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1、2015-2016学年福建省南平市浦城县高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|x|2，xR，B=x|4，xZ，则AB=( )A（0，2）B0，2C0，2D0，1，22已知复数i2016（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为( )A2B2C1D13若a=0.53，b=30.5，c=log30.5，则a，b，c，的大小关系是( )AbacBbcaCabcDcba4下列命题中，假命题是( )AxR，2x10BxR，sinx=CxR，x2x+10DxR，lgx=25f（x）=+log2x的一个零点落在下列哪个区间( )A（0，1）B（1，2）
2、C（2，3）D（3，4）6设=（1，2），=（3，4），=（3，2）则=( )A（15，12）B0C3D117若函数y=f（x）是函数y=ax（a0，且a1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）等于( )AB2x2ClogxDlog2x8记cos（80）=k，那么tan100=( )ABCD9设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=3，ak+1=，Sk=12，则正整数k=( )A10B11C12D1310设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是( )A，1B，C，D，11在ABC中，a=2，A=45，若此三角形有两解，则b的范围为( )A2b2Bb2Cb2Db12已知函数f（x）=，g（x
3、）=xcosxsinx，当x3，3时，方程f（x）=g（x）根的个数是( )A8B6C4D2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知数列an为等比数列，若a1+a3=5，a2+a4=10，则公比q=_14计算=_15函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极值，则 a的取值范围是_16在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a2csinA=0若c=2，则a+b的最大值为_三、解答题（共6小题，满分70分）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA=，bc=5（1）求ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值18已知数列an满
4、足a1=，an+1=2（1）求的值；（2）证明：数列为等差数列，并求数列an的通项公式19某地一天的温度（单位：C）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f（t）=244sint4，且早上8时的温度为24C，（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且a=2Sn（1）求数列an的通项；（2）若bn=（nN+），Tn=b1+b2+bn，求证：Tn21设函数f（x）=lnxax（aR
5、）（e=2.718 28是自然对数的底数）（）判断f（x）的单调性；（）当f（x）0在（0，+）上恒成立时，求a的取值范围；（）证明：当x（0，+）时，e22在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：cos+sin=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点（1）求|AB|的值；（2）求点M（1，2）到A、B两点的距离之积2015-2016学年福建省南平市浦城县高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|x|2，xR，B=x|4，xZ，则AB=( )A（0，2）B0，2C0，2
6、D0，1，2【考点】交集及其运算 【专题】计算题【分析】由题意可得A=x|2x2，B=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，从而可求【解答】解：A=x|x|2=x|2x2B=x|4，xZ=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16则AB=0，1，2故选D【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2已知复数i2016（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为( )A2B2C1D1【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得
7、出【解答】解：i4=1，i2006=i2004+2=i2=1复数i2016=为纯虚数，=0，0解得a=2故选：A【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题3若a=0.53，b=30.5，c=log30.5，则a，b，c，的大小关系是( )AbacBbcaCabcDcba【考点】对数值大小的比较 【专题】函数的性质及应用【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得到【解答】解：0a=0.531，b=30.51，c=log30.50，bac故选：A【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题4下列命题中，假命题是( )AxR，2x10BxR，sinx=CxR，x2x+1
8、0DxR，lgx=2【考点】特称命题；全称命题；命题的真假判断与应用 【专题】简易逻辑【分析】1先理解特称命题与全称命题及存在量词与全称量词的含义，再进行判断2用符号“x”表示“对任意x”，用符号“x”表示“存在x”含有全称量词的命题就称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题【解答】解：由指数函数y=2x的图象与性质易知，xR，2x10，故选项A为真命题由正弦函数y=sinx的有界性知，1sinx1，所以不存在xR，使得sinx=成立，故选项B为假命题由x2x+1=0知，xR，x2x+10，故选项C为真命题由lgx=2知，x=102=100，即存在x=100，使lgx=2，故选项D为真命题
9、综上知，答案为B【点评】1像“所有”、“任意”、“每一个”等量词，常用符号“”表示；“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词，常用符号“”表示全称命题的一般形式为：xM，p（x）；特称命题的一般形式为：x0M，p（x0）2判断全称命题为真，需由条件推出结论，注意应满足条件的任意性；判断全称命题为假，只需根据条件举出一个反例即可判断特称命题为真，只需根据条件举出一个正例即可；判断特称命题为假，需由条件推出矛盾才行5f（x）=+log2x的一个零点落在下列哪个区间( )A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数零点的判定定理 【专题】计算题【分析】根据函数的实根存在定理
