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1、2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一(上)入学数学试卷一、选择题1下列叙述正确的是( )A若|a|=|b|,则a=bB若|a|b|,则abC若ab,则|a|b|D若|a|=|b|,则a=b2已知关于x的方程x2+kx2=0的一个根是1,则它的另一个根是( )A3B3C2D23如图,BD、CE是ABC的中线,P、Q分别是BD、CE的中点,则PQ:BC等于( )A1:3B1:4C1:5D1:64函数y=x2+x1图象与x轴的交点个数是( )A0个B1个C2个D无法确定5如果关于x的方程x22(1m)x+m2=0有两实数根,则+的取值范围为( )A+B+C+1D+16不论a,b为何实数,a
2、2+b22a4b+8的值( )A总是正数B总是负数C可以是零D可以是正数也可以是负数7方程x2+3x1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标,则方程x2+3x1=0的实根x0所在的范围是( )A0x0Bx0Cx0Dx018下列四个说法:其中正确说法的个数是( )个方程x2+2x7=0的两根之和为2,两根之积为7;方程x22x+7=0的两根之和为2,两根之积为7;方程3x27=0的两根之和为0,两根之积为;方程3x2+2x=0的两根之和为2,两根之积为0A1B2C3D49如图,已知ABC周长为1,连接ABC三边的中点构成第二个三角形,再连接第二个对角线三边中点构成第三个三
3、角形,依此类推,第2003个三角形周长为( )ABCD10等式成立的条件是( )Ax2Bx0Cx2D0x2二、填空题11方程2x2+2x1=0的两根为x1和x2,则|x1x2|=_12已知四边形ABCD是O的内接梯形,ABCD,AB=8cm,CD=6cm,O的半径等于5cm,则梯形ABCD的面积为_13分解因式:x2xy+3y3x=_14如图,AB是半圆O的直径,且AB=8,点C为半圆上的一点将此半圆沿BC所在的直线折叠,若圆弧BC恰好过圆心O,则图中阴影部分的面积是_(结果保留)15已知一元二次方程x2(2m1)x+m2m=0的两根均大于0且小于2,则m的取值范围为_16已知x=,y=,则3
4、x25xy+3y2的值是_三、解答题17若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x3=0的两个根,求:(1)|x1x2|的值;(2)+和+的值;(3)x12+x22和x13+x23的值18二次函数y=x2mx1与x轴两交点分别为A(x1,0),B(x2,0),且x1x23,求m的取值范围19如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O做BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,求OD20已知:如图,直线y=x+与x轴、y轴分别交于A、B两点,两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动(运动到O点停止,如图);对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a(x
5、k)2+h(a0)始终经过点E,过E作EGOA交抛物线于点G,交AB于点F,连结DE、DF、AG、BG,设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,运动时间为t秒(1)用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长;(2)当t为何值时,四边形ADEF是菱形?(3)当ADF是直角三角形,且抛物线的顶点M恰好在BG上时,求抛物线的解析式2015-2016学年广东省汕头市金山中学高一(上)入学数学试卷一、选择题1下列叙述正确的是( )A若|a|=|b|,则a=bB若|a|b|,则abC若ab,则|a|b|D若|a|=|b|,则a=b【考点】分析法和综合法 【专题】计算题;方案型;推理和证明【
6、分析】直接利用绝对值的几何意义判断即可【解答】解:若|a|=|b|,则a=b,显然a、b异号不成立;若|a|b|,则ab,利用a=3,b=1,满足条件,不满足结果,B不正确;若a=0b=5,则|a|b|不成立,C不正确;若|a|=|b|,则a=b,成立故选:D【点评】本题考查绝对值的几何意义,是基础题2已知关于x的方程x2+kx2=0的一个根是1,则它的另一个根是( )A3B3C2D2【考点】函数的零点与方程根的关系 【专题】函数的性质及应用【分析】设方程x2+kx2=0的另一个根是a,由韦达定理可得答案【解答】解:设方程x2+kx2=0的另一个根是a,由韦达定理可得:1a=2,即a=2,故选
