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1、2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）一选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案每题5分，满分60分）1已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离( )A2B3C5D72下列命题中正确的是( )A若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列B若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列C若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列D若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列3若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则=(
2、 )A4B3C2D14若命题“p”与命题“pq”都是真命题，那么( )A命题p与命题q的真值相同B命题p一定是真命题C命题q不一定是真命题D命题q一定是真命题5过点（3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是( )A=1B=1C=1D=16下列函数中，最小值为2的是( )ABCy=ex+2exD y=log2x+2logx27在ABC中，“A60”是“sinA”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8若不等式ax2+bx+20的解集是x|x，则a+b的值为( )A10B14C10D149椭圆+=1（ab0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰
3、为c，则椭圆的离心率为( )ABC1D110直线y=kx+1的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是( )Ak0Bk1Ck1Dk211已知方程（x22x+m）（x22x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|等于( )A1BCD12给出平面区域如图所示，若使目标函数z=ax+y（a0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )ABC4D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13命题“xR，x1或x24”的否定是 _14不等式1的解集为_15椭圆+y2=1上的点P与点Q（0，2）的距离的最大值为_16在ABC中，C=60，BC1，AC=AB+，则AC的最小值是_三、解答题：解答应写
4、出文字说明，证明过程或演算步骤（共70分）.17已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，（）求的值；（）设的值18（选修45：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当a=2时，求不等式f（x）g（x）的解集；（）设a1，且当时，f（x）g（x），求a的取值范围19某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超
5、过250吨甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大？20在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作Tn，再令an=lgTn，n1（）求数列an的通项公式；（）设bn=tanantanan+1，求数列bn的前n项和Sn21已知中心是原点、焦点在y轴上的椭圆C长轴长为4，且椭圆C过点P（1，），（1）求此椭圆的方程；（2）过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点求直线AB的斜率22已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列An（n=1，2，3，
6、）的横坐标构成数列xn，其中（1）求xn与xn+1的关系式；（2）求证：是等比数列；（3）求证：（1）x1+（1）2x2+（1）3x3+（1）nxn1（nN，n1）2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）一选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案每题5分，满分60分）1已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离( )A2B3C5D7【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5根据椭圆的定
7、义得：2a=3+dd=2a3=7故选D【点评】本题主要考查椭圆的定义在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口2下列命题中正确的是( )A若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列B若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列C若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列D若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列【考点】等比关系的确定【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】结论不成立，列举反例，C利用等差数列、等比数列的定义进行证明【解答】解：对于A，a=b=c=0，结论不成立
8、；对于B，a=1，b=1，c=1，结论不成立；对于C，若a，b，c是等差数列，则2b=a+c，所以2a，2b，2c是等比数列，成立；对于D，a=1，b=1，c=1，则2a，2b，2c是等差数列不成立故选：C【点评】本题考查等比关系的确定，考查学生分析解决问题的能力，比较基础3若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则=( )A4B3C2D1【考点】数列的应用【专题】计算题【分析】由题意可知，所以=【解答】解：由题意可知，=故选C【点评】本题考查数列的性质应用，难度不大，解题时要多一份细心4若命题“p”与命题“pq”都是真命题，那么( )A命题p与命题q的真值相同B命
