《2010届高三数学一轮复习必备精品第八章解三角形doc--高中数学 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010届高三数学一轮复习必备精品第八章解三角形doc--高中数学 .doc（36页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2010 届高三数学一轮复习必备精品：第第八八章解三角形章解三角形（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(二)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的变形形式余弦定理的变形形式解三角形应用举例测量实习正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明第第 1 课时课时三角形中的有关问题三角形中的有关问题1正弦定理：利用正弦定理，可以解
2、决以下两类有关三角形的问题：已知两角和一边，求其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角2余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题 已知三边，求三角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角3三角形的面积公式：例 1.在ABC 中，已知 a3，b2，B45，求角 A、C 及边 c解 A160C175c1226 考纲导读考纲导读典型例题典型例题基础过关基础过关知识网络知识网络高考导航高考导航http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网A2120C215c2226 变式训练 1：(1)ABC的内角 A、B、C 的对边分
3、别为 a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且2ca，则cosB（）A14B34C24D23解：B 提示：利用余弦定理（2）在ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A.0020,45,80bACB.030,28,60acBC.014,16,45abAD.012,15,120acA解：C提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在ABC 中，已知5cos13A，3sin5B，则cosC的值为（）A1665B5665C1665或5665D1665解：A提示:在ABC 中，由sinsinABAB知角 B 为锐角（4）若钝角三角形
4、三边长为1a、2a、3a，则a的取值范围是解：02a提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)aaaaaa可得（5）在ABC 中，060,1,3,sinsinsinABCabcAbSABC则=解：2 393提示：由面积公式可求得4c，由余弦定理可求得13a 例 2.在ABC 中，若 sinA2sinB cos C，sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC 的形状解：sinA2sinBcosCsin(BC)2sinBcosCsin(BC)0BCsin2Asin2Bsin2Ca2b2c2A90 ABC 是等腰直角三角形。变式训练 2：在ABC 中，sinA=CBCBcoscossinsin
5、，判断这个三角形的形状.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=abcbacabaccb22222222，所以 b（a2b2）+c（a2c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以 a2=b2bc+c2+bc.所以 a2=b2+c2.所以ABC 是直角三角形.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网例 3.已知在ABC 中，sinA(sinBcosB)sinC0，sinBcos2C0，求角 A、B、C解：由 sinA(sinBcosB)sinC0，得 sinAsinBsinAcosBsin(AB)0，所以 sinB(sinAcosA)0B
6、(0,),sinB0,cosAsinA，由 A(0,)，知 A4从而 BC43，由 sinBcos2C0 得 sinBcos2(43B)0cos(232B)cos2(22B)cos(22B)sin2B得 sinBsin2B0，亦即 sinB2sinBcosB0，由此各 cosB21，B3，C125A4B3C125变式训练 3：已知ABC 中，22（sin2Asin2C）=（ab）sinB，ABC 外接圆半径为2.（1）求C；（2）求ABC 面积的最大值.解：（1）由 22（sin2Asin2C）=（ab）sinB 得22（224Ra224Rc）=（ab）Rb2.又R=2，a2c2=abb2.a
7、2+b2c2=ab.cosC=abcba2222=21.又0C180，C=60.（2）S=21absinC=2123ab=23sinAsinB=23sinAsin（120A）=23sinA（sin120cosAcos120sinA）=3sinAcosA+3sin2A=23sin2A23cos2A+23=3sin（2A30）+23.当 2A=120，即 A=60时，Smax=233.例 4.如图，已知ABC 是边长为 1 的正三角形，M、N 分别是边 AB、AC 上的点，线段MN 经过ABC 的中心 G设MGA(323)(1)试将AGM、AGN 的面积（分别记为 S1与 S2）表示为的函数；(2
8、)求 y222111SS的最大值与最小值解(1)AG33，6MAG由正弦定理得)6sin(63GM，)6sin(63GNhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网)6sin(12sin1S，)6sin(12sin2S(2)cot3(721122221SSy323当240323maxy时或当2162miny时变式训练 4：在在ABC 中，,ABC所对的边分别为,a b c，且1cos3A（1）求2sincos22BCA的值；（2）若3a，求bc的最大值；解：（1）因为1cos3A，故2sincos22BCA211 cos()(2cos1)2BCA21(1 cos)(2cos
9、1)2AA1121(1)(1)2399（2）2221cos23bcaAbc2222223bcbcabca又93,4abc，当且仅当32bc时，94bc 故bc的最大值是941已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意2三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择3对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题第第 2 课时课时应用性问题应用性问题1三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；正弦定理和余弦定理解三
