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1、第3章数系的扩充与复数的引入本章概览内容提要本章的主要内容是复数的有关概念，复数代数形式的运算以及数系的扩充等.1.数集的扩充过程是自然数集（N）整数集（Z）有理数集（Q）实数集（R）复数集（C）.数集的每一次扩充，都使数集本身能适合更多种代数运算.2.形如a+bi的数叫做复数，其中a、bR，i2=-1.当b=0时为实数，当b0时为虚数，当b0且a=0时为纯虚数. 全体复数所组成的集合称为复数集，记为C，即C=z|z=a+bi,a,bR.3.任一复数z=a+bi（a、bR）和复平面内的一点Z(a,b)对应，且是一一对应；任一复数z=a+bi（a、bR)与它对应的点所在平面内的一个向量对应（O是
2、坐标原点），且也是一一对应.4.引进i2=-1后，复数的四则运算就可按实数的运算法则同样地进行，并且也满足关于加法、减法的运算律.复数的加、减、乘、除（除数不为0）运算的结果仍是复数.5.本章中的常用结论（1）共轭复数的常用性质：设z=a+bi（a、bR），则z+=2a;z-=2bi（纯虚数或零）；（）=z.（2）共轭复数的代数运算：(可推广到任意有限个复数相加的情形)；（可推广到任意有限个复数相乘的情形）；（z20）.（3）共轭复数与模的关系：z=|z|2=|2.(4)判断一个复数是纯虚数，可以从下面几个方面去思考：实部为0且虚部不为0，则z为纯虚数；z+=0且z0,则z为纯虚数；若z为虚数
3、，则z-为纯虚数；若z0且|z-a|=|z+a|(aR+)，则z为纯虚数；若z为纯虚数，则可得z=ki（kR且k0）.（5）判断一个复数是实数，可从如下几个方面思考：z的虚部为0，则zR;z=zR;z+R;z=|z|2R;z1、z2为纯虚数，则z1z2R.学法指导我们把一个数集连同相应的运算及结构叫作一个数系.本章内容复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充.数系扩充的过程体现了数学发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.在本模块中，将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.在有关复数内容的学习过程中，切实注意：1.复数的定义；2.复数相等的概念及其充要条件；3.复数的运算法则.2