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1、2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共60题，每题5分每题仅有一个正确选项）1下列说法中正确的是( )A棱柱的面中，至少有两个面互相平行B棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A120B150C180D2403一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A21+B18+C21D184如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的
2、面积是( )A2+BCD1+5已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面、，下列命题中正确命题个数为( )若mn，n，则m；若l，m且lm则若ln，mn，则lm若，=m，n，nm，则nA1B2C3D46设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则SQD在四面体的面BCD上的射影可能是( )ABCD7设a，b，c分别是ABC中，A，B，C所对边的边长，则直线sinAx+ay+c=0与bxsinBy+sinC=0的位置关系是( )A平行B重合C垂直D相交但不垂直8直线x+（a2+1）y+1=0（aR）的倾斜角的取值范围是( )AB（，）D15三棱锥PAB
3、C中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则=_16光线由点A（1，4）射出，遇到直线l：2x3y6=0后被反射，已知点在反射光线上，则反射光线所在的直线方程为_三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H（）求四面体ABCD的体积；（）证明：四边形EFGH是矩形18已知直线l：kxy+1+2k=0（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程19已知
4、点P到两定点M（1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程20如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA平面ABCD，点F是PD的中点，点E在CD上移动（1）求三棱锥EPAB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；（3）求证：PEAF21（13分）如图1，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，AD=2AE=2AB=4FC=4将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE（）求证：BC平面DAE；（）求四棱锥DAEFB的体积22（13分）如图，ABCD是边长为2的
5、正方形，ED平面ABCD，ED=1，EFBD（1）设EF=BD，是否存在实数，使BF平面ACE；（2）求证：平面EAC平面BDEF（3）当EF=BD时，求几何体ABCDEF的体积2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共60题，每题5分每题仅有一个正确选项）1下列说法中正确的是( )A棱柱的面中，至少有两个面互相平行B棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【考点】棱柱的结构特征【专题】综合题【分析】通过棱柱的定义以及棱柱的基本性质，判断四个选项的正误，A满足定义，B
6、、C、D可以找出反例【解答】解：棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱；可以判断A正确；B不正确，例如正六棱柱的相对侧面；C不正确，只有直棱柱满足C的条件；D不正确，例如长方体故选A【点评】本题是基础题，考查棱柱的定义，棱柱的基本性质，考查基本知识掌握的情况2已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A120B150C180D240【考点】扇形面积公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】计算题【分析】圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，求出侧面展开图扇形的弧长，可求其圆心角【解答】
7、解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：，即180故选C【点评】本题考查圆锥的侧面展开图，及其面积等知识，考查空间想象能力，是基础题3一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A21+B18+C21D18【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体2S棱锥侧
8、+2S棱锥底=21+故选：A【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状4如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A2+BCD1+【考点】斜二测法画直观图【专题】计算题；作图题【分析】原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，利用梯形面积公式求解即可也可利用原图和直观图的面积关系求解【解答】解：恢复后的原图形为一直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+，S=（1+1）2=2+故选A【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，属基础知识的考查5已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面
