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1、2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合P=x|x2x0，M=0，1，3，4，则集合PM中元素的个数为( )A1B2C3D42下列函数中为偶函数的是( )Ay=By=lg|x|Cy=（x1）2Dy=2x3在ABC中，A=60，|=2，|=1，则的值为( )A1B1CD4数列an的前n项和Sn，若SnSn1=2n1（n2），且S2=3，则a1的值为( )A0B1C3D55已知函数f（x）=cos2xsin2x，下列结论中错误的是( )Af（x）=cos2xBf（x）的最小正周
2、期为Cf（x）的图象关于直线x=0对称Df（x）的值域为6“x=0”是“sinx=x”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=ax（a0，且a1）及logbx（b0，且b1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )Aab1Bba1Cba1Dab18已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2x+1，若函数y=f（x）g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )A（0，+）B（，0）（2，+）C（，）（1，+）D（，0）（0，1）二、填空题共6小题，每小题
3、5分，共30分9函数f（x）=的定义域为_10若角的终边过点（1，2），则cos（+）=_11若等差数列an满足a1=4，a3+a9=a10a8，则an=_12已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点若，则点B的坐标为_13已知函数f（x）=sin（x+）（0）若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则的最小值为_14对于数列an，若m，nN*（mn），均有（t为常数），则称数列an具有性质P（t）（1）若数列an的通项公式为an=n2，具有性质P（t），则t的最大值为_（2）若数列an的通项公式为an=n2，具有性质P（7），则实数a的取值范围
4、是_三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（13分）已知等比数列an的公比q0，且a1=1，4a3=a2a4（）求公比q和a3的值；（）若an的前n项和为Sn，求证216（13分）已知函数f（x）=sin（2x）+cos（2x）（）求f（）的值；（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间17（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，A=，cosADB=（）求BD的长；（）求BCD的面积18（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为3，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在区
5、间上单调递增，求a的取值范围19（14分）已知数列an的各项均不为0，其前n和为Sn，且满足a1=a，2Sn=anan+1（）求a2的值；（）求an的通项公式；（）若a=9，求Sn的最小值20（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如=1，=2，=1对于函数f（x），若存在mR且mZ，使得f（m）=f（），则称函数f（x）是函数（）判断函数f（x）=x2x，g（x）=sinx是否是函数；（只需写出结论）（）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为函数，并给出证明；（）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T若f（x）不是函数，求T的最小值2015-2016学
6、年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合P=x|x2x0，M=0，1，3，4，则集合PM中元素的个数为( )A1B2C3D4【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与M的交集，即可做出判断【解答】解：由P中不等式变形得：x（x1）0，解得：0x1，即P=x|0x1，M=0，1，3，4，PM=0，1，则集合PM中元素的个数为2，故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2下列函数中为偶函数的是( )Ay=By=lg|x|C
7、y=（x1）2Dy=2x【考点】函数奇偶性的判断【专题】证明题；对应思想；函数的性质及应用【分析】根据奇偶函数的定义，可得结论【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D非奇非偶故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础3在ABC中，A=60，|=2，|=1，则的值为( )A1B1CD【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用【分析】运用数量积公式则=|COS60求解即可【解答】解：A=60，|=2，|=1，则=|COS60=21=1故选：A【点评】本题考察了向量的数量积的运算，属于简单计算题，关键记住公式即可4数
8、列an的前n项和Sn，若SnSn1=2n1（n2），且S2=3，则a1的值为( )A0B1C3D5【考点】数列递推式【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】SnSn1=2n1（n2），可得S2S1=221=3，又S2=3，代入解出即可得出【解答】解：SnSn1=2n1（n2），S2S1=221=3，又S2=3，S1=0，则a1=0故选：A【点评】本题考查了递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5已知函数f（x）=cos2xsin2x，下列结论中错误的是( )Af（x）=cos2xBf（x）的最小正周期为Cf（x）的图象关于直线x=0对称Df（x）的值域为【考点】二
9、倍角的余弦【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解【解答】解：由f（x）=cos4xsin4x=（cos2x+sin2x）（cos2xsin2x）=cos2x，故A正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故B正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为，故D错误；故选：D【点评】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题6“