10、，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果【解答】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）f（2）0故选B【点评】本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题6设=（1，2），=（3，4），=（3，2）则=( )A（15，12）B0C3D11【考点】平面向量的坐标运算 【分析】先求出向量，然后再与向量进行点乘运算即可得到答案【解答】解：=（1，2）+2（3，4）=（5，6），=（5，6）（3，2）=3，故选C【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算属基础题7若函数y=f（x）是函数y=ax（a0，且a1）的反函数，且f（2
11、）=1，则f（x）等于( )AB2x2ClogxDlog2x【考点】反函数 【专题】计算题【分析】利用函数y=ax的反函数y=f（x）的图象经过点（2，1），可知点（1，2）在函数y=ax的图象上，由此代入数值即可求得a，再求出反函数即可【解答】解：f（2）=1，点（2，1）在函数y=ax的反函数的图象上，则点（1，2）在函数y=ax的图象上，将x=1，y=2，代入y=ax中，得2=a1，解得：a=2，y=2x，则x=log2y，即y=log2x，f（x）=log2x，故选：D【点评】本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系，以及反函数的求法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题8记cos（8
12、0）=k，那么tan100=( )ABCD【考点】弦切互化 【专题】计算题【分析】法一：先求sin80，然后化切为弦，求解即可法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果【解答】解：法一，所以tan100=tan80=：法二cos（80）=kcos（80）=k，=【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用9设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=3，ak+1=，Sk=12，则正整数k=( )A10B11C12D13【考点】等差数列的性质 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】根据数列的概念直接求解【解答】解：等差数列an的前n项和为S
13、n，a1=3，解得k=13故选：D【点评】本题考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，比较基础10设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是( )A，1B，C，D，【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z=，由，解得，即B（），此时z=，故z=的取值范围是，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公
14、式是解决本题的关键11在ABC中，a=2，A=45，若此三角形有两解，则b的范围为( )A2b2Bb2Cb2Db【考点】正弦定理 【专题】解三角形【分析】利用正弦定理列出关系式，把a，sinA的值代入，表示出b，B+C，根据B为两值，得到两个值互补，确定出B的范围，进而求出sinB的范围，即可确定出b的范围【解答】解：在ABC中，a=2，A=45，且此三角形有两解，由正弦定理=2，b=2sinB，B+C=18045=135，由B有两个值，得到这两个值互补，若B45，则和B互补的角大于等于135，这样A+B180，不成立；45B135，又若B=90，这样补角也是90，一解，sinB1，b=2si
15、nB，则2b2，故选：A【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键12已知函数f（x）=，g（x）=xcosxsinx，当x3，3时，方程f（x）=g（x）根的个数是( )A8B6C4D2【考点】根的存在性及根的个数判断 【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在0，上是减函数，在，2上是增函数，在2，3上是减函数，且g（0）=0，g（）=；g（2）=2；g（3）=3；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可【解答】解：由题意知，函数f（x）=在3，3是奇函数
16、且是反比例函数，g（x）=xcosxsinx在3，3是奇函数；g（x）=cosxxsinxcosx=xsinx；故g（x）在0，上是减函数，在，2上是增函数，在2，3上是减函数，且g（0）=0，g（）=；g（2）=2；g（3）=3；故作函数f（x）与g（x）在3，3上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知数列an为等比数列，若a1+a3=5，a2+a4=10，则公比q=2【考点】等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【
17、分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出公比q【解答】解：设等比数列an的公比为q，由a2+a4=10，可得a1q+a3q=10，即q（a1+a3）=10，又a1+a3=5，所以5q=10解得q=2故答案为2【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题14计算=【考点】定积分 【专题】导数的综合应用【分析】因为被积函数表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，所以表示（x+2）2+y2=1与x轴围成的上半圆的面积【解答】解：因为被积函数表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，所以表示圆（x+2）2+y2=1与x轴围成的上半圆的面积，所以=；故答案为：【点评】本题考查了定积分的计算以及其运用
18、定积分的几何意义求曲边梯形的面积15函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极值，则 a的取值范围是a|a1或a2【考点】利用导数研究函数的极值 【专题】导数的综合应用【分析】由已知得f（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知=36a236（a+2）0，由此能求出a的取值范围【解答】解：f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1，f（x）=3x2+6ax+3（a+2），由题意知=36a236（a+2）0，解得a1或a2故答案为：a|a1或a2【点评】本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用16在锐角三角形ABC中，
19、a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a2csinA=0若c=2，则a+b的最大值为4【考点】正弦定理；余弦定理 【专题】解三角形【分析】由a2csinA=0及正弦定理，可得2sinCsinA=0（sinA0），可得C=利用余弦定理可得：，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：由a2csinA=0及正弦定理，得2sinCsinA=0（sinA0），ABC是锐角三角形，C=c=2，C=，由余弦定理，即a2+b2ab=4，（a+b）2=4+3ab，化为（a+b）216，a+b4，当且仅当a=b=2取“=”，故a+b的最大值是4故答案为：4【点评】本题考查了正弦、余弦定理、基本不等式的性质，考查
