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1、1.两条异面直线所成的角【例1】利用“平移法”求两条异面直线所成的角（2014新课标）直三棱柱中，、分别是、的中点，且，则异面直线与所成的角的余弦值为A B C D【解析1】（几何法）取中点，连接、，由于 ,且，有，则即为异面直线与所成的角，设，且，则 ，因.【解析2】（几何法）延长至，使得，连接, ，易证即为异面直线与所成的角，设，则，易求.【评注】传统的几何法求异面直线所成角一般采用“平移法”，即将一条线段平移后使两条线段的一个端点重合，这样就可化空间角为平面角，这个平面角就是两条异面直线所成的角或其补角，再将这个角置于三角形之中，通过解三角形，求出该角.注意异面直线所成的角的范围是 .【
2、解析3】（向量法）依题意可建立图示坐标系，设，则，.【评注】该题条件便于建立恰当直角坐标系的条件，使向量坐标化，利用空间向量夹角公式即可求出向量的夹角的余弦值，进而得出异面直线所成的角的余弦值.【变式1】（2015浙江理）如图，三棱锥中，点分别是的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是 【解析1】（几何法）如图，连接，取中点，连接、，则即为和所成角（或其补角），易得，.异面直线和所成的角的余弦值是.【评注】此法相当于平移，使重合，利用三角形的中位线性质将异面直线所成的角转化为平面角，再利用余弦定理求解.【解析2】（向量法）易知，由，可得 ，即，异面直线和所成的角的余弦值是.【评注】由于题干中没有
3、明显建立恰当直角坐标系的条件，向量坐标化很难，只好基底化了.由于，四个向量的模均可求得，且二向量夹角为，因此，以向量为基底来表示向量，即可求出向量的夹角的余弦值，进而得出异面直线所成的角的余弦值.【变式2】（沈阳市2015高三上学期期末） 在直三棱柱中，若，为中点，点为中点，在线段上，且，则异面直线与所成角的正弦值 【解析1】（几何法）如图，过作交于，连，为中点，又，在中，【评注】此法相当于平移，使重合，利用三角形的中位线、三角形相似等性质，化异面直线所成的角为平面角，再利用余弦定理求解.【解析2】（几何法）如图，连接并延长交的延长线于，连接，易证，在中，就是异面直线与所成角，易求,则,【评注
4、】此法相当于平移与相交，利用三角形的中位线、三角形相似等性质，化异面直线所成的角为平面角，再解直角三角形求解.【解析3】（向量法）依题意可建立图示坐标系，设，根据已知条件可求得，进而求得，,异面直线与所成角的正弦值.【评注】该题具备建立恰当直角坐标系的条件，便于求出向量坐标，利用空间向量夹角公式即可求出向量的夹角的余弦值，进而得出异面直线与所成的角的正弦值.【变式3】在三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，则异面直线与所成的角 .【解析1】（几何法）如图，延长至使，连接，则，就是异面直线与所成的角（或其补角）.设正方体的棱长为1，则的三边长均为，从而异面直线与所成的角为.【解析2】（几何法）如图，先将
5、三棱柱补成一个正方体，再将平移到对面正方形，再连接底面正方形的对角线，于是它们都是面对角线，构成正三角形，从而异面直线与所成的角为.【评注】平移法求异面直线所成的角，一般就是作4次尝试：将一条线段平移后使两条线段的一个端点重合，连接另两个端点，如果能得到可解的三角形，就能求出异面直线所成的角.我们常常通过取中点、取线段的等分点、倍长线段、甚至做平行且相等线段等方式实现平移，从而找到平面角，求出异面直线所成的角. 当把一条直线平移到几何体的外面时，我们可以采取补形的思想，通过连线获得某条异面直线的平行线，进而找到平面角，求出异面直线所成的角.【解析3】（向量法）依题意，可建立图示坐标系，设，则，