9、题p一定是真命题C命题q不一定是真命题D命题q一定是真命题【考点】命题的真假判断与应用【专题】阅读型【分析】根据命题和其否定真假性相反，判定出p的真假，结合“或”命题真假确定q的真假对照选项即可【解答】解：命题p是真命题，则p是假命题又命题pvq 是真命题，所以必有q是真命题故选D【点评】本题考查复合命题真假性的判定及应用复合命题真假一般转化成基本命题的真假5过点（3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是( )A=1B=1C=1D=1【考点】椭圆的标准方程【专题】计算题【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求出a，c，然后求出b，即可得到结果【解答】解：由题意=1的焦点坐标（），所以2a
10、=2，所以a=所以b2=155=10所以所求椭圆的方程为：=1故选A【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，椭圆的定义的应用，考查计算能力6下列函数中，最小值为2的是( )ABCy=ex+2exDy=log2x+2logx2【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】A：当x0时不能运用基本不等式B：当sinx=时取到最小值2，由三角函数的性质可得sinx=不成立C：此函数解析式满足：一正，二定，三相等，所以C正确D：当log2x0时不能运用基本不等式【解答】解：A：由可得：当x0时不能运用基本不等式，所以A错误B：2，当且仅当sinx=时取等号，由三角函数的性质可得sinx=不成立，所以B错误C：
11、因为ex0，所以y=ex+2ex=2，当且仅当ex=时取等号，此函数满足：一正，二定，三相等，所以C正确D：由y=log2x+2logx2可得：当log2x0时不能运用基本不等式，所以D错误故选C【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值，以及三角函数、指数函数、对数函数的有关性质，在利用基本不等式求最值时要满足：一正，二定，三相等，此题属于基础题7在ABC中，“A60”是“sinA”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的定义和性质进行判断即可【解答】
12、解：在ABC中，若sinA，则60A120，即A60成立，当A=150时，满足A60但sinA=，则sinA不成立，故“A60”是“sinA”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的性质和取值范围是解决本题的关键8若不等式ax2+bx+20的解集是x|x，则a+b的值为( )A10B14C10D14【考点】一元二次不等式的应用【专题】计算题【分析】将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数a，b，从而求出所求【解答】解：不等式ax2+bx+20的解集为（，），为方程ax2+bx+2=0的两个根根据韦达定理：+= = 由解得：a
13、+b=14故选：B【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题9椭圆+=1（ab0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为( )ABC1D1【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知可得：椭圆+=1与直线y=2x交于（c，2c）点，代入可得离心率的值【解答】解：由已知可得：椭圆+=1与直线y=2x交于（c，2c）点，即+=1，即+=1，即a46a2c2+c4=0，即16e2+e4=0，解得：e2=32，或e2=3+2（舍去），e=1，或
14、e=1（舍去），故选：D【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性质，根据已知构造关于a，c的方程，是解答的关键10直线y=kx+1的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是( )Ak0Bk1Ck1Dk2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的倾斜角【专题】证明题【分析】直线y=kx+1的倾斜角为钝角则可得出其斜率小于0，再有必要非充分条件的定义从四个选项中选出正确答案即可【解答】解：由题意，y=kx+1的倾斜角为钝角故k0考察四个选项，A是充要条件，B是其充分条件，C是其必要不充分条件，D是它的即不充分也不必要条件故选C【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，求解的关键是正确理解
15、充分条件必要条件的定义，本题属于考查基本概念的题11已知方程（x22x+m）（x22x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|等于( )A1BCD【考点】等差数列的性质；一元二次不等式的解法【专题】计算题【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq设x1为第一项，x2必
16、为第4项，可得数列为，m=，n=|mn|=故选C【点评】本题主要考查了等差数列的性质解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q时，am+an=ap+aq的性质12给出平面区域如图所示，若使目标函数z=ax+y（a0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )ABC4D【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】由题设条件，目标函数z=ax+y （a0），取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数中两个系数皆为正，故最大值应在左上方边界AC上取到，即ax+y=0应与直线AC平行，进而计算可得答案【解答】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故ax+y=
