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1、（全国卷）2020年高考数学压轴卷 理（含解析）l 注意事项：l 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。l 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.若复数满足（是虚数单位），则为（ ）A. B. C. D. 3.已知，则、的大小关系为（ ）A. B. C. D. 4
2、.在的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则（ ）A. B. C. D. 5已知xlog321，则4x（）A4 B6 C4 D96在ABC中，若sinB2sinAcosC，那么ABC一定是（）A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四大家”，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱世杰平生勤力研习九章算术，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各
3、种数学知识为宗旨的算学启蒙，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图，是源于其思想的一个程序框图若输入的分别为，则输出的（ ）A. 2 B. 3 C. 4D. 58.函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 9.设函数，若函数的图象在处的切线与直线平行，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 10已知函数f（x）sin（x+）（0，）的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）Af（1）f（0）f（2）Bf（0）f（2）f（1）Cf（2）f（0）f（1）Df（2）f（1）f（0）11.函数的最小正周期是（ ）A. B. C. D.
4、 12. 定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有若，则m的取值范围是ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数则_14 已知x，y满足若的最小值为_15.已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的公共点，若，则此椭圆的离心率为_.16、已知正三棱锥，点、都在半径为球面上，若、两两相互垂直，则球心到截面的距离为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17（12分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指
5、标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值等级频数频率60，75）三等品100.175，90）二等品30b90，105）一等品a0.4105，120）特等品200.2合计n1（1）求a，b，n；（2）从质量指标值在90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率18（12分）的内角，的对边分别为，设.（）求；（）若的周长为8，求的面积的取值范围.19(12分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点.（I）求证：平面；（II）若直线与平面所成角为，求二面角的大小.20（12分）设函数.（I）讨论函数的单调性；（II）当函数有最
6、大值且最大值大于时，求的取值范围.21（12分）中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点关于直线对称，且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为.（I）求椭圆E的标准方程；（II）过点的直线l（直线的斜率k存在且不为0）交E于A，B两点，交x轴于点P点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于点Q.试探究是否为定值？请说明理由.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设P
7、（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求.23.已知函数（1）解不等式：（2）若函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案1、【答案】C【解析】算出集合后可求.【详解】，故，故选C.2、【答案】B【解析】利用复数的除法运算求得，问题得解.【详解】由可得：所以 故选：B3、【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、与和的大小关系，从而可得出实数、的大小关系.【详解】由于指数函数是增函数，则；对数函数是增函数，则，即；对数函数是增函数，则.因此，.故选：A.4、【答案】B【解析】 ， ， ，解得： ，故选B.
8、5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解解：xlog321，xlog23，4x9，故选：D6、B解：sinBsin（A+C）sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC2sinAcosC，cosAsinCsinAcosCsin（CA）0，即CA0，CA，ac，即ABC为等腰三角形故选：B7、【答案】C【解析】按流程图逐一执行即可.【详解】输入的分别为，时，依次执行程序框图可得：不成立不成立不成立成立输出故选：C8、【答案】D【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象【详解】当x0， g(4)=0，即f（x）0，函数f（x）是增函数，当x（，+）
9、，g(x)0，即f（x）0，函数f（x）是减函数，B不正确，故选D9、【答案】D【解析】由可得：，又函数的图象在处的切线与直线平行，所以所以当且仅当时，等号成立所以的最小值为故选： D10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可解：函数的最小周期是，得2，则f（x）sin（2x+），f（x）关于中心对称，2（）+k，kZ，即k+，kZ，当k0时，即f（x）sin（2x+），则函数在，上递增，在，上递减，f（0）f（），12，f（）f（1）f（2），即f（2）f（1）f（0），故选：D11、【答案】B【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将化简为的形式，再利用周期
10、函数求出其最小正周期，可得答案.【详解】解： ，可得其最小正周期为，故选B.12【答案】D【解析】构造函数，所以构造函数，所以的对称轴为，所以，是增函数；是减函数。，解得：13【答案】1.【解析】根据分段函数的解析式逐步代入求解可得结果【详解】由题意得故答案为：114、【答案】5【解析】式组表示的平面区域，再将目标函数zx+2y对应的直线进行平移，可得当x3且y1时，z取得最小值【详解】作出不等式组表示的平面区域，其中解得A（3，1）设zx+2y，将直线l：zx+2y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值z最小值3+25故答案为：515、【答案】【解析】通过抛
11、物线和椭圆性质得到P点坐标，将P点坐标代入椭圆得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为，由题意抛物线的准线方程为 ，由抛物线的定义知点P到准线的距离为 ，可得点P的横坐标为 ，纵坐标为 则有 ，所以 ，则 故答案为16、【答案】【详解】正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直，此正三棱锥的外接球即为以PA，PB，PC为三条棱的正方体的外接球，球的半径为，正方体的边长为2，即PAPBPC2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥PABC的体积VSABChSPABPC222ABC为边长为2的正三角形，SABC（2）2h球心（即正方体中心）O到截面ABC
12、的距离为，故答案为17、解：（1）由100.1100，即n100，a1000.440，b301000.3 6分（2）设从“特等品”产品中抽取x件，从“一等品”产品中抽取y件，由分层抽样得：，解得x2，y4，在抽取的6件中，有特等品2件，记为A1，A2，有一等品4件，记为B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况有15种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B
13、2，A2B3，A2B4，至少有1件特等品被抽到的概率为：p 12分18（1）且，又， 6分（2）由题意知：，或（舍）（当时取“”）综上，的面积的取值范围为 12分 19、（1）连接交于，连接，由题意可知，又在平面外，平面，所以平面. 4分以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量，由，得，取，又由直线与平面所成的角为， 8分得，解得，同理可得平面的法向量，由向量的夹角公式，可得，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为. 12分20（1）函数的定义域为，.当，即时，函数在上单调递增. 当时，令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减.综上所述：当
14、时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减 .6分（2）由（1）知，当函数有最大值时，且最大值， 此时，即.令.故在上单调递增，且等价于，故a的取值范围为. 12分21（1）因为椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点关于直线对称，所以椭圆E的右焦点为，所以.又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为，所以，又，所以椭圆E的标准方程为. 4 分（2）设直线l的方程为，则点，设则点，联立直线l与椭圆E的方程有，得，所以有，即且，即直线BD的方程为令，得点Q的横坐标为，代入得：，所以，所以为定值4. 12分22、【答案】（1），；（2）【解析】（1）直线l的参数方程为（t为参数）消去参数t可得直线l的普通方程为 由，得，则有，即，则曲线C的直角坐标方程为 （2）将l的参数方程代入，得，设两根为， 则，为M，N对应的参数，且所以，线段MN的中点为Q对应的参数为，所以，23、【答案】（1）； （2）.【解析】(1)由得，即：等价于或或解得或或，即，所以原不等式的解集为（2）因为函数在单调递增，所以，因为，在处，取得最大值， 要使函数与函数的图象恒有公共点，则须，即，故实数的取值范围是17