9、、，下列命题中正确命题个数为( )若mn，n，则m；若l，m且lm则若ln，mn，则lm若，=m，n，nm，则nA1B2C3D4【考点】平面与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】利用线面平行的判定定理即可得出；利用面面垂直的判定定理即可判断出；利用线线的位置关系即可得出；利用面面垂直的性质定理即可得出【解答】解：若mn，n，则m或m，因此不正确；若l，m且lm，利用面面垂直的判定定理可得：，正确；若ln，mn，则lm、相交或为异面直线，因此不正确；若，=m，n，nm，利用面面垂直的性质定理即可得出：n，因此正确综上
10、可知：只有正确故选：B【点评】本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，熟练掌握判定定理及其性质定理是解决问题的关键，属于基础题6设四面体ABCD各棱长均相等，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则SQD在四面体的面BCD上的射影可能是( )ABCD【考点】平行投影及平行投影作图法【专题】探究型；空间位置关系与距离【分析】确定S在面BDC上的射影在平面ADC内部，即可判断正确选项【解答】解：因为Q为BC上异于中点和端点的任一点，所以S在面BDC上的射影在平面ADC内部，Q在BC上，D为顶点，所以SDQ在面BDC上的射影为图C，故选：C【点评】本题考查平行投影以及平行投影的作
11、图方法，考查空间想象能力7设a，b，c分别是ABC中，A，B，C所对边的边长，则直线sinAx+ay+c=0与bxsinBy+sinC=0的位置关系是( )A平行B重合C垂直D相交但不垂直【考点】正弦定理的应用；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】计算题【分析】要寻求直线sinAx+ay+c=0与bxsinBy+sinC=0的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可【解答】解：由题意可得直线sinAx+ay+c=0的斜率，bxsinBy+sinC=0的斜率k1k2=1则直线sinAx+ay+c=0与bxsinBy+sinC=0垂直
12、故选C【点评】本题主要考察了两直线的位置关系中的垂直关系的判断，主要是通过直线的斜率关系进行判断，解题中要注意正弦定理的应用8直线x+（a2+1）y+1=0（aR）的倾斜角的取值范围是( )AB（，）D故E是BC的中点，所以PA与底面ABC所成角为PAE，等边三角形PBC中，PE=，直角三角形ABC中，AE=BC=，又PA=1，三角形PAE中，tanPAE=PAE=，则PA与底面ABC所成角为【点评】本题考查直线与平面成的角的求法15三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则=【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离；
13、立体几何【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比【解答】解：如图，三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，=故答案为：【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题16光线由点A（1，4）射出，遇到直线l：2x3y6=0后被反射，已知点在反射光线上，则反射光线所在的直线方程为13x26y+85=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆【分析】求出点（1，4）关于直线l1：2x+3y6=0的对称点
14、的坐标，利用两点式方程求出入射光线所在的直线方程【解答】解：设点（1，4）关于直线l1：2x3y6=0的对称点的坐标为（a，b），则 ，解得：a=，b=，又由反射光线经过点B（3，），故反射光线的方程为：=，即：13x26y+85=0，故答案为：13x26y+85=0【点评】对称点的坐标的求法：利用垂直平分解答，本题是通过特殊直线特殊点处理，比较简洁，考查计算能力三、解答题（共70分，每题需有必要的解答过程）17四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H（）求四面体ABCD的体积；（）证明：四边形EFGH是矩形【考点】直线
15、与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】（）证明AD平面BDC，即可求四面体ABCD的体积；（）证明四边形EFGH是平行四边形，EFHG，即可证明四边形EFGH是矩形【解答】（）解：由题意，BDDC，BDAD，ADDC，BD=DC=2，AD=1，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V=；（）证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDC=FG，平面EFGH平面ABC=EH，BCFG，BCEH，FGEH同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形【点评】本题考查线面垂直，考查线面平
16、行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18已知直线l：kxy+1+2k=0（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程【考点】过两条直线交点的直线系方程【专题】计算题；证明题【分析】（1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程【解答】解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1y）=0，无论k取何值，直线过定点（2，1）（2
