若有可能，求出实数a，b的值；否则说明理由；(2)若函数f(x)在区间(1，2)，(2，3)内各有一个极值点，试求wa4b的取值范围解：(1)由题意f(x)x2axb，因为a2b，所以f(x)x22bxb.若f(x)在x1处取极值，则f(1)12bb0，即b1，此时f(x)x22x1(x1)20，函数f(x)为单调递增函数，这与该函数能在x1处取极值矛盾，所以该函数不能在x1处取得极值(2)因为函数f(x)x3ax2bx在区间(1，2)，(2，3)内分别有一个极值点，所以f(x)x2axb0在(1，2)，(2，3)内分别有一个实根，所以画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，当目标函数wa4b过N(5，6)时，对应的w29；当目标函数wa4b过M(2，3)时，对应的w10.故wa4b的取值范围为(29，10)5