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1、第9讲 一元二次方程一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念只含有_个未知数，且未知数的最高次数是_的整式方程，叫做一元二次方程它的一般形式是ax2bxc0(a0).一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是_，主要方法有：直接开平方法、_法、公式法、_法等.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式为_.判别式与根的关系(1)b24ac0一元二次方程_的实数根；(2)b24ac0一元二次方程_的实数根；(3)b24ac0一元二次方程_实数根.根与系数的关系如果一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根分别是x1、x2，则x1
2、x2，x1x2.【易错提示】(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件；(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b24ac0.一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理1已知方程一根求另一根或参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；也可以利用根与系数的关系求解2解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法
3、；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法命题点1一元二次方程的解法(2015徐州)解方程：x22x30.【解答】解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松1关于x的一元二次方程(m1)x25xm23m20的常数项为0，则m等于()A1 B2 C1或2 D02(2015聊城)一元二次方程x22x0的解是_3(2015丽水)解一元二次方程x22x30时，可转化为解两个一元一
4、次方程，请写其中的一个一元一次方程_4(2014徐州)解方程：x24x10.命题点2一元二次方程根的判别式和根与系数的关系(2014南充)已知关于x的一元二次方程x22xm0，有两个不相等的实数根(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式xxx1x2的值【思路点拨】(1)根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”可知0，然后解不等式求出m的取值范围；(2)通过把条件xxx1x2变形，构造出“x1x2”与“x1x2”，然后利用根与系数的关系求得代数式的值【解答】利用一元二次方程根与系数关系求解字母系数的值的前提条件是方程必须要有两个实数根；利用根与系数关
5、系求代数式的值一般是通过变形将代数式转化为含有“x1x2”与“x1x2”的式子1(2015衡阳)若关于x的方程x23xa0有一个根为1，则另一个根为()A2 B2 C4 D32(2015铜仁)已知关于x的一元二次方程3x24x50，下列说法正确的是()A方程有两个相等的实数根B方程有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定3(2015金华)一元二次方程x24x30的两根为x1，x2，则x1x2的值是()A4 B4 C3 D34(2015凉山)关于x的一元二次方程(m2)x22x10有实数根，则m的取值范围是()Am3 Bm3Cm3且m2 Dm3且m2命题点3一元二次方程的应用(2014南京)某
6、养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万，可变成本逐年增长已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为_万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.【思路点拨】根据“第3年的可变成本第1年的可变成本(1增长率)2”，结合题中已知数据即可得到关于增长率的方程，求解即可【解答】列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时要借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义增长率问题：基本数量关系：若基数为a，末数为b，增长率(下
7、降率)为x，时间间隔为n，则有关系式a(1x)nb.1(2015巴中)某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是()A560(1x)2315 B560(1x)2315C560(12x)2315 D560(1x2)3152(2015济南)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为()A10 cm B13 cmC14 cm D16 cm3(2013襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感(1)
8、求每轮传染中平均一个人传染了几个人；(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？1(2015石河子校级模拟)把方程x(x2)5(x2)化成一般形式，则a、b、c的值分别是()A1，3，10 B1，7，10C1，5，12 D1，3，22如果关于x的方程(m3)xm22m1mx10是一元二次方程，则m为()A1 B1或3C3 D1或33(2015重庆B卷)已知一元二次方程2x25x30，则该方程根的情况是()A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C两个根都是自然数D无实数根4下列一元二次方程两实数根和为4的是()Ax22x40 Bx24x40Cx24x100 Dx24x505(2015烟台
