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1、 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.1函数及其表示一、求函数的定义域、值域1、确定函数的定义域的原则（1）当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合;（2）当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合；（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合；（4）当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。2、确定函数定义域的依据（1）若f(x)是整式，则定义域为全体实数；（2）若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合；（3）当f(x)是偶次根
2、式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合；（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合；（5）若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f(g(x)定义域由不等式ag(x)b解出;(6)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域。3、求简单函数值域的方法(1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)均值不等式法；(6)换元法.4、例题解析例1(2012大连模拟)求函数的定义域;(2)已知函数f(2x)的定义域是-1,1，求f(x)的定义域；(3)求下列函数的值域.y=x2+2x,x0,3,
3、y=log3x+logx3-1,分析：(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可；(2)要明确2x与f(x)中x的含义，从而构建不等式求解;(3)根据解析式的特点，分别选用图象观察法；均值不等式法；单调性法求值域.解答：(1)要使该函数有意义，需要则有：解得:-3x0或2x3,所以所求函数的定义域为 (-3,0)(2,3).(2)f(2x)的定义域为-1，1，即-1x1,故f(x)的定义域为.(3)y=(x+1)2-1在0,3上的图象如图所示,由图象知：0y32+23=15,所以函数y=x2+2x，x0,3的值域为0,15.,定义域为(0,1)(1,+)，当0x1时，当x1时，综上
4、可知，其值域为(-,-31,+).因为x2-1-1，又y=2x在R上为增函数,2-1=.故值域为,+).【规律方法】求函数定义域的方法(1) 求具体函数y=f(x)的定义域：(2)(2)求抽象函数的定义域：若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出.若已知函数f(g(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.提醒：定义域必须写成集合或区间的形式.例2设函数则不等式的解集是（ A ）. B. C. D.解析 由已知，函数先增后减再增当，令解得。当，故 ，解得【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用以及一元二次不等
5、式的求解例3试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；（3）由于当nN*时，2n1为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f（x）=的定义
6、域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数注：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。例4求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）解：（1）（配方法），的值域为改题：求函数，的值域解：（利用函数的单调性）函数在上单调增当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为函数，的值域为（2）求复合函数的值域
7、：设（），则原函数可化为又，故，的值域为（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为（法二）分离变量法：，函数的值域为（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为注：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：，函数值域为（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为（8），当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为（9）（法一）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为注：上面讨论的是用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，掌握这些方法对于以后的复习中求解综合性
8、的题目时是非常有用的。二、分段函数及实际应用题1、相关链接（1）解决分段函数的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决；（2）对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式，然后再写成分段函数；（3）对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值。2例题解析例1我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超
9、过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费.思路分析：计算本季度他应缴纳的水费，应看他的用水量x在何范围内，不同的范围，缴纳的水费不同；可采用分段函数来表示.解答：设y表示本季度应缴纳的水费(元)，当0x5时，y=1.3x；当5x6时，应将x分成两部分：5与(x-5)分别计算，第一部分为基本消费1.35，第二部分由基本消费与加价消费组成,即1.3(x-5)+1.3(x-5)200%=3.9x-19.5，此时y=1.35+3.9x-19.5=3.9x-13，当6x7时，同理y=6.5x-28.6综上可知：.例2某出版公司为一本畅销书定
10、价如下：这里的nN*表示购书的数量，C(n)是订购n本书所付的钱数(单位：元).若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？思路分析：分析题意知，先弄清分段点是解题的关键；列出买书的费用函数，在每一段上求最值，比较大小再求出整个函数的最值.解析：设甲买n本书，则乙买(60-n)本书(不妨设甲买的书少于乙买的书)，则n30,nN*当1n11且nN*时，4960-n59，出版公司赚的钱数f(n)=12n+10(60-n)-560=2n+300；当12n24且nN*时，3660-n48，出版公司赚的钱数f(n)=12n+11
11、(60-n)-560=n+360;当25n30且nN*时，3060-n35，出版公司赚的钱数f(n)=1160-560=360；当1n11且nN*时，302f(n)322；当12n24且nN*时，372f(n)384；当25n30且nN*时，f(n)=360.故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元.三、求函数的解析式1、函数的解析式的求法函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x)=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式,此时要注意g(x)的范围;(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3
12、)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).2、例题解析（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求；解：（1）配凑法：，（或）；（2）换元法：令（），则，；（3）待定系数法：设，则，；（4）方程组法： 把中的换成，得 ，得。提醒：因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是使表达式有意义的x的取值，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误.四、
13、函数的综合应用例1 已知函数f(x)的定义域为R，且对于一切实数x满足f(x+2)=f(2x),f(x+7)=f(7x)（1）若f(5)=9,求：f(5);（2）已知x 2,7时，f(x)=(x2)2，求当x16,20时，函数g(x)=2xf(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值；（3）若f(x)=0的一根是0，记f(x)=0在区间1000,1000上的根数为N，求N的最小值。解 （1）由f(x+2)=f(2x)及f(x+7)=f(7x)得:f(x)的图像关于直线x=2,x=7对称。 f(x)=f(x2)+2 =f2(x2)=f(4x) =f7(3+x)=f(7+(3+x) =f(x+
14、10)f(x)是以10为周期的周期函数。f(5)=f(5+10)=f(5)=9（2）当x16,17,x106,7f(x)=f(x10)=(x102)2=(x12)2当x(17,20,x20(3,0,4(x20)4,7f(x)=f(x20)=f4(x20) =f(24x)=(x22)2g(x)= x 16,17时，g(x)最大值为16，最小值为9；x（17，20，g(x)g(17)=9,g(x)g(20)=36g(x)的最大值为36，最小值为9。（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有两个解。而在1000，1000上有200个周期，至少有400个解。又f(1000)=
15、0所以最少有401个解。且这401个解的和为200。注 题中（2）可根据函数图像的对称性、函数的周期性，通过作图得到f(x)= 一般地：当x3，2时，4x2,7f(x)=f(4x)=(x2)2当x3,7,f(x)=(x2)2故当x3+10k,7+10k,x10k3,7f(x)= (x10k2)2(kz)f(x)= (x10k2)2 x3+10k,7+10k,（kZ）例2 设a是正数，ax+y=2(x0,y0)，记y+3xx2的最大值是M(a)，试求（1）M(a)的表达式；（2）M(a)的最小值。解 将代数式y+3xx2表示为一个字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立关于x的二次函数，逐步进
16、行分类求M(a)。（1）设S(x)=y+3xx2,将y=2ax代入消去y，得：S(x)=2ax+3xx2 =x2+(3a)x+2 =x(3a)2+(3a)2+2(x0)y0 2ax0而a0 0x下面分三种情况求M(a)(i)当03a0)，即时解得 0a1或2a0)即时，解得：1a2，这时M(a)=S()=2a+3 =+(iii)当3a0；即a3时M(a)=S(0)=2综上所述得：M（a）=（2）下面分情况探讨M(a)的最小值。当0a1或2a2当1a2时M(a)=+=2()2+1a21当=时，M(a)取小值，即M(a)M（2）=当a3时，M(a)=2经过比较上述各类中M(a)的最小者，可得M(a)的最小值是2。注：解题经验的积累，有利于解题思路的挖掘，对参数a的分类，完全依据二次函数顶点的横坐标3a是否在定义域区间0，内，这样就引出三种讨论情况，找出解题的方案。13