10、x=0”是“sinx=x”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；综合法；简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：x=0时：sinx=sin0=0，是充分条件，而由sinx=x，即函数y=sinx和y=x，在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的草图，由图得交点（0，0）推出x=0，是必要条件，故选：C【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的交点问题，是一道基础题7如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=ax（a0，且a1）及logbx（b0，且b1）的图象与线段OA
11、分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )Aab1Bba1Cba1Dab1【考点】指数函数的图像与性质【专题】函数的性质及应用【分析】先由图象得到0a1，0b1，再根据反函数的定义可以得出y=ax经过点M，则它的反函数y=logax也经过点M，根据对数函数的图象即可得到ab【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0a1，0b1，因为点O为坐标原点，点A（1，1），所以直线OA为y=x，因为y=ax经过点M，则它的反函数y=logax也经过点M，又因为logbx（b0，且b1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，ab，ab1故选：A【点评】本题考查了对数
12、函数和指数函数的图象及性质，以及反函数的概念和性质，属于基础题8已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2x+1，若函数y=f（x）g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )A（0，+）B（，0）（2，+）C（，）（1，+）D（，0）（0，1）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】化函数y=f（x）g（x）恰好有2个不同零点为函数f（x）+x1与函数y=ax2的图象有两个不同的交点，从而解得【解答】解：f（x）（ax2x+1）=0，f（x）+x1=ax2，而f（x）+x1=，作函数y=f（x）+x1与函数y=ax2的图象如下，结合选项可知，实
13、数a的取值范围是（，0）（0，1），故选：D【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9函数f（x）=的定义域为【点评】本题考查了利用函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目10若角的终边过点（1，2），则cos（+）=【考点】任意角的三角函数的定义【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，求得cos（+）的值【解答】解：角的终边过点（1，2），则cos（+）=sin=，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题11若等差数列an满足a1
14、=4，a3+a9=a10a8，则an=n5【考点】等差数列的通项公式【专题】函数思想；待定系数法；等差数列与等比数列【分析】由题意可得公差d的方程，解方程可得通项公式【解答】解：设等差数列an公差为d，a3+a9=a10a8，4+2d4+8d=4+9d（4+7d），解得d=1an=4+n1=n5故答案为：n5【点评】本题考查等差数列的通项公式，求出公差是解决问题的关键，属基础题12已知向量=（1，0），点A（4，4），点B为直线y=2x上一个动点若，则点B的坐标为（2，4）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用【分析】利用向量共线定理的坐标运算性质即可得
15、出【解答】解：设B（x，2x），=（x4，2x4），0（2x4）=0，解得x=2，B（2，4），故答案为：（2，4）【点评】本题考查了向量共线定理的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13已知函数f（x）=sin（x+）（0）若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象重合，则的最小值为6【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】应用题；规律型；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得的最小值【解答】解：函数f（x）=sin（
16、x+）（0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin=sin（x+），=+2k即=6k，kz，0，的最小值为：6故答案为：6【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题14对于数列an，若m，nN*（mn），均有（t为常数），则称数列an具有性质P（t）（1）若数列an的通项公式为an=n2，具有性质P（t），则t的最大值为3（2）若数列an的通项公式为an=n2，具有性质P（7），则实数a的取值范围是a8【考点】数列递推式；全称命题【专题】函数思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）若数列an的通项公式为an=n2，具有性质
17、P（t），则t的最大值为 （2）根据定义7恒成立，利用参数分离法进行求解即可【解答】解：（1）若数列an的通项公式为an=n2，具有性质P（t），则=m+n，由得m+nt，m，nN*（mn），当m+n=1+2时，t3，则t的最大值为3（2）若数列an的通项公式为an=n2，具有性质P（7），则7恒成立，即=m+n+7，即当m=1，n=2时，=m+n+=1+2+7，即4则a8故答案为：3，a8【点评】本题主要考查递推数列的应用，以及不等式恒成立问题，考查学生的运算和推理能力三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（13分）已知等比数列an的公比q0，且a1=1，4a
18、3=a2a4（）求公比q和a3的值；（）若an的前n项和为Sn，求证2【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式【专题】综合题；方程思想；作差法；等差数列与等比数列【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出（II）作差2化简即可得出【解答】（I）解：等比数列an的公比q0，且a1=1，4a3=a2a44q2=q4，解得q=2a3=4（II）证明：an=2n1，Sn=2n1，2=2=220，2【点评】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（13分）已知函数f（x）=sin（2x）+cos（2x）（）求f（）的值；（）求函数