10、角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；实际问题中有关术语、名称（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰基础过关基础过关ANCBDMG（小结归纳小结归纳http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角例 1(1)某人朝正东方走xkm 后，向左转 1500，然后朝新方向走 3km，结果它离出发点恰好3km，那么x等于（）（A）3（B）32（C）3或32（D）3解：C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20
11、m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是（）A40 320 3,3mmB10 3,20 3mmC10(32),20 3mmD15 320 3,23mm解：A（3）一只汽球在2250m的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上 A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m后，又测得 A 点处的俯角为082，则山的高度为（）A1988mB2096mC3125mD2451m解：B（4）已知轮船 A 和轮船 B 同时离开 C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若A 的航行速度为 25 nmi/h，B 的速度是 A 的35，过三
12、小时后，A、B 的距离是解：90.8 nmi(5)货轮在海上以 40km/h 的速度由 B 到 C 航行，航向为方位角0140NBC，A 处有灯塔，其方位角0110NBA，在 C 处观测灯塔 A 的方位角035MCA，由 B 到 C 需航行半小时，则 C 到灯塔 A 的距离是解：10(62)km 提示：由题意知075BCA，利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练 1：如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C典型例题典型例题http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永
13、久免费组卷搜题网处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1）？解：连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+10222010cos120=700.于是,BC=107.sinsin1202010 7ACB,sinACB=73,ACB90ACB=41乙船应朝北偏东 71方向沿直线前往 B 处救援.例 2.在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南2(cos)10方向 300 km 的海面 P 处，并以 20 km/h 的速度向西偏北45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km，并以 10 km/h 的速度不
14、断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻 t(h)台风中心为 Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t+60(km)若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭,则6010 tOQ由余弦定理知OPQPOPQPOPQOQcos2222由于 PO=300,PQ=20t5445coscosOPQ故2222203009600OQtt21060t即2362880tt解得2412 t答：12 小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续 12 小时变式训练 2：如图所示,海岛 A 周围 38 海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在 B 处测得岛 A 在船的南偏东030方向上，船航行
15、 30 海里后，在 C 处测得岛 A 在船的南偏东045方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在ABC 中，BC=30，030B，0135ACB所以015A，由正弦定理可知：sinsinBCACAB0030sin15sin30AC所以060cos15AC，于是 A 到 BC 所在直线的距离为000sin4560cos15 sin45AC40.9838所以船继续向南航行无触礁危险。例 3.如图所示，公园内有一块边长2a的等边ABC 形状的三角地，北2010ABChttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网现修成草坪，图中 DE 把草坪分成面积相
16、等的两部分，D 在 AB 上，E 在 AC 上（1）设 AD()x xa，EDy，求用x表示y的函数关系式；（2）如果 DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE 的位置应该在哪里？如果 DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又在哪里？请给予证明解：（1）在ABC 中，D 在 AB 上，2axaSADE=12SABC02011sin60sin6024x AEAB22aAEx，在ADE 中，由余弦定理得：4222242ayxax422242(2)ayxaaxax（2）令2xt，则224ata 则4242aytat令42224()2,4af tta taat，则4242222244(2)(
17、2)()1atatataf tttt 22(,2)()0taaf t 当时,；22(2,4)()0taaf t 当时,222222()3,(2)2,(4)3f aafaafaa又22,2 taxa当 即 时,y有最小值2a，此时 DEBC，且2ADa224,2 taaxaay当 或 即 或 时,有最大值3a，此时 DE 为ABC的边 AB 或 AC 的中线上变式训练 3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为 S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应该是多少？解：设CDa，则2,sintanhhCDaCBABa则，所以12()2tantanh