7、:C【点评】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系(韦达定理),熟练掌握韦达定理是解答的关键3如图,BD、CE是ABC的中线,P、Q分别是BD、CE的中点,则PQ:BC等于( )A1:3B1:4C1:5D1:6【考点】三角形中的几何计算 【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形【分析】连接DE,连接并延长EP交BC于点F,利用DE是ABC中位线,求出FC=BC,再用PQ是EFC中位线,PQ=CF,即可求得答案【解答】解:连接DE,连接并延长EP交BC于点F,DE是ABC中位线,DE=BC,AE=BE,AD=CD,EDB=DBF,P、Q是BD、CE的中点,DP=BP,在DEP与BFP中,
8、EDB=DBF,DP=BP,EPD=BPF,DEPBFP(ASA),BF=DE=BC,P是EF中点,FC=BC,PQ是EFC中位线,PQ=FC,PQ:BC=1:4故选:B【点评】本题考查两线段比值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意三角形中位线定理的合理运用4函数y=x2+x1图象与x轴的交点个数是( )A0个B1个C2个D无法确定【考点】二次函数的性质 【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用【分析】利用二次函数的性质判断求解即可【解答】解:函数y=x2+x1,开口向下,又=14(1)(1)=30抛物线与x轴没有交点,故选:A【点评】本题考查二次函数的性质的应用,考查计算能力
9、5如果关于x的方程x22(1m)x+m2=0有两实数根,则+的取值范围为( )A+B+C+1D+1【考点】函数的零点与方程根的关系 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用【分析】如果关于x的方程x22(1m)x+m2=0有两实数根,则=4(1m)24m20,解出m的范围,结合韦达定理,可得答案【解答】解:如果关于x的方程x22(1m)x+m2=0有两实数根,则=4(1m)24m20,解得:m,则+=2(1m)1,故选:C【点评】本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系,一元二次方程根与系数的关系,难度中档6不论a,b为何实数,a2+b22a4b+8的值( )A总是
10、正数B总是负数C可以是零D可以是正数也可以是负数【考点】不等关系与不等式 【专题】配方法【分析】利用配方法把代数式a2+b22a4b+8变形为几个完全平方的形式后即可判断【解答】解:a2+b22a4b+8=(a22a+1)+(b24b+4)+3=(a1)2+(b2)2+33,故不论a、b取何值代数式a2+b2+4b2a+6恒为正数故选A【点评】本题考查了完全平方的形式及非负数的性质,关键是正确变形为完全平方的形式后进行判断,属基础题7方程x2+3x1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数y=的图象交点的横坐标,则方程x2+3x1=0的实根x0所在的范围是( )A0x0Bx0Cx0Dx01【考
11、点】函数零点的判定定理 【专题】计算题;构造法;函数的性质及应用【分析】先构造函数F(x)=x+3,再根据F()F()0得出函数零点的范围【解答】解:根据题意,构造函数F(x)=x+3,当(0,+)时,函数F(x)单调递增,且F()=+34=0,F()=+33=0,因此,F()F()0,所以,x0(,),故选:B【点评】本题主要考查了函数零点的判定定理,涉及到函数的单调性,属于基础题8下列四个说法:其中正确说法的个数是( )个方程x2+2x7=0的两根之和为2,两根之积为7;方程x22x+7=0的两根之和为2,两根之积为7;方程3x27=0的两根之和为0,两根之积为;方程3x2+2x=0的两根
12、之和为2,两根之积为0A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用 【专题】方程思想;数学模型法;简易逻辑【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出【解答】解:方程x2+2x7=0的两根之和为2,两根之积为7,正确;方程x22x+7=0的两根之和为2,两根之积为7,因此不正确;方程3x27=0的两根之和为0,两根之积为,正确;方程3x2+2x=0的两根之和为,两根之积为0,不正确综上可知:正确的个数为2故选:B【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题9如图,已知ABC周长为1,连接ABC三边的中点构成第二个三角形,再连接第二
13、个对角线三边中点构成第三个三角形,依此类推,第2003个三角形周长为( )ABCD【考点】归纳推理 【专题】计算题【分析】根据题意,列出前几个三角形的周长,发现从第二项起,每个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半,由此进行归纳即可得到第2003个三角形的周长【解答】解:根据题意,设第k个三角形的周长记为ak,(k=1、2、3、)ABC周长为1,a1=1第二个三角形的三个顶点分别为三角形ABC三边的中点第二个三角形的周长为a2=a1=依此类推,第三个三角形的周长为a3=a2=,第k个三角形的周长为ak=,第2003个三角形周长为a2003=故选C【点评】本题以三角形的周长规律为载体,考查了归纳
