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1、推理与证明单元测试题7一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 用反证法证明命题“已知，则中至少有一个不 小 于0”反设正确的是 （ ） A.假设都不大于0 B.假设至多有一个大于0 C.假设都大于0 D.假设都小于02用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1=(a1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a33 .若一个命题的结论是 “直线在平面内”，则用反证法证明这个命题时，第一步应作的假设为 （ ）A.假设直线平面 B.假设直线平面于点A C.假设直线平面 D.假设直线平面
2、4. 有一天，某城市的珠宝店被盗走了价值数万元的钻石.报案后，经过三个月的侦察，查明作案人肯定是甲乙丙丁中的一人.经过审讯，这四个人的口供如下：甲：钻石被盗的那天，我在别的城市，所以我不是罪犯.乙：丁是罪犯.丙：乙是盗窃犯，三天前，我看见他在黑市上卖一块钻石.丁：乙同我有仇，有意诬陷我.因为口供不一致,无法判断谁是罪犯.经过测谎试验知道，这四人只有一个人说的是真话，那么你能判断罪犯是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D.丁 5已知直线是异面直线，直线，那么与的位置关系（）一定是异面直线一定是相交直线不可能是平行直线不可能是相交直线6.已知a+b+c=2，则ab+bc+ca的值( )(A)大于(B
3、)小于 (C)不小于(D)不大于7. 用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（ ）A.假设n= k（kN*），证明n= k +1命题成立B.假设n= k( k是正奇数)，证明n= k+1命题成立C.假设n=2 k+1( kN*),证明n= k+1命题成立D.假设n= k( k是正奇数)，证明n= k+2命题成立8命题“对于任意角，cos4sin4cos2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”过程应用了()A分析法B综合法 C综合法、分析法综合使用 D间接证明法9要证：a2b21a2b20
4、，只要证明 ()A2ab1a2b20 Ba2b210C.1a2b20 D(a21)(b21)010已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2，已知a，bR，|a|b|0，x11且xn1(n1,2，)，试证：“数列xn对任意的正整数n，都满足xnxn1，”当此题用反证法否定结论时应为 三 解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15已知（1）求证：；（2）求证：，中至少有一个不小于16.已知数列an的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=an（4-an）（nN）.证明：anan+12（nN）.17. 列三角形数表 1 -第一行 2 2 -第二行
5、 3 4 3 -第三行 4 7 7 4 -第四行 5 11 14 11 5 假设第行的第二个数为（1）依次写出第六行的所有数字；（2）归纳出的关系式并求出的通项公式；（3）设求证： 18.已知等差数列an的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=1-.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由.推理与证明参考答案一 选择题1. 【答案】D【解析】：反证法的应用是假设结论不成立，因此要设为“假设都小于0.2 【答案】：C3 【答案】C 【解析】“直线在平面内”的否定为“直线平面”.
6、4 【答案】A 【解析】：对于这四个人一个人说真话，因此分别进行判断可得若丁是真的，其他三人是假的，则可判断甲是罪犯5【答案】C【解析】，根据公理4，与已知矛盾.6.【答案】D.【解析】(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=4又a2+b2+c2ab+bc+ca,ab+bc+ca.7.【答案】D8. 答案：B解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件结论9. 答案：D解析：因为a2b21a2b20(a21)(b21)0.10. 答案：D解析：反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法故选D.二 填空题（共4小题，每小题3分共1
7、2分，把答案填在相应的位置上）11.【答案】:满足f(-x)=-f(x)的函数是奇函数【解析】根据奇函数的定义可得：满足f(-x)=-f(x)的函数是奇函数.12. 【答案】1+213. 【答案】,【解析】14. 【答案】存在正整数n，使xnxn1解析：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列xn对任意的正整数n，都满足xnxn1”的否定为“存在正整数n，使xnxn1”三 解答题（本大题四个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15【证明】：（1）；（2）（反证法）假设，中至少有一个不小于不成立，则假设，都小于，则，即而，即，即，这与矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即，中至
8、少有一个不小于16.证明 方法一 用数学归纳法证明：（1）当n=0时，a0=1，a1=a0(4-a0)=,所以a0a12,命题正确.（2）假设n=k时命题成立，即ak-1ak2.则当n=k+1时，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0,4-ak-1-ak0,所以ak-ak+10.又ak+1=ak(4-ak)=4-(ak-2)22.所以n=k+1时命题成立.由（1）（2）可知，对一切nN时有anan+12.方法二 用数学归纳法证明：(1)当n=0时，a0=
9、1,a1=a0(4-a0)=,所以0a0a12;(2)假设n=k时有ak-1ak2成立，令f(x)=x(4-x),f(x)在0，2上单调递增，所以由假设有：f（ak-1）f(ak)f(2),即ak-1（4-ak-1）ak（4-ak）2(4-2),也即当n=k+1时,akak+12成立. 所以对一切nN，有akak+12.17、【解析】：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6； （2）依题意， ，所以； 当n=2时， ,也满足上述等式所以 （3）因为 所以 18.解 （1）由已知得,又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.d= =2，a1=1.Tn=1-bn，b
10、1=，当n2时，Tn-1=1-bn-1,bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),化简，得bn=bn-1,bn是首项为,公比为的等比数列，即bn=,an=2n-1，bn=. (2)Sn=n2,Sn+1=（n+1）2，=.以下比较与Sn+1的大小：当n=1时，=，S2=4，S2,当n=2时，=,S3=9,S3,当n=3时，=,S4=16,S4,当n=4时，=,S5=25,S5.猜想：n4时，Sn+1.下面用数学归纳法证明：当n=4时，已证.假设当n=k (kN*,k4)时，Sk+1,即(k+1)2.那么n=k+1时，=33(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,n=k+1时，Sn+1也成立.由可知nN*,n4时，Sn+1都成立.综上所述，当n=1,2,3时，Sn+1,当n4时，Sn+1.