9、)如果x2x1(x1)0，那么x的值为()A2或1 B0或1C2 D16(2015烟台)等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x26xn10的两根，则n的值为()A9 B10C9或10 D8或107(2015厦门)方程x2x0的解是_8(2015漳州)若关于x的一元二次方程ax23x10有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_9(2015江西)已知一元二次方程x24x30的两根为m，n，则m2mnn2_.10(2014德州)方程x22kxk22k10的两个实数根x1，x2满足xx4，则k的值为_11某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划
10、安排10场比赛，则参加比赛的球队应有_12(2014丽水)如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为x m，由题意列得方程 13选择适当的方法解下列方程：(1)x25x10(用配方法)；(2)3(x2)2(x2)；(3)2x22x50(公式法)；(4)(y2)2(3y1)2.14(2015自贡)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽15(2015河南)已知关于
11、x的一元二次方程(x3)(x2)|m|.(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根16(2015长沙)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？17(2014威海
12、)方程x2(m6)xm20有两个相等的实数根，且满足x1x2x1x2，则m的值是()A2或3 B3C2 D3或218(2014荆门)已知是一元二次方程x2x10较大的根，则下面对的估计正确的是()A01 B11.5C1.52 D2319(2014巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个商店若将准备获利2 000元，则应进货多少个？定价多少元？20(2014株洲)已知关于x的一元二次方程(ac)x22bx(ac)0，其中a、b、
13、c分别为ABC的三边的长(1)如果x1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由；(3)如果ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根温馨提示：“整合集训”完成后，可酌情使用P34滚动小专题(二)类型2“不等式(组)的解法”P35类型4“不等式的应用”进行强化训练！考点解读一2降次配方因式分解b24ac有两个不相等有两个相等没有各个击破例1方法一(配方法)： 配方，得(x1)24. 两边开平方，得x12. 解得x11，x23.方法二(公式法)： a1，b2，c3，(2)241(3)160.x12.x11，x23.方法三(因式分
14、解法)x22x30，(x1)(x3)0.x10或x30.x11，x23.题组训练1.B2.0或23.x30(或x10)4.方法一(配方法)：配方，得(x2)25.两边开平方，得x2.x12，x22.方法二(公式法)：a1，b4，c1，4241(1)200.x2.x12，x22.例2(1)由题意，得(2)24m84m.一元二次方程有两个不相等的实数根，0，即84m0，解得m2.m的最大整数值为m1.把m1代入关于x的一元二次方程x22xm0得x22x10. 根据根与系数的关系：x1x22，x1x21， xxx1x2(x1x2)23x1x2(2)2315.题组训练1.A2.B3.D4.D例3(1)
15、2.6(1x)2 (2)根据题意，得42.6(1x)27.146.解得x10.110%，x22.1(不合题意，舍去)答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.题组训练1.B2.D3.(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1xx(1x)64.解得x17，x29(不合题意，舍去)答：每轮传染中平均一个人传染了7个人(2)764448(人)答：又有448人被传染整合集训1.A2.A3.A4.D5.C6.B7.x10，x218.a且a09.2510.111.512.(302x)(20x)786或x235x66013.(1)x25x1，x25x()21()2，(x)2，x，所以x1，x2.
16、(2)3(x2)2x(x2)0，(x2)(3x6x)0，所以x12，x23.(3)(2)242(5)48，x，所以x1，x2.(y2)2(3y1)20，(y23y1)(y23y1)0，y23y10或y23y10，所以y1，y2.14.设垂直于墙的一边为x米， 得x(582x)200. 解得x125，x24. 另一边为8米或50米答：矩形长为25米宽为8米或矩形长为50米宽为4米15.(1)证明：原方程可化为x25x6|m|0.(5)24(6|m|)25244|m|14|m|0，总有两不等实数根把x1代入原方程，得|m|2.m2或m2.原方程为x25x40，解得x11，x24，方程的另一个根是4
17、.16.(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得10(1x)212.1.解得，x10.1，x22.1(舍)答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.(2)6月：12.11.113.31(万件)210.612.6(万件)13.31万件，该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务2223，至少还需增加2名业务员17.C18.C19.设定价为x元，则进货为18010(x52)18010x520(70010x)个(x40)(70010x)2 000.解得x150，x260.每批次进货个数不得超过180个，70010x180.x52.x60.当x60时，70010x7001060100.答：商店若准备获利2 000元，应进货100个，定价为60元20.(1)把x1代入方程得2a2b0，即ab.ABC是等腰三角形方程有两个相等的实数根，(2b)24(ac)(ac)0，即b2c2a2.ABC是直角三角形ABC是等边三角形，abc.原方程变为2ax22ax0.a0，x2x0.x10，x21.9