20、了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA=，bc=5（1）求ABC的面积；（2）若b+c=6，求a的值【考点】余弦定理；三角形中的几何计算 【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形【分析】（1）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由bc的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积；（2）由bc与b+c的值，求出b与c的值，再由cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值【解答】解：（1）cosA=，A为三角形内角，sinA=，bc=5，SABC=bcsinA=2；（2）b
21、c=5，b+c=6，b=5，c=1；b=1，c=5，cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=1+256=20，则a=2【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键18已知数列an满足a1=，an+1=2（1）求的值；（2）证明：数列为等差数列，并求数列an的通项公式【考点】数列递推式；数列的求和 【专题】证明题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）直接由a1=求得的值；（2）由已知数列递推式可得数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式得答案【解答】（1）解：a1=，；（2）证明
22、：an+1=2，=即数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，则，【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题19某地一天的温度（单位：C）随时间t（单位：小时）的变化近似满足函数关系：f（t）=244sint4，且早上8时的温度为24C，（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？【考点】函数模型的选择与应用 【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用已知条件求出参数值，即可得
23、到解析式（2）利用函数的解析式直接求出时间t，即可得到所求结果【解答】（本小题满分12分）解：（1）依题意因为早上8时的温度为24C，即f（8）=24，故取k=1，所求函数解析式为由，可知，即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C（2）依题意：令，可得，或，即t=10或t=18，故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭【点评】本题考查三角函数的化简求值，解析式的求法，考查计算能力20已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且a=2Sn（1）求数列an的通项；（2）若bn=（nN+），Tn=b1+b2+bn，求证：Tn【考点】数列的求和；数列递推式 【专
24、题】证明题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（1）a=2Sn，利用递推关系化为（an+1+an）（an+1an1）=0，可得an+1an=1利用等差数列的通项公式即可得出（2）n=1时，b1=1当n2时，bn=2即可证明【解答】（1）解：a=2Sn，当n=1时，又a10，解得a1=1又，（a）=2an+1，化为（an+1+an）（an+1an1）=0，N*，an0，可得an+1an=1数列an是等差数列，首项为1，公差为1，an=1+（n1）=n（2）证明：n=1时，b1=1当n2时，bn=2Tn=b1+b2+bn1+2+=1+2Tn【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的
25、通项公式、“放缩法”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21设函数f（x）=lnxax（aR）（e=2.718 28是自然对数的底数）（）判断f（x）的单调性；（）当f（x）0在（0，+）上恒成立时，求a的取值范围；（）证明：当x（0，+）时，e【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题 【专题】证明题；导数的综合应用【分析】（）首先求出函数f（x）的导数，对a讨论，分a0，a0，求出单调区间；（）应用参数分离得a，求出在（0，+）上的最大值，只要a大于最大值即可；（）可通过分析法证明，令x+1=t，再两边取以e为底的对数，转化为（）的函数，求出最大值1，得证【解答】解：
26、（）f（x）=lnxax，f（x）=a，又函数f（x）的定义域为（0，+），当a0时，f（x）0，此时f（x）在（0，+）上是增函数；当a0时，x（0，）时，f（x）0，此时f（x）在（0，）上是增函数；x（，+）时，f（x）0，此时f（x）在（，+）上是减函数；综上，当a0时，f（x）在（0，+）上是增函数；当a0时，f（x）在（0，）上是增函数，f（x）在（，+）上是减函数；（） 当f（x）0在（0，+）上恒成立，即a在（0，+）上恒成立，设g（x）=，则g（x）=，当x（0，e）时，g（x）0，g（x）为增函数；当x（e，+）时，g（x）0，g（x）为减函数故当x=e时，g（x）取得极大
27、值，也为最大值，且为，所以a的取值范围是（，+）；（）要证当x（0，+）时，e， 可设t=1+x，t（1，+）， 只要证，两边取以e为底的对数， 得，即lntt1， 由（）当a=1时的情况得f（x）=lnxx的最大值为1，此时x=1， 所以当t（1，+）时lntt1， 即得lntt1，所以原不等式成立【点评】本题主要考查导数在函数中的综合应用：求单调区间，求极值，最值等，考查分类讨论和数学中分离参数的思想方法，同时运用分析法证明不等式的方法，以及转换思想，是一道不错的综合题22在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：co
28、s+sin=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点（1）求|AB|的值；（2）求点M（1，2）到A、B两点的距离之积【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 【专题】坐标系和参数方程【分析】（1）利用sin2+cos2=1即可得到曲线C1的普通方程，把代入C2：cos+sin=1，可得：C2的普通方程，由于C2的参数方程为为参数），代入C1得，利用|AB|=|t1t2|=即可得出（2）利用|MA|MB|=|t1t2|即可得出【解答】解：（1）利用sin2+cos2=1可得：曲线C1的普通方程为，由C2：cos+sin=1，可得：C2的普通方程为x+y1=0，则C2的参数方程为为参数），代入C1得，（2）【点评】本题考查了把参数方程、极坐标方程化为普通方程、参数方程的应用、弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题- 16 -