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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试第一试一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 42 分，每小题分，每小题 7 分）分）本题共有 6 小题，每题均给出了代号为DCBA,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案
2、的代号填在题后的括号内.每小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分.1设213aa，213bb，且ab，则代数式2211ab的值为（）)(A5.)(B7.)(C9.)(D11.【答】B.解解由题设条件可知2310aa，2310bb，且ab，所以,a b是一元二次方程2310 xx 的两根，故3ab，1ab，因此222222222211()232 17()1ababababa bab.故选B.2如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若6AB，5BC，3EF，则线段BE的长为（）)(A185.)(B4.)(C215.)(D245.【答】
3、D.解解因为AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，易知,B C E F四点共圆，于是AEFABC，故35AFEFACBC，即3cos5BAC，所以4sin5BAC.在 RtABE中，424sin655BEABBAC.故选D.3从分别写有数字 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是 3 的倍数的概率是（）)(A15.)(B310.)(C25.)(D12.【答】C.解解能够组成的两位数有 12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，
4、52，53，54，共 20 个，其中是 3 的倍数的数为 12，15，21，24，42，45，51，54，共 8 个.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网所以所组成的数是 3 的倍数的概率是82205.故选C.4 在ABC中，12ABC，132ACB，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点,M N分别在直线AC和直线AB上，则（）)(A BMCN.)(BBMCN.)(CBMCN.)(DBM和CN的大小关系不确定.【答】B.解解 12ABC，BM为ABC的外角平分线，1(18012)842MBC.又18018013248BCMACB，180844848BMC，BM
5、BC.又11(180)(180132)2422ACNACB，18018012()BNCABCBCNACBACN 168(13224)12ABC ，CNCB.因此，BMBCCN.故选B.5现有价格相同的 5 种不同商品，从今天开始每天分别降价 10或 20，若干天后，这 5 种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（）)(A39()8.)(B49()8.)(C59()8.)(D98.【答】B.解解容易知道，4 天之后就可以出现 5 种商品的价格互不相同的情况.设 5 种商品降价前的价格为a，过了n天.n天后每种商品的价格一定可以表示为98(1 10%)(1 20%)(
6、)()1010kn kkn kaa，其中k为自然数，且0kn.要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010in ia，1198()()1010in ia，2298()()1010in ia，3398()()1010in ia，4498()()1010in ia，其中i为不超过n的自然数.所以r的最小值为44498()()91010()988()()1010in iin iaa.故选B.6 已知实数,x y满足22(2008)(2008)2008xxyy，则223233xyxy2007的值2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 1 页（共 9 页）http:/
7、 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网为（）)(A2008.)(B2008.)(C1.)(D1.【答】D.解解22(2008)(2008)2008xxyy，2222008200820082008xxyyyy，2222008200820082008yyxxxx，由以上两式可得xy.所以22(2008)2008xx，解得22008x，所以22222323320073233200720071xyxyxxxxx.故选D.二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 28 分，每小题分，每小题 7 分）分）1设512a，则5432322aaaaaaa2.解解225135()122aa，21aa
8、，543232323222()2()2aaaaaa aaaaaaaa aa33332221211(1)(1 1)2(1)1aaaaaaaaaaa .2如图，正方形ABCD的边长为 1，,M N为BD所在直线上的两点，且5AM，135MAN，则四边形AMCN的面积为522008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 2 页（共 9 页）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解解设正方形ABCD的中心为O，连AO，则AOBD，22AOOB,222223 2(5)()22MOAMAO,2MBMOOB.又135ABMNDA，13590NADMANDABMABMAB
9、45MABAMB，所以ADNMBA，故ADDNMBBA，从而12122ADDNBAMB.根据对称性可知，四边形AMCN的面积11225222(22)22222MANSSMNAO.3已知二次函数2yxaxb的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且1mn.设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则pq12解解根据题意，,m n是一元二次方程20 xaxb的两根，所以mna，mnb.1mn，1mnmn，1mnmn.方程20 xaxb的判别式240ab，22()1444amnb.22244()()()11bmnmnmnmn ，故14b ，等号当且仅当12mn 时取得；22244()()1
10、()1bmnmnmnmn，故14b，等号当且仅当12mn时取得.所以14p，14q ，于是12pq.4依次将正整数 1，2，3，的平方数排成一串：149162536496481100121144，排在第 1 个位置的数字是 1，排在第 5 个位置的数字是 6，排在第 10 个位置的数字是 4，排在第 2008 个位置的数字是1.解解21到23，结果都只各占 1 个数位，共占1 33个数位；2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 3 页（共 9 页）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网24到29，结果都只各占 2 个数位，共占2 612个数位；210
11、到231，结果都只各占 3 个数位，共占3 2266个数位；232到299，结果都只各占 4 个数位，共占4 68272个数位；2100到2316，结果都只各占 5 个数位，共占5 2171085个数位；此时还差2008(3 1266272 1085)570个数位.2317到2411，结果都只各占 6 个数位，共占6 95570个数位.所以，排在第 2008 个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为 1.第二试第二试（A）一一（本题满分（本题满分 20 分）分）已知221ab，对于满足条件01x的一切实数x，不等式(1)(1)()0axxaxbx bxbx（1）恒成立.当乘积ab取最小值
