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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学文(湖北卷,解析版)注意事项:1.答题前,考试务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。4.考试结束,请将本试题和答题卡一并上交。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4
2、,2),则c=A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b【答案】B【解析】由计算可得故选B2.函数的反函数是A. B.C. D.【答案】D【解析】可反解得且可得原函数中yR、y-1所以且xR、x-1选D3.“sin=”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得,故成立的充分不必要条件,故选A.4.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有A.120种 B.96种 C.60种 D.48种【答案】C【解析】
3、5人中选4人则有种,周五一人有种,周六两人则有,周日则有种,故共有=60种,故选C5.已知双曲线(b0)的焦点,则b=A.3 B. C. D. 【答案】C【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=900,ACC1=600,BCC1=450,侧棱CC1的长为1,则该三棱柱的高等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】过顶点A作底面ABC的垂线,由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长.7.函数的图像F按向量a平移到F/,F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时,向量a可以等于A. B. C. D.【
4、答案】D【解析】由平面向量平行规律可知,仅当时,:=为奇函数,故选D.8.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台,若每辆至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元【答案】B【解析】设甲型货车使用x辆,已型货车y辆.则,求Z=400x+300y最小值.可求出最优解为(4,2)故故选B.9.设记不超过的最大整数为,令=-,则,,A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列
5、C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】可分别求得,.则等比数列性质易得三者构成等比数列.10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如: 他们研究过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项,同理可得正方形数构成的数列通项,则由可排除A、D,又由知必为奇数,故选C.二填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。请将答案
6、填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写。11 . 已知(1+ax)3,=1+10x+bx3+a3x3,则b= . 【答案】40【解析】因为 .解得12. 甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5,则三人都达标的概率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 。【答案】0.24 0.76【解析】三人均达标为0.80.60.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.7613. 设集合A=(xlog2x1), B=(X1), 则A= .【答案】【解析】易得A= B= AB=.14. 过原点O作圆x2+y26x8y20=0的两条切线,设切点
7、分别为P、Q,则线段PQ的长为 。【答案】4【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得15. 下图是样本容量为200的频率分布直方图。 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在【6,10】内的频数为 ,数据落在(2,10)内的概率约为 。【答案】64【解析】观察直方图易得频数为,频率为三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分12分) 在锐角ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且()确定角C的大小: ()若c,且ABC的面积为,求ab的值。解(1)由及正弦定理得,是锐角三角形,(2)解法1:由面积公式得由
8、余弦定理得由变形得解法2:前同解法1,联立、得消去b并整理得解得所以故17. (本小题满分12分) 围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:元)。()将y表示为x的函数: ()试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。17.解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m则-45x-180(x-2)+1802a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=22
9、5x+(II).当且仅当225x=时,等号成立.即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.18. (本小题满分12分) 如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SDADa,点E是SD上的点,且DEa(00由a2+a716.得 由得 由得将其代入得。即 (2)令两式相减得于是=-4=20.(本小题满分13分)如图,过抛物线y22PX(P0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向准线L作垂线,垂足分别为M1、N1 ()求证:FM1FN1:()记FMM1、FM1N1、FN N1的面积分别为S1、S2、,S3,试判断S224S1S3是否成立,并证明你
10、的结论。20题。本小题主要考查抛物线的概念,抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力(满分13分)(1) 证法1:由抛物线的定义得 2分如图,设准线l与x的交点为而即故证法2:依题意,焦点为准线l的方程为设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为,则有由 得于是,故()成立,证明如下:证法1:设,则由抛物线的定义得,于是将与代入上式化简可得 ,此式恒成立。故成立。证法2:如图,设直线M的倾角为,则由抛物线的定义得于是在和中,由余弦定理可得由(I)的结论,得即,得证。21.(本小题满分14分) 已知关于x的函数f(x)bx2cxbc,其导函数为f+(x).令g
11、(x)f+(x) ,记函数g(x)在区间-1、1上的最大值为M. ()如果函数f(x)在x1处有极值-,试确定b、c的值: ()若b1,证明对任意的c,都有M2: ()若MK对任意的b、c恒成立,试求k的最大值。21本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识,考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想(满分14分)(I)解:,由在处有极值可得解得或若,则,此时没有极值;若,则当变化时,的变化情况如下表:10+0极小值极大值当时,有极大值,故,即为所求。()证法1:当时,函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2(反证法):因为,所以函数的对称轴位于区间之外,在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设,则将上述两式相加得:,导致矛盾,()解法1:(1)当时,由()可知;(2)当时,函数)的对称轴位于区间内, 此时由有若则,于是若,则于是综上,对任意的、都有而当时,在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。解法2:(1)当时,由()可知; (2)当时,函数的对称轴位于区间内,此时 ,即下同解法1- 12 -