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1、-1-20092009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文（天津卷，解析版）年普通高等学校招生全国统一考试数学文（天津卷，解析版）参考公式：。如果事件 A，B 互相排斥，那么 P（AUB）=P（A）+P(B)。棱柱的体积公式 V=sh。其中 S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高1.i是虚数单位，ii25=Ai 21Bi 21Ci 21Di 21【答案】D【解析】由已知，12)2)(2()2(525iiiiiii【考点定位】本试题考查了复数的基本的除法运算。2.设变量 x,y 满足约束条件3213yxyxyx，则目标函数yxz 2的最小值为A6B7C 8D 23【答案】B【解析】由已知，先作
2、出线性规划区域为一个三角形区域，得到三个交点（2，1）（1，2）（4，5），那么作一系列平行于直线032 yx的平行直线，当过其中点（2，1）时，目标函数最小。【考点定位】本试题考查了线性规划的最优解的运用以及作图能力。3设”是“则“xxxRx31,的A充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为1,1,0,3xxx解得，显然条件的集合小，结论表示的集合大，由集合的包含关系，我们不难得到结论。【考点定位】本试题考察了充分条件的判定以及一元高次方程的求解问题。考查逻辑推理能力。4设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为 2，焦距为32，则双
3、曲线的渐近线方程为（）Axy2Bxy2Cxy22Dxy21【答案】C【解析】由已知得到2,3,122bcacb，因为双曲线的焦点在 x 轴上，故渐-2-近线方程为xxaby22【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。5.设3.02131)21(,3log,2logcba，则A abcB acbC bcaD bax2,x 下面的不等式在 R 内恒成立的是A0)(xfB0)(xfCxxf)(Dxxf)(【答案】A【解析】由已知，首先令0 x，排除 B，D。然后结合已知条件排除 C,得到 A【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析
4、式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力。二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填写在题中的横线上。）11.如图，11BBAA与相交与点 O,11/BAAB且1121BAAB，若AOB得外接圆直径为 1，则11OBA的外接圆直径为_.【答案】2【解析】由正弦定理可以知道，ABBAROBArOAB2,2sin,12sin1111,所以11OBA的外接圆半径是AOB外接圆半径的二倍。【考点定位】本试题考查了正弦定理的运用。以及三角形中外接圆半径与边角的关系式运用。考察了同学们对于新问题的转化化归思想。-4-12.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则 a=_
5、.【答案】3【解析】由已知正视图可以知道这个几何体是睡着的直三棱柱，两个底面是等腰的三角形，且 底 边 为 2，等 腰 三 角 形 的 高 位 a，侧 棱 长 为 3，结 合 面 积 公 式 可 以 得 到333221ashV，解得 a=3【考点定位】本试题考查了简单几何体的三视图的运用。培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力。13.设全集1lg|*xNxBAU，若4,3,2,1,0,12|nnmmBCAU，则集合 B=_.【答案】2，4，6，8【解析】9,8,7,6,5,4,3,2,1BAU9,7,5,3,1BCAU8,6,4,2B【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。1
6、4.若圆422 yx与圆)0(06222aayyx的公共弦长为32，则 a=_.【答案】1【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为ay1，利用圆心（0，0）到直线的距离 d1|1|a为13222，解得 a=1【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。15.若 等 边ABC的 边 长 为32，平 面 内 一 点 M 满 足CACBCM3261,则MBMA_.【答案】-2【解析】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设)3,3(),0,32(),0,0(BAC-5-这样利用向量关系式，求得 M)21,233(，
7、然后求得)25,23(),21,23(MBMA，运用数量积公式解得为-2.【考点定位】本试题考察了向量在解三角形中的几何运用。也体现了向量的代数化手段的重要性。考查了基本知识的综合运用能力。16.若关于 x 的不等式22)12(axx的解集中整数恰好有 3 个，则实数 a 的取值范围是_.【答案】)1649,925(【解析】因为不等式等价于014)4(2xxa，其中014)4(2xxa中的04a，且有04 a，故40 a，不等式的解集为axa2121，212141a则一定有 1，2，3 为所求的整数解集。所以4213a，解得 a 的范围为)1649,925(【考点定位】本试题考查含有参数的一元
