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1、2015-2016学年河南省鹤壁市淇县一中高二（上）第二次月考数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1不等式2x2x10的解集是( )A（，1）B（1，+）C（，1）（2，+）D（，）（1，+）2公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于( )A18B24C60D903在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是( )A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形4已知1a0，那么a，a3，a2的大小关系是( )Aa2a
2、3aBaa2a3Ca3aa2Da2aa35已知数列an满足an+2=an（nN*），且a1=1，a2=2，则该数列前2012项的和为( )A3B3C1D06在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A=( )A30B60C120D1507设a0，b0，则下列不等式中不恒成立的是( )ABa3+b32ab2CDa2+b2+22a+2b8ABC中，abc分别为ABC的对边，如果abc成等差数列，B=30，ABC的面积为，那么b等于( )ABCD9数列an前n项和为Sn，已知，且对任意正整数m，n，都有am+n=aman，若Sna恒成立则实数a的最小值为( )ABCD210已知a0，b
3、0，则的最小值是( )A2BC4D511已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得，则的最小值为( )ABCD不存在12定义：在数列an中，若满足，（d为常数），我们称an为“比等差数列”已知在“比等差数列”an中，a1=a2=1，a3=2，则的末位数字是( )A6B4C2D0二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知数列an满足：a1=1，an+1=（nN*），则a4=_14某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t，运输成本为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t，运
4、输成本为1千元，则当每天运输成本最低时，所需甲型卡车的数量是 _；15已知x，yR*，2y+xxy=0，若x+2ym2+2m恒成立，则m的取值范围是_16在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a=8，b=7，B=60，则SABC=_三.解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（14分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cosA=，sinB=C（1）求tanC的值；（2）若a=，求ABC的面积18（14分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救
5、信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？19（14分）已知锐角三角形ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c（）求A的大小；（）求cosB+cosC的取值范围20（14分）解关于x的不等式ax2（a+1）x+1021（14分）a2，a5是方程x212x+27=0的两根，数列an是公差为正的等差数列，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=1bn（nN*）（1）求数列an，bn的通项公式； （2）记cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn2015-2016学年河南省鹤壁市淇县一中高二（上）第二次月考数学试卷一
6、.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1不等式2x2x10的解集是( )A（，1）B（1，+）C（，1）（2，+）D（，）（1，+）【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根；利用二次方程解集的形式写出解集【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x1）0x1或x故选：D【点评】本题考查二次不等式的解法：判断相应的方程是否有根；若有根求出两个根；据二次不等式解集的形式写出解集2公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于( )
7、A18B24C60D90【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【专题】计算题【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10【解答】解：a4是a3与a7的等比中项，a42=a3a7，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d=0，又，整理得2a1+7d=8，由联立，解得d=2，a1=3，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和等比中项的定义，比较简单3在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是( )A等腰直角三角形B直角三角形C等
8、腰三角形D等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断；同角三角函数间的基本关系；正弦定理【专题】计算题【分析】根据a=2bcosC得到bcosC=，然后根据三角函数定义，得到bcosC=CD=，得到D为BC的中点，根据全等得到三角形ABC为等腰三角形【解答】解：过A作ADBC，交BC于点D，在直角三角形ACD中，cosC=得CD=bcosC，而a=2bcosC得bcosC=，所以CD=AD=AD，ADB=ADC=90，BD=CD得到三角形ABD三角形ACD，所以b=c，三角形ABC为等腰三角形故选C【点评】考查学生利用三角函数解直角三角形的能力掌握用全等来证明线段相等的方法4已知1a0，那么a，
9、a3，a2的大小关系是( )Aa2a3aBaa2a3Ca3aa2Da2aa3【考点】不等关系与不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】利用“作差法”和不等式的性质即可得出【解答】解：1a0，1+a0，0a1aa2=a（1+a）0，a2（a3）=a2（1+a）0aa2a3故选B【点评】本题考查了利用“作差法”比较两个数的大小和不等式的性质，属于基础题5已知数列an满足an+2=an（nN*），且a1=1，a2=2，则该数列前2012项的和为( )A3B3C1D0【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】由于数列an满足an+2=an（nN*），可得an+an+2=0，即可得出【解答】解