12、时，求,a b的值.解解整理不等式（1）并将221ab代入，得2(1)(21)0ab xaxa（2）在不等式（2）中，令0 x，得0a；令1x，得0b.易知10ab，21012(1)aab，故二次函数2(1)(21)yab xaxa的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在 0 和 1 之间.由 题 设 知，不 等 式（2）对 于 满 足 条 件01x的 一 切 实 数x恒 成 立，所 以 它 的 判 别 式2(21)4(1)0aaba，即14ab.由方程组2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 4 页（共 9 页）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷
13、搜题网221,14abab（3）消去b，得42161610aa，所以2234a或2234a.又因为0a，所以624a或624a，于是方程组（3）的解为62,462,4ab或62,462.4ab所以ab的最小值为14，此时,a b的值有两组，分别为6262,44ab和6262,44ab.二二（本题满分本题满分 25 分分）如图，圆O与圆D相交于,A B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC.（1）证明：点O在圆D的圆周上.（2）设ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.解解（1）连,OA OB OC AC，因为O为圆心，ABBC，所以OBAOBC，从而OBAOBC.因为,ODAB
14、DBBC，所以9090DOBOBAOBCDBO，所以DBDO，因此点O在圆D的圆周上.（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BEAC.设2ACy(0)ya，OEx，ABl，则222axy，()Sy ax，2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 5 页（共 9 页）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网22222222()2222()aSlyaxyaaxxaaxa axy.因为22ABCOBAOABBDO ,ABBC,DBDO，所以BDOABC，所以BDBOABAC，即2raly，故2alry.所以2 2223222()4422a la
15、aSSaSryyyy，即22Sr，其中等号当ay时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为22S.三三（本题满分（本题满分 25 分）分）设a为质数，b为正整数，且29(2)509(4511)abab（1）求a，b的值.解解（1）式即2634511()509509abab，设634511,509509ababmn，则509650943511manab（2）故351160nma，又2nm，所以2351160mma（3）由（1）式可知，2(2)ab能被 509 整除，而 509 是质数，于是2ab能被 509 整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式2
16、51172a 为完全平方数.不妨设2251172at（t为自然数），则2272511(511)(511)attt.由于511 t和511 t的奇偶性相同，且511511t，所以只可能有以下几种情况：51136,5112,tat 两式相加，得3621022a，没有整数解.51118,5114,tat 两式相加，得1841022a，没有整数解.51112,5116,tat 两式相加，得1261022a，没有整数解.2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 6 页（共 9 页）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网5116,51112,tat 两式相加，得6
17、121022a，没有整数解.5114,51118,tat 两式相加，得4181022a，解得251a.5112,51136,tat 两式相加，得2361022a，解得493a，而4931729不是质数，故舍去.综合可知251a.此时方程（3）的解为3m 或5023m（舍去）.把251a，3m 代入（2）式，得509 36 25173b .第二试第二试（B）一一（本题满分（本题满分 20 分）分）已知221ab，对于满足条件1,0 xyxy的一切实数对(,)x y，不等式220ayxybx（1）恒成立.当乘积ab取最小值时，求,a b的值.解解由1,0 xyxy可知01,01xy.在（1）式中，
18、令0,1xy，得0a；令1,0 xy，得0b.将1yx 代入（1）式，得22(1)(1)0axxxbx，即2(1)(21)0ab xaxa（2）易知10ab，21012(1)aab，故二次函数2(1)(21)yab xaxa的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在 0 和 1 之间.由 题 设 知，不 等 式（2）对 于 满 足 条 件01x的 一 切 实 数x恒 成 立，所 以 它 的 判 别 式2(21)4(1)0aaba，即14ab.由方程组2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 7 页（共 9 页）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2
19、21,14abab（3）消去b，得42161610aa，所以2234a或2234a，又因为0a，所以624a或624a.于是方程组（3）的解为62,462,4ab或62,462.4ab所以满足条件的,a b的值有两组，分别为6262,44ab和6262,44ab.二二（本题满分（本题满分 25 分）题目和解答与（分）题目和解答与（A）卷第二题相同）卷第二题相同.三三（本题满分（本题满分 25 分）题目和解答与（分）题目和解答与（A）卷第三题相同）卷第三题相同.第二试第二试（C）一一（本题满分（本题满分 20 分）题目和解答与（分）题目和解答与（B）卷第一题相同）卷第一题相同.二（本题满分（本题
20、满分 25 分）题目和解答与（分）题目和解答与（A）卷第二题相同）卷第二题相同.三三（本题满分（本题满分 25 分）分）设a为质数，,b c为正整数，且满足29(22)509(41022511)2abcabcbc(1)(2)求()a bc的值.解解（1）式即266341022511()509509abcabc，设66341022511,509509abcabcmn，则5096509423511manabc（3）故351160nma，又2nm，所以2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 8 页（共 9 页）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2351
21、160mma（4）由（1）式可知，2(22)abc能被 509 整除，而 509 是质数，于是22abc能被 509 整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a 为完全平方数.不妨设2251172at（t为自然数），则2272511(511)(511)attt.由于511 t和511 t的奇偶性相同，且511511t，所以只可能有以下几种情况：51136,5112,tat 两式相加，得3621022a，没有整数解.51118,5114,tat 两式相加，得1841022a，没有整数解.51112,5116,tat 两式相加，得1261022a，没有整数解.5116,51112,tat 两式相加，得6121022a，没有整数解.5114,51118,tat 两式相加，得4181022a，解得251a.5112,51136,tat 两式相加，得2361022a，解得493a，而4931729不是质数，故舍去.综合可知251a，此时方程（4）的解为3m 或5023m（舍去）.把251a，3m 代入（3）式，得509 36 251273bc ，即27cb.代入（2）式得(27)2bb，所以5b，3c，因此()251(53)2008a bc.2008 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第 9 页（共 9 页）