8、二次不等式的解集问题的运用。考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力。三、解答题17.（本小题满分 12 分）在ABC中，ACACBCsin2sin,3,5（）求 AB 的值。（）求)42sin(A的值。【答案】102【解 析】（1）解：在ABC中，根 据 正 弦 定 理，ABCCABsinsin，于 是522sinsinBCABCCAB（2）解：在ABC中，根据余弦定理，得ACABBCACABA2cos222于是AA2cos1sin=55，-6-从而53sincos2cos,54cossin22sin22AAAAAA1024sin2cos4cos2sin)42sin(AAA【考点定位】本题主要考
9、查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。18.（本小题满分 12 分）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 A，B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查，已知 A,B，C 区中分别有 18，27，18 个工厂（）求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数；（）若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。【答案】(1)2，3，2(2)2111【解析】（1）解：工厂总数为 18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为91637
10、，所以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2，3，2.（2）设21,AA为在 A 区中抽得的 2 个工厂，321,BBB为在 B 区中抽得的 3 个工厂，21,CC为在 C 区中抽得的 2 个工厂，这 7 个工厂中随机的抽取 2 个，全部的可能结果有：27C种，随机 的 抽 取 的2个 工 厂 至 少 有 一 个 来 自A区 的 结 果 有),(21AA，),(21BA),(11BA),(31BA),(21CA),(11CA,同理2A还能组合 5 种，一共有 11 种。所以所求的概率为21111127C【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发
11、生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。19.如图，在四棱锥ABCDP 中，ABCDPD平面，CDAD，且 DB 平分ADC，E为PC的中点，1 CDAD,22DB-7-（）证明BDEPA平面/（）证明PBDAC平面（）求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值【答案】（1）略（2）略（3）31【解析】证明：设HBDAC，连结 EH，在ADC中，因为 AD=CD，且 DB 平分ADC，所以 H 为 AC 的中点，又有题设，E 为 PC 的中点，故PAEH/,又BDEPABDEHE平面平面,所以BDEPA平面/（2）证明：因为ABCDPD平面，ABCDAC平面，所以AC
12、PD 由（1）知，ACBD,DBDPD故PBDAC平面(3)解：由PBDAC平面可知，BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影，所以CBH为直线与平面 PBD 所成的角。由CDAD,223,22,22,1BHCHDHDBCDAD可得在BHCRt中，31tanBHCHCBH,所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为31。【考点定位】本小题主要考察直线与平面平行。直线和平面垂直。直线和平面所成的角等基础知识，考察空间想象能力、运算能力和推理能力。20.（本小题满分 12 分）已知等差数列na的公差 d 不为 0，设121nnnqaqaaS*1121,0,)1(NnqqaqaaTnnnn（）若15
13、,1,131Saq,求数列na的通项公式；（）若3211,SSSda且成等比数列，求 q 的值。-8-（）若*2222,1)1(2)1(1,1NnqqdqTqSqqnnn）证明（【答案】（1）34 nan（2）2q（3）略【解析】（1）解：由题设，15,1,1,)2()(3121113SaqqdaqdaaS将代入解得4d，所以34 nan*Nn（2）解：当32123211,32,2,SSSdqdqdSdqdSdSda成等比数列，所以3122SSS，即)32222dqdqdddqd（）（，注意到0d，整理得2q（3）证明：由题设，可得1nnqb，则12223212nnnqaqaqaaS12223
14、212nnnqaqaqaaT-得，)(212234222nnnnqaqaqaTS+得，)(2221223122nnnnqaqaqaTS式两边同乘以 q，得)(2)(221223122nnnnqaqaqaTSq所以22123221)1(2)(2)1()1(qqdqqqqdTqSqnnnn（3）证明：nlklklkbaabaabaaccnn)()()(212121211=11122111)()()(nnnqdblkqdblkdblk因为0,01bd，所以12211121)()()(nnnqlkqlklkdbcc若nnlk，取 i=n，若nnlk，取 i 满足iilk，且jjlk，nji1由（1）（