19、f（x）的最小正周期和单调递增区间【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；三角函数的图像与性质【分析】（）利用已知表达式，直接求解f（）的值；（）化简函数的表达式，利用函数f（x）的周期公式求解，通过正弦函数的单调递增区间求解即可【解答】解：（）因为f（x）=sin（2x）+cos（2x）所以f（）=sin（2）+cos（2）=（）因为f（x）=sin（2x）+cos（2x）所以f（x）=2（sin（2x）+cos（2x）=2sin（2x+）=2sin2x所以周期T=令，解得，kZ所以f（x）的单调递增区间为，kZ（13分）【点评】本题考查
20、三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，三角函数的正确的求法，得到求解的求法，考查计算能力17（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，A=，cosADB=（）求BD的长；（）求BCD的面积【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形【分析】（）由已知可求sinADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值（）根据已知及余弦定理可求cosC=，结合范围C（0，）可求C，利用三角形面积公式即可得解【解答】解：（）在ABD中，因为cosADB=，ADB（0，），所以sinADB=根据正弦定理，有，代入AB=8，A=解得BD=7（）在BCD中，根据余弦
21、定理cosC=代入BC=3，CD=5，得cosC=，C（0，）所以，所以=（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题18（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（）若曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为3，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在区间上单调递增，求a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】分类讨论；转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a=3，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0
22、，可得减区间；（）由题意可得f（x）0对x成立，只要f（x）=x2+2x+a在上的最小值大于等于0即可求出二次函数的对称轴，讨论区间和对称轴的关系，求得最小值，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为3，所以f（0）=a=3，所以f（x）=x2+2x3当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，3）3（3，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）增极大值减极小值减所以函数f（x）的单调递增区间为（，3），（1，+），单调递减区间为（3，1）；（）因为函数f（
23、x）在区间上单调递增，所以f（x）0对x成立，只要f（x）=x2+2x+a在上的最小值大于等于0即可因为函数f（x）=x2+2x+a0的对称轴为x=1，当2a1时，f（x）在上的最小值为f（a），解f（a）=a2+3a0，得a0或a3，所以此种情形不成立；当a1时，f（x）在上的最小值为f（1），解f（1）=12+a0得a1，所以a1，综上，实数a的取值范围是a1【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题19（14分）已知数列an的各项均不为0，其前n和为Sn，且满足a1=a，2Sn=anan
24、+1（）求a2的值；（）求an的通项公式；（）若a=9，求Sn的最小值【考点】数列递推式【专题】计算题；分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（）由2Sn=anan+1，可得2a1=a1a2，又a1=a0，即可得出a2（）由2Sn=anan+1，可得an+1an1=2，于是数列a2k1，a2k都是公差为2的等差数列，即可得出（）当a=9时，an=，利用2Sn=anan+1，可得Sn，再利用二次函数的单调性即可得出【解答】解：（）2Sn=anan+1，2S1=a1a2，即2a1=a1a2，a1=a0，a2=2（）2Sn=anan+1，当n2时，2Sn1=an1an，两式相减得到：2an
25、=an（an+1an1），an0，an+1an1=2，数列a2k1，a2k都是公差为2的等差数列，当n=2k1时，an=a1+2（k1）=a+2k2=a+n1，当n=2k时，an=2+2（k1）=2k=n，an=（）当a=9时，an=，2Sn=anan+1，Sn=，当n为奇数时，Sn的最小值为S5=15；当n为偶数时，Sn的最小值为S4=10，所以当n=5时，Sn取得最小值为15【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如=1，=2，=1对于函数f（x），若存在mR且mZ，使得
26、f（m）=f（），则称函数f（x）是函数（）判断函数f（x）=x2x，g（x）=sinx是否是函数；（只需写出结论）（）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为函数，并给出证明；（）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T若f（x）不是函数，求T的最小值【考点】函数的周期性；抽象函数及其应用【专题】新定义；转化思想；归纳法；函数的性质及应用【分析】（）根据函数的定义直接判断函数f（x）=x2x，g（x）=sinx是否是函数；（）根据函数的定义，分别求k=1，a=，进行证明即可；（）根据周期函数的定义，结合函数的条件，进行判断和证明即可【解答】解：（）f（x）=x2x是函
27、数，g（x）=sinx不是函数；（）法一：取k=1，a=（1，2），则令=1，m=，此时f（）=f（）=f（1）所以f（x）是函数法二：取k=1，a=（0，1），则令=1，m=，此时f（）=f（）=f（1），所以f（x）是函数（说明：这里实际上有两种方案：方案一：设kN，取a（k2，k2+k），令=k，m=，则一定有m=k=（0，1），且f（m）=f（），所以f（x）是函数）方案二：设kN，取a（k2k，k2），令=k，m=，则一定有m=（k）=（0，1），且f（x）=f（），所以f（x）是函数）（）T的最小值为1因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）假设T1，则=0，所以f（）=f（0），矛盾（13分）所以必有T1，而函数l（x）=x的周期为1，且显然不是函数，综上，T的最小值为1（14分）【点评】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度- 19 -