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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学文（江西卷，含答案）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1至2页，第卷3至4页，共150分。考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。参考公式如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果
2、事件，相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列命题是真命题的为 A若,则 B若,则 C若,则 D若,则 2函数的定义域为ABCD350 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为A50 B45 C40 D354函数的最小正周期为A B C D 5已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为ABCD
3、6若能被整除，则的值可能为 A B C D7.设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A B C D38公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 909如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为. . 截面 . . 异面直线与所成的角为10甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为A B C D11如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为
4、 12若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 A或 B或 C或 D或绝密启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第卷注意事项： 第卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填在答题卡上 13已知向量， ，若 则= 14体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 15若不等式的解集为区间，且,则 16设直线系,对于下列四个命题： 存在一个圆与所有直线相交 存在一个圆与所有直线不相交 存在一个圆与所有直线相切 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出
5、所有真命题的代号）三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 18（本小题满分12分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助求：(1) 该公司的资助总额为零的概率；（2）该公司的资助总额超过15万元的概率19（本小题满分12分）在中，所对的
6、边分别为，（1）求；（2）若，求,，20（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离21（本小题满分12分）数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列的前n项和.22（本小题满分14分）如图，已知圆是椭圆的内接的内切圆, 其中为椭圆的左顶点. （1）求圆的半径;（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，G证明：直线与圆相切 绝密启用前 秘密启用后2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。题号12
7、3456789101112答案ADBACCBCCDBA1. 由得,而由得,由,不一定有意义,而得不到 故选A. 2. 由得或,故选D. 3. 仅参加了一项活动的学生人数=50-(30+25-50)=45, 故选B.4. 由可得最小正周期为,故选A.5. ,故选C.6. ,当时,能被7整除, 故选C. 7. 由有,则,故选B.8. 由得得,再由得 则,所以,.故选C9. 由，可得，故正确；由可得截面，故正确 异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的，故选.10. 所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选. 11. 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影
8、点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.12. 设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13. 14. 15. 16. ABC 13.因为所以.14.设球的半径为，依题设有，则，球的体积为 15.由数形结合，半圆在直线之下必须，则直线过点，则 16. 因为所以点到中每条直线的距离即为圆:的全体切线组成的集合,所以存在圆心在,半径大于1的圆与中所有直线相交, 也存在
9、圆心在,半径小于1的圆与中所有直线均不相交, 也存在圆心在,半径等于1的圆与中所有直线相切,故ABC正确,又因中的边能组成两类大小不同的正三角形,故D错误,故命题中正确的序号是ABC 三、解答题：本大题共6小题，共74分。17解：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.18解：（1）设表示资助总额为零这个事件，则（2）设表示资助总额超过15万元这个事件，则 19解：（1）由 得 则有 = 得 即.（2） 由 推出 ；而,即得, 则有 解得
10、 . 20解：方法（一）：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则.因为平面，则，又，所以平面，则，因此有平面，所以平面平面.（）设平面与交于点，因为，所以平面，则，由（1）知，平面，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是与平面所成的角，且 所求角为（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，平面于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离.因为在RtPAD中，所以为中点，则O点到平面ABM的距离等于。方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则， ，设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，所求角的大小为. （3）设所求距离为，由，得：21. 解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 22解: （1）设，过圆心作于,交长轴于由得,即 (1) 而点在椭圆上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 设过点与圆相切的直线方程为: (3)则,即 (4)解得将(3)代入得,则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：于是直线的方程为: 即则圆心到直线的距离 故结论成立.- 11 -