15、2）及题设知，ni 1，且-9-12211121)()()(nnnqlkqlklkdbcc1当iilk 时，1iilk，由nq，1,2,1,1iiqlkii即111qlk，),1()(22qqqlk2211)1()(iiiiqqqlk所以111)1()1()1()1(1112121iiiiqqqqqqqqqqdbcc因此021cc2当iilk 时，同理可得,1121dbcc因此021cc综上，21cc【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前 n 项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。21.（本小题满分 12 分）设函数0),(,)1(3
16、1)(223mRxxmxxxf其中（）当时，1m曲线）（，在点（11)(fxfy 处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数)(xf有三个互不相同的零点 0，21,xx，且21xx。若对任意的,21xxx，)1()(fxf恒成立，求 m 的取值范围。【答案】（1）1（2）)(xf在)1,(m和),1(m内减函数，在)1,1(mm 内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1(mf，且)1(mf=313223 mm函数)(xf在mx1处取得极小值)1(mf，且)1(mf=313223mm【解析】解：当1)1(,2)(,31)(12/23fxxxfxxxfm故时，所以曲线）（，在点（1
17、1)(fxfy 处的切线斜率为 1.（2）解：12)(22mxxxf，令0)(xf，得到mxmx1,1因为mmm11,0 所以-10-当 x 变化时，)(),(xfxf的变化情况如下表：x)1,(mm1)1,1(mm m1),1(m)(xf+0-0+)(xf极小值极大值)(xf在)1,(m和),1(m内减函数，在)1,1(mm 内增函数。函数)(xf在mx1处取得极大值)1(mf，且)1(mf=313223 mm函数)(xf在mx1处取得极小值)1(mf，且)1(mf=313223mm（3）解：由题设，)(31)131()(2122xxxxxmxxxxf所 以 方 程13122mxx=0 由
18、两 个 相 异 的 实 根21,xx，故321 xx，且0)1(3412m，解得21)(21mm，舍因为123,32,221221xxxxxx故所以若0)1)(1(31)1(,12121xxfxx则，而0)(1xf，不合题意若,121xx 则对任意的,21xxx有,0,021xxxx则0)(31)(21xxxxxxf又0)(1xf，所以函数)(xf在,21xxx的最小值为 0，于是对任意的,21xxx，)1()(fxf恒成立的充要条件是031)1(2 mf,解得3333m综上，m 的取值范围是)33,21(【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等
19、基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。22.（本小题满分 14 分）已知椭圆12222byax（0 ba）的两个焦点分别为)0)(0,(),0,(21ccFcF，过点-11-)0,(2caE的直线与椭圆相交于点 A,B 两点，且|2|,/2121BFAFBFAF（求椭圆的离心率（）直线 AB 的斜率；（）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线BF2上有一点 H(m,n)(0m)在CAF1的外接圆上，求mn的值。【答案】（1）33ace（2）32k（3）522mn【解析】（1）解：由|,/2121BFAFBFAF，得21|1212AFBFEFEF,从而2122ccacca，整理得223
20、ca，故离心率33ace（2）解：由（1）知，22222ccab，所以椭圆的方程可以写为222632cyx设直线 AB 的方程为)(2caxky即)3(cxky由已知设),(),(2211yxByxA则它们的坐标满足方程组222632)3(cyxcxky消去 y 整理，得062718)32(222222cckcxkxk依题意，3333,0)31(4822kkc而222221222132627,3218kcckxxkkxx，有题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以2123xcx联立三式，解得222222213229,3229kcckxkcckx，将结果代入韦达定理中解得32k-12-(3)由（2）知，23,021cxx，当32k时，得 A)2,0(c由已知得)2,0(cC线段1AF的垂直平分线 l 的方程为),2(2222cxcy直线 l 与 x 轴的交点)0,2(c是CAF1的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222)2()2(ccycx直线BF2的方程为)(2cxy，于是点),(nmH满足方程组)(249)2(222cmncncm由0m，解得222,35cncm，故522mn当32k时，同理可得522mn【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆的方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想，考查运算能力和推理能力。