14、推理的一般方法和等比数列的通项公式的知识,属于基础题10等式成立的条件是( )Ax2Bx0Cx2D0x2【考点】函数的定义域及其求法 【专题】方程思想;综合法;函数的性质及应用【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组,解出即可【解答】解:由题意得:,解得:x2,故选:C【点评】本题考查了求函数的定义域问题,考查了二次个数的性质,是一道基础题二、填空题11方程2x2+2x1=0的两根为x1和x2,则|x1x2|=【考点】函数的零点与方程根的关系 【专题】转化思想;定义法;函数的性质及应用【分析】根据根与系数之间的关系进行转化进行求解即可【解答】解:方程2x2+2x1=0的两根为x1和x2,
15、x1+x2=1,x1x2=,则|x1x2|=,故答案为:【点评】本题主要考查一元二次方程根的求解,根据根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键12已知四边形ABCD是O的内接梯形,ABCD,AB=8cm,CD=6cm,O的半径等于5cm,则梯形ABCD的面积为7cm2或49cm2【考点】圆內接多边形的性质与判定 【专题】计算题;分类讨论;综合法;推理和证明【分析】过点O作OEAB,E为垂足, OFCD,F为垂足,由勾股定理得OE=3, OF=4,当圆心O在梯形ABCD内部时,EF=3+4=7,当圆心O在梯形ABCD外部时,EF=43=1,由此能求出梯形ABCD的面积【解答】解:连接OA,OB
16、,OC,OD,过点O作OEAB,E为垂足,OFCD,F为垂足,E,O,F三点共线等腰三角形OAB中,AE=4,由勾股定理得,OE=3同理得,OF=4,当圆心O在梯形ABCD内部时,EF=3+4=7,梯形ABCD的面积S=49(cm2)当圆心O在梯形ABCD外部时,EF=43=1,梯形ABCD的面积S=(cm2)故答案为:7cm2或49cm2【点评】本题考查梯形面积的求法,是中档题,解题时要注意勾股定理的合理运用,易错点是容量丢解13分解因式:x2xy+3y3x=(xy)(x3)【考点】因式分解定理 【专题】转化思想;数学模型法;推理和证明【分析】x2xy+3y3x变形为x(xy)3(xy),再
17、提取公因式即可得出【解答】解:x2xy+3y3x=x(xy)3(xy)=(xy)(x3),故答案为:(xy)(x3)【点评】本题考查了因式分解方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题14如图,AB是半圆O的直径,且AB=8,点C为半圆上的一点将此半圆沿BC所在的直线折叠,若圆弧BC恰好过圆心O,则图中阴影部分的面积是(结果保留)【考点】扇形面积公式 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;三角函数的求值【分析】过点O作ODBC于点D,交于点E,则可判断点O是的中点,由折叠的性质可得OD=OE=R=2,在RtOBD中求出OBD=30,继而得出AOC,求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积【解
18、答】解:过点O作ODBC于点D,交于点E,连接OC,则点E是的中点,由折叠的性质可得点O为的中点,S弓形BO=S弓形CO,在RtBOD中,OD=DE=R=2,OB=R=4,OBD=30,AOC=60,S阴影=S扇形AOC=故答案为:【点评】本题考查了扇形面积的计算,解答本题的关键是作出辅助线,判断点O是的中点,将阴影部分的面积转化为扇形的面积15已知一元二次方程x2(2m1)x+m2m=0的两根均大于0且小于2,则m的取值范围为1m2【考点】函数的零点与方程根的关系 【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用【分析】设f(x)=x2(2m1)x+m2m,由题意可得:以,即可解得m的取值
19、范围【解答】解:设f(x)=x2(2m1)x+m2m,因为一元二次方程x2(2m1)x+m2m=0的两根均大于0且小于2,所以,解得1m2,故答案为:1m2【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握实根分布问题解决的方法16已知x=,y=,则3x25xy+3y2的值是289【考点】方根与根式及根式的化简运算;有理数指数幂的化简求值 【专题】计算题;方程思想;综合法;函数的性质及应用【分析】由已知利用分母有理化求出x=52,y=5+2,由此能求出3x25xy+3y2的值【解答】解:x=()2=52,y=()2=5+2,3x25xy+3y2=3(x+y)211xy=310211(52)(5+2)=289