18、ShSaahah 设两腰与下底之和为l，则22cos2tansinsinShhSlaCBhhh22212sin3sincos2222sincos2sincos2222SShhhh31tan222tan2Shh312tan3222tan2SShhhh当且仅当31tan222tan2时，上式取等号，即当3tan23时，上式取等号http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网0030,602即，所以下角060时，梯形两腰及下底之和达到最小例 4.如图，半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC。问：点 B
19、在什么位置时，四边形 OACB 面积最大？解：设AOB，在AOB 中，由余弦定理得：2222cosABOAOBOA OBAOB 22122 1 2 cos54cos 于是，四边形 OACB 的面积为S=SAOB+SABC213sin24OA OBAB132 1 sin(54cos)24 5 35 3sin3cos2sin()434因为0，所以当32，56，即56AOB时，四边形 OACB 面积最大变式训练 4：如图所示，某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东060的 C处，12 时 20 分测得船在海岛北偏西060的 B 处，12 时 40 分轮船到达位于海岛正西方且距海岛
20、 5 km 的 E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从 C 到 B 用时 80 分钟，从 B 到 E 用时 20 分钟，而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设 EB=x，则则 BC=4x，由已知得0030,150BAEEAC在AEC 中，由正弦定理得：sinsinsinsinECAEAEEACCEACCEC05sin150152xx在ABC 中，由正弦定理得：0sin120sinBCABC014sin2sin12032xBCCxAB4 33在ABE 中，由余弦定理得：22202cos30BEABAEAB AE164 333131252 5,33233BE 故http:
21、/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网所以船速3139313BEvt答：该船的速度为93km/h解三角形章节测试题解三角形章节测试题一、选择题1在ABC中，6a，30B，120C，则ABC的面积是（）A9B18C39D3182在ABC中，若bBaAcossin，则B的值为（）A30B45C60D903在ABC中，若Babsin2，则这个三角形中角A的值是（）A30或60B45或60C60或120D30或1504在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A10b，45A，70CB60a，48c，60BC7a，5b，80AD14a，16b，45A5已知三角形的两边长分别
22、为 4,5，它们夹角的余弦是方程02322 xx的根，则第三边长是（）A20B21C22D616在ABC中，如果bcacbcba3)(，那么角A等于（）A30B60C120D1507在ABC中，若60A，16b，此三角形面积3220S，则a的值是（）A620B75C51D498在ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边 AC 上的高为（）A223B233C23D339在ABC中，若12 cb，45C，30B，则（）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网A2,1cbB1,2cbC221,22cbD22,221cb10如果满足60ABC，12AC，kBC 的ABC
23、 恰有一个，那么k的取值范围是（）A38kB120 kC12kD120 k或38k二、填空题11在ABC中，若6:2:1:cba，则最大角的余弦值等于_12在ABC中，5a，105B，15C，则此三角形的最大边的长为_13在ABC中，已知3b，33c，30B，则a_14在ABC中，12ba，60A，45B，则a_，b_三、解答题15ABC 中，D 在边 BC 上，且 BD2，DC1，B60o，ADC150o，求 AC 的长及ABC 的面积16在ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosBccosCacosA，试判断ABC 的形状17.如图，海中有一小岛，周围 3.8
24、 海里内有暗礁。一军舰从 A 地出发由西向东航行，望见小岛 B 在北偏东 75，航行 8 海里到达 C 处，望见小岛 B 在北端东 60。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网18如图，货轮在海上以 35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 152o的方向航行为了确定船位，在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 122o半小时后，货轮到达 C 点处，观测到灯塔 A 的方位角为 32o求此时货轮与灯塔之间的距离19.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为
25、海拔 10000m,速度为 180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为 150，经过 420s（秒）后又看到山顶的俯角为 450，求山顶的海拔高度（取21.4,31.7）20如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上点 A 处有一个水声监测点，另两个监测点 B，C 分别在 A 的正东方 20 km 处和 54 km 处某时刻，监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波，8s 后监测点 A，20 s 后监测点 C 相继收到这一信号在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是 1.5 km/s.（1）设 A 到 P 的距离为xkm，用x表示 B,C 到 P 的距离，并求x值
26、；（2）求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离（结果精确到 0.01 km）ACB北北152o32o122ohttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网ACBD解三角形章节测试参考答案解三角形章节测试参考答案1C2.B3.D4.D5.B6.B7.D.8.B9 A10.D114112、62156513、6 或 314、24612 b15在ABC 中，BAD150o60o90o，AD2sin60o3在ACD 中，AD2(3)212231cos150o7，AC7AB2cos60o1SABC2113sin60o34316 bcosBccosCacosA，由正弦定理得：sinBco
