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1、两角差的余弦公式教案一、教学目标1、知识目标通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。2、能力目标通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感目标使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。二、教学重点、难点重点：通过探索得到两角差的余弦公式。难点：探索过程的组织和适当引导。三、教学过程yOxAB(一
2、) 问题引入（1） 任意角的三角函数的定义？（2） 若角与的终边与单位圆的交点分别是A，B，则(二) 公式探究第一步，明确探究途径与目的提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。如右图，在单位圆中作出角，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，先假设，且，提出以下问题：（3） 此时的取值范围是多少？（4） 图中哪个角可以表示？（5） 可以看作是哪两个向量的夹角？（问题设计目的：在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位。首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一
3、开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣。）第二步，复习相关知识（1）向量的数量积运算（强调向量夹角的范围）（2）三角函数线（结合图形，特别要强调方向问题）第三步，推导公式在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标。证明：在平面直角坐标系XOY内作单位圆O，以OX为 始边作角，其中，且，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则 由向量数量积的坐标表示，有： 由，且知，那么向量的夹角就是，由数量积的定义，有于是 （1） 由于我们前面的推导均是在，且的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。事实上，只要，所表示的就是向量的夹角。（这一点可以结合图形作出说明。） 但是，若，（1）
4、式是否依然成立呢？当时，设与的夹角为，则另一方面，于是所以也有 综上所述，得出公式：对任意的，（说明：公式的推导遵循由浅入深，由特殊到一般，逐层深入的规律，这样安排，能让更多学生参与到探究当中。教材当中对公式给出了两种证明方法，一是几何方法，一是向量方法。几何方法的推导过程较为繁难，教材仅仅对特殊情况作了分析，而向量方法则显得更加直观和简洁。为了让学生体验向量工具的优点，可以布置学生在预习时按照教材的思路采取几何方法进行证明。）第四步，公式的记忆让学生自己总结公式的特点，便于记忆。注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3.式子中
5、、是任意的。(三) 例题讲解例1 利用差角余弦公式求。解：方法一：方法二：（设计意图：此题是对公式的直接应用，体现了角的拆分的思想。拆分的多样性，体现了变换的多样性。求解的过程可以完全由学生独立完成。）思考：如何求？（设计意图：由的值求的值，为后面变换函数种类的思考作出铺垫。）课后练习1例2 解题思路： 解：由，得又由是第三象限角，得所以 =（设计意图：此题是应用、理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识。解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性。）思考：如果去掉条件中的，对题目和结果有没有影响
6、？（设计意图：让学生学习分类讨论的思想，提高表达能力。）课后练习3例3已知都是锐角，求 的值。（设计意图：此题是对公式的活用，由学生讨论解决。此题一般有两种方法可以求解。一种方法是把分解，此公式还没推导，但部分学生可能会把看作，然后用两角差的余弦公式分解，再结合同角三角函数的基本关系求解。这种方法虽然较繁，但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式。另一种方法是把看做两角差，即，这种方法显然计算要简单得多。通过不同方法的讲解，鼓励学生从不同的角度思考问题，并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题。）（四） 当堂检测1. 的值为 （ C ）A. B. C. D. 2. 的值为 （ B ）A. B. C. D .3.已知，则的值等于（ B ）A. B. C. D. 4.化简= 5.若，则=（五）小结1.两角差的余弦公式的推导（注意向量法的应用）。2.两角差的余弦公式及其特点：3.利用两角差的余弦公式解决简单的求值和证明问题。4.三角函数解题的基本要求: 思维的有序性和表述的条理性。（六）作业课后练习2、45