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1、4.3.1 空间直角坐标系疱丁巧解牛知识巧学一、空间直角坐标系1.定义：在单位正方体OABCOABC中，以O为原点，分别以射线OA、OC、OO的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间直角坐标系中的坐标：设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平
2、面，依次交x轴、y轴、z轴于点P、Q、R.设点P、Q和R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z).反之可得，有序实数组(x，y，z)确定平面上的相应点M.这样，空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z).其中x叫做M的横坐标，y叫做M的纵坐标，z叫做M的竖坐标.4.坐标轴及坐标平面的点的坐标特征：空间中的点与三个实数的有序数组之间建立了一一对应关系.xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集，其中x、y为任意实数；xOz平
3、面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集，其中x、z为任意的实数；yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y、z为任意的实数.x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数.要点提示 学习本知识点需注意：非右手空间直角坐标系也可以处理空间中的点、线、面问题，但右手空间直角坐标系比较习惯，所以一般建立右手空间直角坐标系.点的位置应在一个基础平面（如xOy平面）的前提下确定.应熟练掌握各坐标平面内各坐
4、标轴上的点其坐标的特征，为准确写出空间中任意点的坐标打好基础.二、空间中的对称问题(1)空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z)，则与点P关于x轴的对称点为(x,-y,-z)；关于y轴的对称点为(-x,y,-z)；关于z轴的对称点为(-x,-y,z)；关于原点的对称点为(-x,-y,-z)；关于xOy平面的对称点为(x,y,-z)；关于yOz平面的对称点为(-x,y,z)；关于xOz平面的对称点为(x,-y,z).(2)中点公式：已知点P(x1,y1,z1)，点Q(x2,y2,z2)，则线段PQ的中点M的坐标为()，即点P和点Q是关于点M对称的.记忆要诀 求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保
5、持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.如关于x轴对称点的坐标就是横坐标不变，其余的两个变为相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数.问题探究问题1 在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)关于y轴的对称点是什么？在空间直角坐标系Oxyz中，点P(x，y，z)关于y轴的对称点是什么？平面直角坐标系xOy中两点A、B的中点公式在空间直角坐标系Oxyz中是否还成立？探究:平面直角坐标系和空间直角坐标系中的对称问题可以类比记忆.在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)关于y轴的对称点是(-x，y)，则在空间直角坐标系中点P(x，y，z)关于y轴的对称点是(-x，y，-z)
6、；系xOy中两点A、B的中点公式在系Oxyz中还成立，类比变为:若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2),则其中点P的坐标为().问题2 在平面直角坐标系xOy中，x=-3表示的轨迹是什么？在空间直角坐标系Oxyz中，x=-3表示的轨迹是什么？探究:在平面直角坐标系xOy中，x=-3表示的轨迹是过点(-3,0)且与x轴垂直的一条直线；在空间直角坐标系Oxyz中，x=-3表示的轨迹是过点(-3,0，0)且与x轴垂直的平面.典题热题例1 已知点A(-3,1，-4)，分别写出点A关于原点、x轴、y轴、z轴及点M(1,2，3)的对称点的坐标.思路解析：利用空间直角坐标系中有关对称知识求解.其中
7、前四种为特殊对称，应该熟记，一个点关于另一个点的对称点问题，可以类比平面几何的中点坐标公式得出，把二维问题推广到三维来解决.解：点A(-3,1，-4)关于原点的对称点为(3，-1,4)；关于x轴的对称点为(-3，-1,4)；关于y轴的对称点为(3，1,4)；关于z轴的对称点为(3，-1,-4)；关于点M(1,2，3)的对称点设为B(x,y,z)，由中点公式可得B(5，3，10).深化升华 注意理解记忆并会灵活运用对称的相关公式，明确“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀的所指.例2 已知长方体的棱长分别为3，4，5，以长方体ABCDA1B1C1D1的相邻三条棱AB、AD、AA1所在的直
8、线为坐标轴，建立空间直角坐标系.(1)求此长方体的各顶点的坐标；(2)求棱DD1的中点坐标；(3)求面CDD1C1的对角线交点的坐标.思路解析：利用图形及相关数据，结合空间点的坐标写出.对长方体或正方体，一般取相邻的三条共点的棱所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系求某点的坐标，最常用的方法是求某些线段的长度，这也是求空间坐标的关键.解：(1)A(0,0，0)，B(3,0，0)，C(3,4，0)，D(0,4，0)，A1(0,0，5)，B1(3,0，5)，C1(3,4，5)，D1(0,4，5).(2)D(0,4，0)，D1(0,4，5)，利用中点公式得DD1的中点坐标为M(0,4,)
9、.(3)面CDD1C1的对角线交点的坐标即为CD1的中点N，C(3,4，0)，D1(0,4，5)，由中点公式，得N(,4,)，即面CDD1C1的对角线交点的坐标为所求.深化升华 空间中点的坐标的求法.即要确定空间中点的坐标，可先找到它在平面xOy内的射影点，从而得到横纵坐标，然后再看出竖坐标即可.例3 写出点P(6，-2，-7)在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影的坐标及关于各坐标平面对称的点的坐标.思路解析：根据各坐标平面的点的特征以及点关于坐标平面对称的点的特征解题.解：设点P(6，-2，-7)在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影点分别为A、B、C，点P关于xOy平面、yOz平面、xOz平面的对称点分别为A、B、C，由PA平面xOy,PB平面yOz,PC平面xOz及坐标平面的特征知，点A(6，-2,0)，点B(0，-2，-7)，点C(6，0，-7)；根据点P关于各坐标平面对称的特征，知点A(6,-2,7),B(-6,-2,-7),C(6,2,-7).方法归纳 本题中的点A为线段PA的中点，xOy平面为线段PA的中垂面，故点A的坐标可以利用中点公式，由点P与点A的坐标得出，其他的类似.3