20、故答案为:289【点评】本题考查代数式的值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意根式性质、分母有理化、完全平方式的合理运用三、解答题17若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x3=0的两个根,求:(1)|x1x2|的值;(2)+和+的值;(3)x12+x22和x13+x23的值【考点】二次函数的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】根据根与系数的关系,化简求值即可【解答】解:x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x3=0的两个根,x1+x2=,x1x2=,(1)(x1x2)2=,|x1x2|=(2)+=,x12+x22=,+=,(3)x12+x22=,x13+x23=【点评】本题主要考查了
21、根与系数的关系,培养学生的计算能力18二次函数y=x2mx1与x轴两交点分别为A(x1,0),B(x2,0),且x1x23,求m的取值范围【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系;二次函数的性质 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用【分析】利用x1x23,建立不等式,即可求m的取值范围【解答】解:设函数f(x)=x2mx1,则函数的两根x1x23,有,解得m的取值范围为m2或m2【点评】本题考查二次函数的性质,考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题19如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O做BC的平行线,分别交EC和
22、AC于点D和点P,求OD【考点】相似三角形的判定 【专题】计算题;转化思想;综合法;推理和证明【分析】连接OC,则OPAC,从而OP=,由已知推导出OCPODC,由此能求出OD的长【解答】解:如图所示,连接OC,因为ODBC,又BCAC,所以OPAC,又O为AB线段的中点,所以OP=,在RtOCD中,OC=,由于OPAC,因此CPO=OCD,COP=DOC,因此OCPODC,所以OC2=OPOD,即=8【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意三角形相似的性质的合理运用20已知:如图,直线y=x+与x轴、y轴分别交于A、B两点,两动点D、E分别从A、B两点同时出发
23、向O点运动(运动到O点停止,如图);对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a(xk)2+h(a0)始终经过点E,过E作EGOA交抛物线于点G,交AB于点F,连结DE、DF、AG、BG,设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒,运动时间为t秒(1)用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长;(2)当t为何值时,四边形ADEF是菱形?(3)当ADF是直角三角形,且抛物线的顶点M恰好在BG上时,求抛物线的解析式【考点】直线与圆锥曲线的关系;二次函数的性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】(1)首先求出一次函数y=x+与x轴、y轴的交点A、B的坐标,然后解直角三角形求出BF、EF、
24、AF的长;(2)由EFAD,且EF=AD=t,则四边形ADEF为平行四边形,若四边形ADEF为菱形,则DE=AD=t,由DE=2DO列式求得t值;(3)当ADF是直角三角形时,有两种情况,需分类讨论,若ADF=90时,如图,则有DFOB然后由图形列式求出t值,再求出G的坐标,利用待定系数法求出直线BG的方程,求出点M的坐标,再利用顶点式求出抛物线的解析式;若AFD=90,采用的思路进行求解【解答】解:(1)在y=x+中,分别令x=0、y=0求得A(1,0),B(0,),OA=1,OB=,tan,则OAB=60,AB=2OA=2,EGOA,EFB=OAB=60,EF=,BF=2EF=2t,EF=
25、t,AF=ABBF=22t(0t1);(2)在RtDOE中,EO=,DO=1t,DE,EF=t,AD=t,EGOA,四边形ADEF为平行四边形若四边形ADEF为菱形,则有AD=DE,t=2(1t),解之得t=,即当t=时四边形ADEF为菱形;(3)当ADF=90时,如图,则有DFOB,即,t=,又由对称性可知EG=2AO=2,B(0,),E(0,),G(2,)设直线BG的解析式为y=kx+b,把B、G两点的坐标代入有:,解得,令x=1,则y=,M(1,),设所求抛物线的解析式为,又E(0,),解之得故所求解析式为;当AFD=90时,如图,在RtADF中,ADF=30,由AD=t,AF=t,由(1)有AF=22t,解得:t=B(),E(0,),G(2,),设直线BG的解析式为y=mx+n,把B、G两点的坐标代入有:,解之得:令x=1,则y=,M(1,)设所求抛物线的解析式为又E(0,),解得a=故所求解析式为综上所求函数的解析式为:或【点评】本题考查二次函数的性质,考查直线与抛物线的位置关系,训练了利用待定系数法求解函数解析式,注意(3)中的分类讨论,是中档题- 15 -