17、）令y=0得A点坐标为（2，0），令x=0得B点坐标为（0，2k+1）（k0），SAOB=|2|2k+1|=（2+）（2k+1）=（4k+4）（4+4）=4当且仅当4k=，即k=时取等号即AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为xy+1+1=0即x2y+4=0【点评】本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求式子的最小值19已知点P到两定点M（1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程【考点】直线的一般式方程【专题】计算题；压轴题【分析】设P的坐标为（x，y），由题意点P到两定点M（1，0）、N（1，0）距离的比为，可得，结合两点间的距离，化简整
18、理得x2+y26x+1=0，又由点N到PM的距离为1，即|MN|=2，可得直线PM的斜率，进而可得直线PM的方程，并将方程代入x2+y26x+1=0整理得x24x+1=0，解可得x的值，进而得P的坐标，由直线的方程代入点的坐标可得答案【解答】解：设P的坐标为（x，y），由题意有，即，整理得x2+y26x+1=0，因为点N到PM的距离为1，|MN|=2所以PMN=30，直线PM的斜率为直线PM的方程为将代入x2+y26x+1=0整理得x24x+1=0解得，则点P坐标为或或直线PN的方程为y=x1或y=x+1【点评】本题考查直线的方程，注意结合题意，选择直线方程的合适的形式，进行整理变形、求解20
19、如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PA平面ABCD，点F是PD的中点，点E在CD上移动（1）求三棱锥EPAB体积；（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；（3）求证：PEAF【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【专题】计算题；证明题【分析】（1）求出底面ABE的面积，求出高PA，即可求三棱锥EPAB体积；（2）点E为CD的中点，推出EF|PC，证明EF平面PAC即可；（3）证明AF垂直平面PDC内的两条相交直线CD，PD，即可证明AF平面PDC，从而证明PEAF【解答】解：（1）PA平面ABCD，（2）当点E为BC的中点时，EF|平面PA
20、C理由如下：点E，F分别为CD、PD的中点，EF|PCPC平面PAC，EF平面PACEF|平面PAC（3）PA平面ABCD，CD平面ABCDCDPAABCD是矩形，CDADPAAD=A，CD平面PADAF平面PADAFDCPA=AD，点F是PD的中点AFPD，又CDPD=DAF平面PDCPE平面PDC，PEAF【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题21（13分）如图1，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，AD=2AE=2AB=4FC=4将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使
21、AD=AE（）求证：BC平面DAE；（）求四棱锥DAEFB的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；证明题【分析】（）先根据面面平行的判定定理，证得面CBF面DAE，又BC面CBF，根据面面平行的性质可知BC平面DAE；（）取AE的中点H，连接DH，根据线面垂直的判定定理可得EF平面DAE，根据线面垂直的性质可知EFDH，再根据，则DH面AEFB，根据体积公式即可求出四棱锥DAEFB的体积【解答】解：（）CFDE，FBAE，BFCF=F，AEDE=E面CBF面DAE，又BC面CBF，所以BC平面DAE（）取AE的中点H，连接DH，EFED，EFEAEF平面DAE
22、又DH平面DAEEFDH，DH面AEFB，所以四棱锥DAEFB的体积【点评】本题主要考查棱锥的体积公式和线面平行的判定定理的应用考查对定理的掌握情况和对基础知识的综合运用22（13分）如图，ABCD是边长为2的正方形，ED平面ABCD，ED=1，EFBD（1）设EF=BD，是否存在实数，使BF平面ACE；（2）求证：平面EAC平面BDEF（3）当EF=BD时，求几何体ABCDEF的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【专题】综合题；转化思想；综合法【分析】（1）存在证明四边形EFBO是平行四边形，可得BFEO，使BF平面ACE；（2）利用面面垂直的判定定理证明平面EAC平面
23、BDEF；（3）几何体的体积VABCDEF=2VABDEF=2SBDEFAO【解答】（1）解：存在证明：记AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，EFBD，当时，即EF=BD，EFBO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，BFEO，又EO面ACE，BF面ACE，BF平面ACE； 4（2）证明：ED平面ABCD，AC平面ABCD，EDACABCD为正方形，BDAC，又EDBD=D，AC平面BDEF，又AC平面EAC，平面EAC平面BDEF；8（3）解：ED平面ABCD，EDBD，又EFBD且EF=BD，BDEF是直角梯形，又ABCD是边长为2的正方形，BD=2，EF=，梯形BDEF的面积为=，由（1）知AC平面BDEF，几何体的体积VABCDEF=2VABDEF=2SBDEFAO=2=213【点评】本题主要考查空间直线与平面，面面垂直的判定以及空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理- 18 -