6、,异面直线与所成角为. 【评注】只要存在三条两两互相垂直的直线，就可以建立恰当直角坐标系，并且把两条异面直线的方向向量的坐标表示出来，就可以利用向量夹角公式求出向量夹角的余弦值，进而得出异面直线所成的角的大小.【例2】 利用三面角公式求两条直线所成角如图，直线和平面所成的角为，是在平面上的射影，平面内且不过点的直线和所成的角为，若异面直线和所成角为求证： 【解析】平移直线至，则就可能是异面直线和所成角，设,，则，而，在、和分别有,和，【评注】这个结论是三面角公式的特例，我们可以直接利用这个结论求两条异面直线所成角的大小.由还可得,即斜线和平面所成角为斜线和平面内的所有直线所成角中的最小角.【变
7、式1】如图所示，正方形中，、分别是、的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，则异面直线、所成角为 【解析1】 如图，折后，平面平面， 与平面所成角为，过作交于，则,由公式得，即、所成角为.【评注】使用公式必须满足平面平面的条件. 【变式2】将长方体截取一个角，则截面三角形的形状是A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定【解析】要证明是锐角三角形，需证明的三个内角都是锐角，由于正方体的对称性，只需其中一个内角是锐角即可，不妨证明是锐角.事实上，是在平面上的射影，且都是锐角，是锐角，是锐角三角形.【变式3】北纬圈上有、两地，它们的经度分别为东经与西经，设地球半径为，求、两地之间的球面距
8、离.【解析】要求、两地之间的球面距离，只需求球心角的大小即可，由于、两地的经度分别为东经与西经，就是在平面上的射影，而且，、两地之间的球面距离为.【评注】利用公式求两条直线夹角（包括两条异面直线所成角）问题方便快捷，对于选择填空题来说，是一种很好的办法.【例3】求两条异面直线所成的角，首先看看两条异面直线是否垂直已知是正方体的面的中心，是棱上的任意一点，是棱的中点，则两条异面直线与所成的角A B C D不确定【解析1】（几何法）如图，连接、，取中点，连接，则，易知就可能是异面直线与所成的角，连接，只需解三角形即可.但是，中，不变，变化，导致随着在棱上变化而变化，因此，的大小不能确定.这个结论是
9、错误的.【解析2】（几何法）如图，过点作，连接、，则在平面内，易证是 中点，在正方形中，而，因此，平面，而平面，异面直线与所成的角为.【评注】求两条异面直线所成的角，首先看看两条异面直线是否垂直, 若垂直，即便是用平移法找到了两条异面直线所成的角也不好求得，这使解题限于一隅.事实上，求两条异面直线所成的角，首先尝试证明两条异面直线垂直，如果证不出来或者反证出不可能垂直，我们再去用平移法求两条异面直线所成的角.【解析3】（向量法）依题意可建立图示坐标系，设正方体的棱长为2，则，,异面直线与所成的角为.【评注】该题具备建立恰当直角坐标系的条件，便于求出向量坐标，利用空间向量互相垂直的充要条件，即可
10、求出异面直线所成的角为.当然不必象几何法考虑那么多.【变式1】已知正四棱锥中，、分别是、的中点，则与所成的角大小为A B C D【解析1】(几何法)如图所示，连接，易证平面，,而,.异面直线与所成的角为.【评注】当两条异面直线互相垂直时，它们所成的角是.此时，很难通过“平移法”求得异面直线所成的角.我们只需证明两异面直线互相垂直即可求得两异面直线所成的角.【解析2】（向量法）依题意可建立图示坐标系，设正四棱锥底面边长为，高为，则，,异面直线与所成的角为.【变式2】已知四面体中，、分别是、的中点，是上任意一点，则与所成的角大小为A B C D【解析1】(几何法)如图所示，连接、，易证平面，,而,.异面直线与所成的角为.【解析2】(几何法)如图所示，连接、，易证，进而可证，,而,.异面直线与所成的角为.当然，由于，就是异面直线与所成的角，而且是直角.【评注】这两条异面直线所成的角即可以通过“平移法”求得，也可以证明两条异面直线互相垂直，由于题干中不具备明显的建立空间直角坐标系的条件，因此使用向量法不合适.8