27、sBsinCcosCsinAcosA，即 sin2Bsin2C2sinAcosA，2sin(BC)cos(BC)2sinAcosAABC，sin(BC)sinA而 sinA0，cos(BC)cosA，即 cos(BC)cos(BC)0，2cosBcosC0 0B，0C，B2或 C2，即ABC 是直角三角形17、解：过点 B 作 BDAE 交 AE 于 D由已知，AC=8，ABD=75，CBD=60在 RtABD 中，AD=BDtanABD=BDtan 75在 RtCBD 中，CD=BDtanCBD=BDtan60ADCD=BD（tan75tan60）=AC=8,9 分8.3460tan75ta
28、n800BD该军舰没有触礁的危险。18在ABC 中，B152o122o30o，C180o152o32o60o，A180o30o60o90o，BC235，AC235sin30o435答：船与灯塔间的距离为435n mile19.解：如图A150DBC450ACB300，AB=180km（千米）/h（小时）420s（秒）=21000(m)在ABC中ACBABABCsinsin)26(1050015sin21210000BCADCD，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网0sinsin45CDBCCBDBC)26(1050022)13(10500)17.1(10500735
29、0山顶的海拔高度10000-7350=2650(米)20解：(1)依题意，PAPB=1.5 8=12(km)，PCPB=1.520=30（km）因此 PB（x 一 12）km，PC=（18x）km.在PAB 中，AB=20 km，22222220(12)332cos22205PAABPBxxxPABPA ABxx同理，在PAC 中，72cos3xPACx由于coscosPABPAC即3327253xxxx解得1327x（km）(2)作 PDa,垂足为 D.在 RtPDA 中，PD=PAcosAPD=PAcosPAB=132332332755xxx17.71（km）答：静止目标 P 到海防警戒线
30、 a 的距离约为 17.71 km.五年高考荟萃五年高考荟萃20092009 年高考题年高考题1.(2009 年广东卷文)已知ABC中，CBA,的对边分别为,a b c若62ac且75Ao，则b()A.2B42 3C42 3D62答案A解析000000026sinsin75sin(3045)sin30 cos45sin45 cos304A由62ac可知,075C,所以030B,1sin2B http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网由正弦定理得261sin2sin2264abBA,故选 A2.（2009 全国卷文）已知ABC中，12cot5A ，则cos A()A1213
31、B.513C.513D.1213答案D解析本题考查同角三角函数关系应用能力，先由 cotA=125知 A 为钝角，cosA40=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EPBC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.在 RtQPE中，PE=QEsinsinsin(45)PQEQEAQCQEABChttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网=5153 57.5所以船会进入警戒水域.14（2007 宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D现测得BCDBDCCDs，并在点C
32、测得塔顶A的仰角为，求塔高AB解解在BCD中，CBD由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD所以sinsinsinsin()CDBDCsBCCBD在 RtABC 中，tansintansin()sABBCACB15（2007 福建）在ABC中，1tan4A，3tan5B（）求角C的大小；（）若ABC最大边的边长为17，求最小边的边长解解（）()CAB，1345tantan()113145CAB 又0C，34C（）34C，AB边最大，即17AB 又tanAtanB，A、B2,0角A最小，BC边为最小边由22sin1tancos4sincos1AAAAA，且02A，得17sin17A 由sin
33、sinABBCCA得：BC=AB2sinsinCAhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网16（2007 浙江）已知ABC的周长为21，且sinsin2sinABC（I）求边AB的长；（II）若ABC的面积为1sin6C，求角C的度数解解（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB（II）由ABC的面积,sin61sin21CCACBC，得31 ACBC，由余弦定理，得 cosC=BCACABBCAC2222=2122)(22BCACABBCACBCAC，所以60C 17（2007 山东）20（本小题满分 12 分）如图,甲船以每小时3
34、0 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向1B处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达2A处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处,此时两船相距10 2海里,问乙船每小时航行多少海里?解解方法一如图所示，连结 A1B2，由已知 A2B2=10 2，A1A2=2106020230，A1A2=A2B2，又A1A2B2=180-120=60A1A2B2是等边三角形，A1B2=A1A2=10 2.由已知，A1B1=20，B1A1B2=105-60=45，在A1B2B1中，由余弦定理，221BB=121BB+22
35、1BB-121BBA1B2cos45http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网=202+(10 2)2-22010 222=200.B1B2=10 2.因此，乙船的速度的大小为2021060=230（海里/小时）.答答乙船每小时航行230海里.19.（2007 全国）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2 sinabA（）求B的大小；（）若3 3a，5c，求b解：（）由2 sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC为锐角三角形得6B（）根据余弦定理，得2222cosbacacB2725457所以，7b 20.（2007 全国）在ABC中，已知内角A，边2 3BC 设内角Bx，周长为y（1）求函数()yf x的解析式和定义域；（2）求y的最大值解：（1）ABC的内角和ABC，由00ABC，得20B应用正弦定理，知2 3sinsin4sinsinsinBCACBxxA，2sin4sinsinBCABCxA因为yABBCAC，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网所以224sin4sin2 3 03yxxx，（2）因为14 sincossin2 32yxxx54 3sin2 3xx，所以，当x，即x时，y取得最大值6 3