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1、第2讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1(2016忻州一模)不等式组所围成的平面区域的面积为()A3B6C6 D3解析：选D.如图，不等式组所围成的平面区域为ABC，其中A(2，0)，B(4，4)，C(1，1)，所求平面区域的面积为SABOSACO(2421)3.2(2015高考重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A3 B1C. D3解析：选B.作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2，0)，B(1m，1m)，C，D(2m，0)SABCSADBSADC|AD|yByC|(22m)(1m)，解得m1或m3(舍去)3(2014
2、高考课标全国卷)设x，y满足约束条件且zxay的最小值为7，则a()A5 B3C5或3 D5或3解析：选B.当a5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)由得交点A(3，2)，则目标函数zx5y过A点时取得最大值zmax35(2)7，不满足题意，排除A，C选项当a3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)由得交点B(1，2)，则目标函数zx3y过B点时取得最小值zmin1327，满足题意4(2016江西省红色六校模拟)设变量x，y满足则z|x3y|的最大值为()A3 B8C. D.解析：选B.作出不等式组满足的平面区域，如图，法一：令mx3y，作出目标线，当目标线过A(
3、2，2)时，mmin2328.当目标线过B(2，2)时，mmax23(2)4.所以8m4，所以0|m|8，即zmax8.法二：令m，则由点到直线的距离公式知m表示区域内的点到直线x3y0的距离，而m取得最大值时，z取得最大值，由图可知点A(2，2)到直线x3y0的距离最大，故z|x3y|的最大值为|232|8，故选B.5(2016邢台摸底考试)设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为4，则ab的值为()A. B2C4 D0解析：选C.作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，zaxby(a0，b0)过点A(1，1)时取最大值，所以ab4.6(2016江西省重点学
4、校联盟)实数x，y满足若ty2x恒成立，则t的取值范围是()At13 Bt5Ct13 Dt5解析：选B.作出不等式组的可行域如图中的阴影部分所示，设z2xy，结合图形可得当目标线过点A (2，1)时z取得最小值，最小值为2215，而ty2x恒成立，则有t5.7(2016景德镇一模)设不等式组所表示的平面区域为S，若A，B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为_解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则由图可知A(0，3)，B(2，0)两点的距离最大，|AB|的最大值为.答案：8若实数x，y满足则z3x2y的值域是_解析：令tx2y，则yx，作出可行域，平移直线yx，由图像知当直线经过O
5、点时，t最小，当经过点D(0，1)时，t最大，所以0t2，所以1z9，即z3x2y的值域是1，9答案：1，99(2016郑州预测)若变量x，y满足约束条件则z的取值范围是_解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，z表示可行域内一点P(x，y)与点(1，3)的连线的斜率，由图像可知当点P在点(3，0)时，zmin，在点(0，4)时，zmax7，所以z7.答案：10(2016郑州质检)若x，y满足条件当且仅当xy3时，zaxy取得最小值，则实数a的取值范围是_解析：画出可行域，如图，直线3x5y60与2x3y150交于点M(3，3)，由目标函数zaxy，得yaxz，纵截距为z，当z最小时，z
6、最大欲使纵截距z最大，则a.答案：11.已知D是以点A(4，1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(1，6)，C(3，2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围解：(1)直线AB、AC、BC的方程分别为7x5y230，x7y110，4xy100.原点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，得a的取值范围是18a14.12(2014高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在A
7、BC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值解：(1)法一：因为0，又(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，所以解得即(2，2)，故|2.法二：因为0，则()()()0，所以()(2，2)，所以|2.(2)因为mn，所以(x，y)(m2n，2mn)，所以两式相减得，mnyx.令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2，3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.1(2016东北三校联合模拟)变量x，y满足约束条件若使zaxy取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是()A3，0 B3，1C0，1 D3
8、，0，1解析：选B.作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示易知直线zaxy与xy2或3xy14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即a1或a3，所以a1或a3.2(2015高考浙江卷)已知实数x，y满足x2y21，则|2xy4|6x3y|的最大值是_解析：因为 x2y21，所以2xy40，6x3y0，所以|2xy4|6x3y|42xy6x3y103x4y.令z103x4y，如图，设OA与直线3x4y0垂直，所以直线OA的方程为yx.联立得A(，)，所以当z103x4y过点A时，z取最大值，zmax103()4()15.答案：153若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)
9、若目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)平移初始直线xy0，过A(3，4)时z取最小值2，过C(1，0)时z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1，0)处取得最小值，由图像可知12，解得4a2.故a的取值范围是(4，2)4某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产，已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A，B，C的数量和一周内可用资源数量如下表所示：原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A1150B40160C25200如果甲产品每吨的利润为300元，乙产品每吨的利润
10、为200元，那么应如何安排生产，工厂每周才可获得最大利润？解：设工厂一周内安排生产甲产品x吨、乙产品y吨，所获周利润为z元依据题意，得目标函数为z300x200y，约束条件为欲求目标函数z300x200y100(3x2y)的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点A(40，0)，B(40，10)，C，D(0，40)作直线3x2y0，当移动该直线过点B(40，10)时，3x2y取得最大值，则z300x200y取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得)故zmax300402001014 000.所以工厂每周生产甲产品40吨，乙产品10吨时，才可获得最大周利润，为14 000元7