《2010届数学高考总复习全套教案. 第17讲 算法案例doc--高中数学 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010届数学高考总复习全套教案. 第17讲 算法案例doc--高中数学 .doc（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新高三新数学数学第一轮复习教案（讲座第一轮复习教案（讲座 17）算法案例算法案例一课标要求：一课标要求：通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。二命题走向二命题走向算法是高中数学新课程中的新增内容，本讲的重点是几种重要的算法案例思想，复习时重算法的思想轻算法和程序的构造。预测 2007 年高考队本讲的考察是：以选择题或填空题的形式出现，分值在 5 分左右，考察的热点是算法实例和传统数学知识的结合题目。三要点精讲三要点精讲1求最大公约数（1）短除法求两个正整数
2、的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数。（3）辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下：输入两个正整数 m 和 n；求余数 r：计算 m 除以 n，将所得余数存放到变量 r 中；更新被除数和余数：m=n，n=r；判断余数 r 是否为 0。若余数为 0，则输出结果；否则转向第步继续循环执行。如此循环，直到得到结果为止。（4）更相减损术我国早期也有解决
3、求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。步骤：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。2秦九韶算法秦九韶算法的一般规则：秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+
4、a0当 x=x0时的函数值，可把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题，即求http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网v0=anv1=anx+an1v2=v1x+an2v3=v2x+an3.vn=vn1x+a0观察秦九韶算法的数学模型，计算 vk时要用到 vk1的值，若令 v0=an。我们可以得到下面的递推公式：v0=anvk=vk1+ank(k=1,2,n)这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。3.排序排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序（1）直接插入排序在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：把
5、新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。例如：一组从小到大排好顺序的数据列1，3，5，7，9，11，13，通常称之为有序列，我们用序号 1，2，3，表示数据的位置，欲把一个新的数据 8 插入到上述序列中。完成这个工作要考虑两个问题：（1）确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。（2）将这个位置空出来，将数据“8”插进去。对于一列无序的数据列，例如：49，38，65，97，76，13，27，49，如何使用这种方法进行排序呢？基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列
6、就有序了。首先，49是有序列，我们将 38 插入到有序列49中，得到两个数据的有序列：38，49，然后，将第三个数据 65 插入到上述序列中，得到有序列：38，49，65按照这种方法，直到将最后一个数据 65 插入到上述有序列中，得到13，27，38，49，49，65，76，97这样，就完成了整个数据列的排序工作。注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台。（2）冒泡法排序所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。显然最终会沉到水底，最轻的会
7、浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。以上过程反映了这种排序方法的基本思路。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网我们先对一组数据进行分析。设待排序的数据为：49，38，65，97，76，13，27，49排序的具体操作步骤如下：1将第 1 个数与右边相邻的数 38 进行比较，因为 3849，所以顺序不变，得到新的数据列：38，49，65，97，76，13，27，493将新数据列中的第 3 个数 65 与右边相邻的数 97 进行比较，因为 9765，所以顺序不变，得到新的数据列：38，49，65，97，76，13，27，494将新数据列中的第 4 个数 97 与右边
8、相邻的数 76 进行比较，因为 7697，97 应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：38，49，65，76，97，13，27，495将新数据列中的第 5 个数 97 与右边相邻的数 13 进行比较，因为 1397，97 应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：38，49，65，76，13，97，27，496将新数据列中的第 6 个数 97 与右边相邻的数 27 进行比较，因为 2797，97 应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：38，49，65，76，13，97，27，497将新数据列中的第 7 个数 97 与右边相邻的数 49 进行比较，因为 4997，97 应下沉，所以顺序改变，得到新的
9、数据列：38，49，65，76，13，97，49，27我们把上述过程称为一趟排序。其基本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过 7 趟。这种排序的方法称为冒泡排序。上面的分析具有一般性，如果数据列有 n 个数据组成，至多经过 n1 趟排序，就能完成整个排序过程。4进位制（1）概念进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即可称 n 进位制，简称 n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用 10 个阿拉伯数字 09 进行记数。对于任何一个数，我们可以用不
10、同的进位制来表示。比如：十进数 57，可以用二进制表示为 111001，也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，若 k 是一个大于一的整数，那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为：110()110.(0,0,.,)nnknna aa aakaa ak，而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2）进位制间的转换关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做
11、的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可：0111011.)(.akakakakaaaannnnnn第一步：从左到右依次取出 k 进制数)(.011kaaaann各位上的数字，乘以相应的 k 的幂，k的 幂 从n开 始 取 值，每 次 递 减1，递 减 到0，即00111,.,kakakakannnn；第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是
12、相应的十进制数。十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除 2 取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成 k 进制数的算法“除 k 取余法”。非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与 16 进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为16 进制数。四典例解析四典例解析题型 1：求最大公约数例 1（1）用辗转相除法求 123 和 48 的最大公约数？（2）用更相减损来求 80 和 36 的最大公约数？解析：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：（建立带余除式）123248274812721
13、27121621363623+0最后 6 能被 3 整除，得 123 和 48 的最大公约数为 3。（2）分析：我们将 80 作为大数，36 作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行结束的准则是减数和差相等。更相减损术：因为 80 和 36 都是偶数，要去公因数 2。802=40，362=18；40 和 18 都是偶数，要去公因数 2。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网402=20，182=9下面来求 20 与 9 的最大公约数，209=11119=292=772=552=332=121=1可得 80 和 36 的最大公约数为 221=4。点评：对比两种