10、：数列an满足an+2=an（nN*），an+an+2=0，该数列前2012项的和=（a1+a3）+（a5+a7）+（a2009+a2011）+（a2+a4）+（a2010+a2012）=0【点评】本题考查了分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A=( )A30B60C120D150【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题【分析】先利用正弦定理化简得 c=2b，再由 可得 a2=7b2 ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值【解答】解
11、：由及正弦定理可得 c=2b，再由 可得 a2=7b2 再由余弦定理可得 cosA=，故A=30，故选A【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理，及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题7设a0，b0，则下列不等式中不恒成立的是( )ABa3+b32ab2CDa2+b2+22a+2b【考点】基本不等式【专题】分类讨论；作差法；不等式的解法及应用【分析】A=2+，再利用基本不等式的性质即可得出；B作差：a3+b32ab2=（ab）（a2+abb2），取a=1.5，b=2时，即可判断出正误；C分类讨论：当0ab时，左边0右边，此时成立；当0ba时，平方作差，即可判断出正误D作差配方可得：a2+
12、b2+22a2b=（a1）2+（b1）20，即可判断出正误【解答】解：对于A，a0，b0，=2+2+=4，当且仅当a=b时取等号，因此恒成立对于B，a3+b32ab2=（ab）（a2+abb2），取a=1.5，b=2时，a3+b32ab20，因此不恒成立；对于C，当0ab时，左边0，右边0，此时成立；当0ba时， =0，此时成立，综上可得，不等式恒成立对于D，a2+b2+22a2b=（a1）2+（b1）20，a2+b2+22a+2b，因此恒成立故选：B【点评】本题考查了不等式与基本不等式的性质、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8ABC中，abc分别为ABC的对边，如果abc成等
13、差数列，B=30，ABC的面积为，那么b等于( )ABCD【考点】等差数列的通项公式；三角形的面积公式【专题】计算题【分析】由题意可得2b=a+c平方后整理得a2+c2=4b22ac利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值【解答】解：a，b，c成等差数列，2b=a+c平方得a2+c2=4b22ac又ABC的面积为，且B=30，由S=acsinB=acsin30=ac=，解得ac=6，代入式可得a2+c2=4b212，由余弦定理cosB=解得b2=4+2，又b为边长，b=1+故选：B【点评】本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题9数列an前n项和为Sn，已知，
14、且对任意正整数m，n，都有am+n=aman，若Sna恒成立则实数a的最小值为( )ABCD2【考点】等比数列的前n项和【专题】综合题【分析】由am+n=aman，分别令m和n等于1和1或2和1，由a1求出数列的各项，发现此数列是首项和公比都为的等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出Sn，而Sna恒成立即n趋于正无穷时，求出Sn的极限小于等于a，求出极限列出关于a的不等式，即可得到a的最小值【解答】解：令m=1，n=1，得到a2=a12=，同理令m=2，n=1，得到a3=，所以此数列是首项为，公比也为的等比数列，则Sn=（1），Sna恒成立即n+时，Sn的极限a，所以a（1）=，则a的最
15、小值为故选A【点评】此题考查了等比数列关系的确定，掌握不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用等比数列的前n项和的公式及会进行极限的运算，是一道综合题10已知a0，b0，则的最小值是( )A2BC4D5【考点】基本不等式【分析】a0，b0，即，给出了基本不等式使用的第一个条件，而使用后得到的式子恰好可以再次使用基本不等式【解答】解：因为当且仅当，且，即a=b时，取“=”号故选C【点评】基本不等式a+b，（当且仅当a=b时取“=”）的必须具备得使用条件：一正（即a，b都需要是正数）二定（求和时，积是定值；求积时，和是定值）三等（当且仅当a=b时，才能取等号）11已知正项等比数列an满足a7=a6+2
16、a5，若存在两项am，an使得，则的最小值为( )ABCD不存在【考点】基本不等式【专题】不等式【分析】把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值【解答】解：a7=a6+2a5，a5q2=a5q+2a5，q2q2=0，q=2，存在两项am，an使得，aman=16a12，qm+n2=16=24，而q=2，m+n2=4，m+n=6，=（m+n）（）=（5+）（5+4）=，当且仅当m=2，n=4时等号成立，的最小值为，故选：A【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难
17、点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和12定义：在数列an中，若满足，（d为常数），我们称an为“比等差数列”已知在“比等差数列”an中，a1=a2=1，a3=2，则的末位数字是( )A6B4C2D0【考点】数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由已知得=1，由此利用等差数列的通项公式结合=，能求出的末位数字【解答】解：在“比等差数列”an中，a1=a2=1，a3=2，=1，=201320122011的末位数字是6故选：A【点评】本题考查数列的两项比值的末位数字的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合
18、理运用二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知数列an满足：a1=1，an+1=（nN*），则a4=【考点】数列递推式【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由已知得=+2，从而得到是首项为2，公比为3的等比数列，由此能求出a4【解答】解：数列an满足：a1=1，an+1=（nN*），=+2，又=2，是首项为2，公比为3的等比数列，=故答案为：【点评】本题考查数列的第4项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用14某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t，运输成本
19、为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t，运输成本为1千元，则当每天运输成本最低时，所需甲型卡车的数量是 4；【考点】简单线性规划的应用【专题】常规题型；应用题【分析】本题考查了线性规划问题，首先要根据背景设好相应的未知量：在此可设用x辆甲型卡车，y辆乙型卡车时，运出成本为z然后根据题意写出线性约束条件，并画出可行域，同时列出目标函数变形目标函数，通过斜率对比找到最优解的位置，从而利用边界直线联立解得最优解，下好结论即可【解答】解：设用x辆甲型卡车，y辆乙型卡车时，运出成本为z则：线性约束条件为，可行域为：目标函数为：z=0.9x+y变形目标函数为：y=0.9x+z，又，最优解的位置在点
20、P位置由解得P（4，4）故当每天运输成本最低时，所需甲型卡车的数量是4故答案为：4【点评】本题考查的是线性规划中的应用问题其中应用实际背景审题、列线性约束条件、画可行域、写目标函数、变形目标函数、对比斜率、找最优解的位置和联立方程解得最优解等知识在本题中得到了充分的体现值得同学们反思总结15已知x，yR*，2y+xxy=0，若x+2ym2+2m恒成立，则m的取值范围是（4，2）【考点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】方程成立为2y+x=xy，同时除以xy得=1，利用均值定理的变形可得=，得出xy8（当x=2y时，