17、0应与直线AC平行kAC=，a=，a=，故选：B【点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13命题“xR，x1或x24”的否定是 xR，x1且x24【考点】命题的否定【专题】阅读型【分析】存在性命题”的否定一定是“全称命题”的否定为，x1或x24的否定为x1且x24【解答】解：析已知命题为存在性命题，故其否定应是全称命题、答案xR，x1且x24【点评】本题考查了命题的否定，属于基础题14不等式1的解集为x|x2或x【考点】其他不等式的解法【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】由
18、已知条件先移项再通分，由此能求出不等式1的解集【解答】解：1，1=0，或，解得x2或x，不等式1的解集为x|x2或x故答案为：x|x2或x【点评】本题考查不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用15椭圆+y2=1上的点P与点Q（0，2）的距离的最大值为【考点】椭圆的简单性质【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆+y2=1，设点P（2cos，sin）（【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题19某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2
19、吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨甲、乙两种棉纱应各生产多少，能使利润总额最大？【考点】简单线性规划的应用【专题】数形结合；不等式的解法及应用【分析】利用线性规划知识求解，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数z=600x+900y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可【解答】解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，则目标函数为z=600x+900y作出以上不等式组所表示的平面区域（如图），即可行域作
20、直线l：600x+900y=0，即直线l：2x+3y=0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+900y取最大值解方程组，解得M的坐标为（）因此，当x=，y=时，z取得最大值此时zmax=600+900=130000答：应生产甲种棉纱吨，乙种棉纱吨，能使利润总额达到最大，最大利润总额为13万元【点评】本题考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，解题的关键是确定约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解，属中档题20在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作Tn，再令an=lg
21、Tn，n1（）求数列an的通项公式；（）设bn=tanantanan+1，求数列bn的前n项和Sn【考点】等比数列的通项公式；数列与三角函数的综合【专题】计算题；压轴题【分析】（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故Tn=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列an的通项公式；（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列bn的每一项拆成的形式，进而得到结论【解答】解：（I）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，又这n+2个数的乘积计作Tn，Tn=10n+2又
22、an=lgTn，an=lg10n+2=n+2，n1（II）bn=tanantanan+1=tan（n+2）tan（n+3）=，Sn=b1+b2+bn=+=【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键21已知中心是原点、焦点在y轴上的椭圆C长轴长为4，且椭圆C过点P（1，），（1）求此椭圆的方程；（2）过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点求直线AB的斜率【考点】椭圆的简单性质【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意设椭圆的标准方程为：=1（ab0）
23、，可得，解出即可得出；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设PA的方程为y=k（x1），代入椭圆方程化简得：（k2+2）x22kx+2=0，显然1与x1是这个方程的两解，可得x1，y1，用k代替x1，y1中的k，得x2，y2再利用斜率计算公式即可得出【解答】解：（1）由题意设椭圆的标准方程为：=1（ab0），可得，解得a=2，b2=2=c2设此椭圆的方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设PA的方程为y=k（x1），代入椭圆方程化简得：（k2+2）x22kx+2=0，显然1与x1是这个方程的两解，x1=，y1=，用k代替x1，y1中的k，得x2=，=【点评】本题考查了椭圆
24、的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列An（n=1，2，3，）的横坐标构成数列xn，其中（1）求xn与xn+1的关系式；（2）求证：是等比数列；（3）求证：（1）x1+（1）2x2+（1）3x3+（1）nxn1（nN，n1）【考点】数列递推式；等比关系的确定；不等式的证明【专题】综合题；压轴题【分析】（1）根据点An的坐标表示出斜率kn，代入求得xnxn+1=xn+2整理后即可求得xn与xn+1的关系式；（2）记，把（1）
25、中求得xn与xn+1的关系式代入可求得an+1=2an推断数列an即：是等比数列；（3）由（2）可求得的表达式，进而求得xn，进而看n为偶数时，求得（1）n1xn1+（1）nxn=，进而可证（1）x1+（1）2x2+（1）3x3+（1）nxn1；再看n为奇数时，前n1项为偶数项，则可证出：（1）x1+（1）2x2+（1）n1xn1+（1）nxn1，最后综合原式可证【解答】解：（1）过C：上一点An（xn，yn）作斜率为kn的直线交C于另一点An+1，则，于是有：xnxn+1=xn+2即：（2）记，则，因为，因此数列是等比数列（3）由（2）知：，当n为偶数时有：（1）n1xn1+（1）nxn=，于是在n为偶数时有：1在n为奇数时，前n1项为偶数项，于是有：（1）x1+（1）2x2+（1）n1xn1+（1）nxn综合可知原不等式得证【点评】本题主要考查了数列的递推式考查了学生推理能力和基本的运算能力- 18 -