14、方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为 0，更相减损术是到达减数和差相等。例 2设计一个算法，求出 840 与 1764 的最大公因数。解析：我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的。解题思路如下：首先对两个数进行素因数分解：840=23357，1764=223272，其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。接着确定公共素因数的指数：对于公共素因数 2，840 中为 23，1764 中为 22，应取较少的一个 22，同理可得下面的因数为 3 和 7。算法步骤：第一步：将 840 进行素数分解 23357；第二步：将 1764 进行素数分解 223272
15、；第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7；第四步：确定公共素因数 2，3，7 的指数分别是：2，1，1；第五步：最大公因数为 223171=84。点评：质数是除以外只能被和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数。题型 2：秦九韶算法例 3（2005 北京，14）已知 n 次多项式1011()nnnnnP xa xa xaxa，如果在一种算法中，计算0kx（k2，3，4，n）的值需要 k1 次乘法，计算30()P x的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次加法），那么计算100()Px的值共需要次运算。下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k
16、kkP xa PxxP xa（k0，1，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2，n1）利用该算法，计算30()P x的值共需要 6 次运算，计算100()Px的值共需要次运算。答案：65；20。点评：秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn，加法最多 n 次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多 n 次，加法最多 n 次。例 4已知多项式函数 f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，求当 x=5 时的函数的值。解析：把多项式变形为：f(x)=2x55x44x
17、3+3x26x+7=(2x5)x4)x+3)x6)x+7计算的过程可以列表表示为：多项式 x 系数254367运算运算所得的值10251055402670+变形后 x 的系数25211085342677*5最后的系数 2677 即为所求的值。算法过程：v0=2v1=255=5v2=554=21v3=215+3=108v4=10856=534v5=5345+7=2677点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为 0 的项补齐后再计算。题型三：排序例 4试用两种排序方法将以下 8 个数：7,1,3,12,8,4,9,10。按照从大到小的顺序进行排序。解析：可以按照直接插入排序和冒泡排序这两种方法
18、的要求，结合图形，分析写出。直接插入法排序：7131284910713128491073112849101273184910http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网1287314910128743191012987431101210987431冒泡排序7777777711333333331121212121212121218888888814444444419999999911010101010101010第一趟771212121231288910128791098491088491077791044441033333111111第 2 趟第 3 趟第 4 趟第 5 趟
19、第 6 趟点评：直接插入法和冒泡法排序是常见的排序方法，通过该例，我们对比可以发现，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，执行的操作步骤更少一些。例 6给出以下四个数：6，3，0，15，用直接插入法排序将它们按从小到大的顺序排列，用冒泡法将它们按从大到小的顺序排列。分析：不论从大到小的顺序还是按从大到小的顺序，都可按两种方法的步骤进行排序。解析：直接插入排序法：63015360153061530615用冒泡排序法排序：6666666151515330001515666003151500000http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网1515153333333题型 4：进位值例
20、 7把十进制数 89 化为三进制数，并写出程序语句.解析：具体的计算方法如下：89=329+229=39+29=33+03=31+01=30+1所以:89（10）=1011001(3)。点评：根据三进制数满三进一的原则，可以用 3 连续去除 89 及其所的得的商，然后按倒序的先后顺序取出余数组成数据即可。例 8将 8 进制数 314706（8）化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序。解析：314706（8）=385+184+483+782+081+680=104902。所以，化为十进制数是 104902。点评：利用把 k 进制数转化为十进制数的一般方法就可以把 8 进制数 314706（8）
21、化为十进制数，然后根据该算法，利用 GET 函数，应用循环结构可以设计程序。五思维总结五思维总结1求最大公约数（1）辗转相除法程序框图与程序语句程序框图与程序语句程序：INPUT“m，n=”;m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINTEND开始输入：m,nr=m MOD nm=nn=rr=0?输出：开始YNhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2）更相减损术更相减损术程序：更相减损术程序：INPUT“请输入两个不相等的正整数”；a，bi=0WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0a=a/2b=b/2i=i+1WE
22、NDDOIF ba THENt=aa=bb=tEND IFc=aba=bb=cLOOP UNTIL a=bPRINT aiEND对于两个正整数如何选择合适的方法求他们的最大公约数方法方法适用范围及特点适用范围及特点短除法适合两个较小的正整数或两个质因数较少的正整数，简便易操作。穷举法适合计算机操作，但一一验证过于繁琐。辗转相除法适用于两个较大的正整数，以除法为主，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小差别较大时计算次数较明显。更相减损术适用于两个较大的正整数，更相减损术以减法为主，计算次数上相对于辗转相处法较多。2我们以这个 5 次多项式函数为例加以说明，设：f（x）=a5x5+a4x
23、4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以 5 次多项式一步步地进行改写：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（a5x3+a4x2+a3x+a2）x+a1）x+a0=（a5x2+a4x+a3）x+a2）x+a1）x+a0=（a5x+a4）x+a3）x+a2）x+a1）x+a0上面的分层计算。只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网3排序（1）直接插入排序插入排序的思想思想就是读一个，排一个。将数组的第个数据放入数组的第个位置，以后
24、读入的数据与已存入数组的数据进行比较，确定它按从大到小（从小到大）的排列中排在正确的位置。将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填到空出的位置即可。（2）冒泡排序以从大到小为例：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面。即首先比较第 1 个数和第 2 个数,大数放前,小数放后；然后比较完成第 2 个数和第 3 个数；.；直到比较完了最后两个数。第一趟排序结束,最小的一定沉到最后。重复上过程,仍从第 1个数开始,到最后第 2 个数.由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序。4进位值我们常见的数字都是十进制数,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。比如时间和角度的单位是六十进制,电子计算机的指令用的是二进制，早先的计算机的用的是十六进制的。开始输入 a1,a2,a3,a4,a5,x0n=1,v=v5n6?v=vx0+a5nn=n+1输出 v结束