21、等号成立），再次利用均值定理求出x+2y的最小值，进而得出m的范围【解答】解：2y+xxy=0，2y+x=xy，=1，=，xy8（当x=2y时，等号成立），x+2y28（当x=2y时，等号成立），m2+2m8，解得4m2故答案为为（4，2）【点评】考查了均值定理的应用和恒成立问题的转换应注意均值定理中等号成立的条件16在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a=8，b=7，B=60，则SABC=6或10【考点】正弦定理；三角形的面积公式【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】由a，b及cosB的值，利用余弦定理求出c的值，再由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即
22、可求出三角形ABC的面积【解答】解：在ABC中，a=8，b=7，B=60，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，即49=64+c28c，解得：c=3或c=5，则SABC=acsinB=6或10故答案为：6或10【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键三.解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（14分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cosA=，sinB=C（1）求tanC的值；（2）若a=，求ABC的面积【考点】解三角形；三角函数中的恒等变换应用【专题】解三角形【分析】（1）由A为三角形的内
23、角，及cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再将已知等式的左边sinB中的角B利用三角形的内角和定理变形为（A+C），利用诱导公式得到sinB=sin（A+C），再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanC的值；（2）由tanC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinC的值代入sinB=cosC中，即可求出sinB的值，由a，sinA及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，最后由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：（1）
24、A为三角形的内角，cosA=，sinA=，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC=，sinC=，sinB=cosC=，a=，由正弦定理=得：c=，则SABC=acsinB=【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（14分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘
25、轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题【分析】先根据内角和求得DAB和，DBA及进而求得ADB，在ADB中利用正弦定理求得DB的长，进而利用里程除以速度即可求得时间【解答】解：由题意知AB=5（3+）海里，DBA=9060=30，DAB=9045=45，ADB=180（45+30）=105，在ADB中，有正弦定理得=DB=10又在DBC中，DBC=60DC2=DB2+BC22DBBCcos60=900DC=30救援船到达D点需要的时间为=1（小时）答
26、：该救援船到达D点需要1小时【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力19（14分）已知锐角三角形ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c（）求A的大小；（）求cosB+cosC的取值范围【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的定义域和值域【分析】（）由余弦定理表示出b2+c2a2=2bccosA，代入即可得到sinA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；（）由三角形为锐角三角形且由（）得到A的度数可知B+C的度数，利用C表示出B并求出B的范围，代入所求的式子中，利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后
27、，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数为sin（B+），然后根据求出的B的范围求出B+的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可求出sin（B+）的范围即为cosB+cosC的取值范围【解答】解：（）由余弦定理知，b2+c2a2=2bccosA，；（）ABC为锐角三角形，且，=，即cosB+cosC的取值范围是【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值，是一道综合题20（14分）解关于x的不等式ax2（a+1）x+10【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；分类讨论【分析】当a=0时，得到一个一元
28、一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当a0时，把原不等式的左边分解因式，然后分4种情况考虑：a小于0，a大于0小于1，a大于1和a等于1时，分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可【解答】解：当a=0时，不等式的解为x|x1；当a0时，分解因式a（x）（x1）0当a0时，原不等式等价于（x）（x1）0，不等式的解为x|x1或x；当0a1时，1，不等式的解为x|1x；当a1时，1，不等式的解为x|x1；当a=1时，不等式的解为【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题21（14分）a2，a5是方程x212x+27=0的两根，数列an是公差为
29、正的等差数列，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=1bn（nN*）（1）求数列an，bn的通项公式； （2）记cn=anbn，求数列cn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题【分析】（1）求出数列an的通项公式 an=2n1，当n2时，求得 （n2），可得 （2）由 =，可得 Sn=2（），用错位相减法求数列的前n项和Sn【解答】解：（1）由a2+a5=12，a2a5=27，且d0，得a2=3，a5=9，d=2，a1=1，an=2n1，在Tn=1bn，令n=1，得b1=，当n2时，Tn=1 bn 中，令 n=1得 ，当n2时，Tn=1bn，Tn1=1，两式相减得 ， （n2），= （nN+）（2）=，Sn=2（），Sn=2（ ）， 两式相减可解得 Sn=2【点评】本题考查由递推关系求通项公式，用错位相减法求数列的前n项和用错位相减法求数列的前n项和是解题的难点21