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1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系疱丁巧解牛知识巧学一、空间中直线的位置关系 空间中直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线、异面直线.平行直线与相交直线都是共面直线，而异面直线是不同在任何一个平面内的直线.要注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，如图2-1-9所示，分别在两个平面内的直线可以平行，可以相交，也可以异面.图2-1-9 空间两直线的位置关系也可以按有无公共点来分类，两直线如果有且只有一个公共点，则为相交直线，但应注意如果两直线没有公共
2、点，它包括两直线平行和两直线异面两种情形. 空间两直线的图形表示如图2-1-10.图2-1-10 符号表示为 两直线平行：ab； 两直线相交：ab=A. 空间两直线的位置关系，可以按公共点的情况来划分，但应注意无公共点时的情况二、定理与公理 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示：若ab，bc,则ac.举例：如图2-1-11，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD的中点.由EFBD，GHBD及公理4，得EFGH.图2-1-11深化升华 公理4是本章中非常重要的定理，它是证明线线平行的常用方法，在证明线线垂直、找两异面直线所成的角等方面经常用到.它与前三
3、个公理构成了立体几何的公理体系，是研究几何的基础 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 如图2-1-12，ABA1B1，BCB1C1，对于ABC与A1B1C1，因为两个角的方向相同，所以两角相等；对于ABC与E1B1C1，因为两个角的方向不同，所以互补，即ABC+E1B1C1=180.图2-1-12方法点拨 应用此定理时一定要注意定理的条件，特别是注意角的方向问题三、异面直线1.异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线. 如图2-1-13所示，直线l经过平面外一点A和平面内一点B，它与内不经过B点的直线a是异面直线
4、.图2-1-132.异面直线所成的角：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点,作直线aa，bb，则a、b所成的锐角或直角叫做两条异面直线a、b所成的角(或夹角).方法点拨 作出两异面直线所成角的方法：作异面直线a、b的平行线a、b，则a、b这两条相交直线所成的角即是两异面直线所成的角.这也体现了将空间问题转化为平面问题的基本思路.两异面直线所成的角必须是锐角或直角，其范围是090 异面直线所成角的定义向我们展示了两点，一是过空间任意一点作两条异面直线的平行线;二是两异面直线所成的角是锐角或直角，而绝不是钝角.如果作平行线后算出的角是钝角，这时应取其补角作为两异面直线所成的角.如在公理4下的图
5、象所示.EFH为异面直线BD与AC所成的角或其补角.根据等角定理，异面直线所成的角的大小与顶点位置无关，将角的顶点取在一条直线上，特别地可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点、中点等特殊点，以便于计算. 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作ab.问题探究问题1 不相交的两条直线是平行直线，这种说法对吗？探究:不正确.由空间两条直线的位置关系可得异面直线与平行直线都不相交.因此，不能简单地说不相交的两条直线就是平行直线.应该说“在同一平面内，不相交的两直线互相平行”.问题2 如何求异面直线所成的角？探究:求异面直线所
6、成的角，方法主要有两种：平移法和向量法.平移法主要是根据异面直线夹角的定义，作两条异面直线的平行线，找出角，求角(一般需要解三角形)；向量法主要应用向量的夹角公式cosa,b=来求解.典题热题例1 如图2-1-14，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点,求直线AC与PB所成角的余弦值.图2-1-14思路解析：本题关键是构造出异面直线AC与PB所成的角或其补角EOA.解：设ACBD=O，连结OE，则OEPB，EOA为AC与PB所成的角或其补角. 在AOE中，AO=1，OE=,AE=,cosEOA=, 即AC与PB所成角的余弦值
7、为.例2 空间四边形ABCD中，AB=CD，AB与CD成30角，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角.思路解析：根据定义，找到两异面直线所成的角是关键，而解决立体几何问题的基本思想是将立体问题转化为平面问题，由此可选取BC或AD的中点.解：如图2-1-15,取BD的中点G，连结EG、FG，图2-1-15E、F分别为BC、AD的中点，EG，GF.EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角.AB=CD，EFG为等腰三角形. 又AB、CD成30角，EG、FG分别为BCD、DAB的中位线，EGF=30.GFE就是EF与AB所成的角，EF与AB成75角.方法归纳 要求两异面直线所成的角，需按
8、定义作平行线，先作出(或找到)所成的角，然后利用三角形的边角关系求解.平移的方式很多，平移后的平行线可以在几何体内，也可以平移到几何体外.例3 如图2-1-16，在正方体A1B1C1D1ABCD中，棱长为a，求两异面直线B1D1和C1A所成的角.图2-1-15思路解析：可将B1D1平移，使B1移到C1或A1；也可将C1A平移，使C1移到B1或D1，但此时B1D1落到正方体外面去了或C1A落到正方体外面去了，给解题带来了困难，如果利用正方体的对称中心，也能求出异面直线所成的角.解：解法一：取D1D、B1B的中点分别为M、N，连结MN， 则B1D1MN，且MN过正方体的中心O点，又点OC1A，连结
9、AN， 则AON为所求异面直线B1D1和C1A所成的角或其补角.BB=a，NB=，在RtNBA中，AN2=AB2+NB2=a2+()2=.正方体棱长为a，MN=B1D1=，AC1=. 又O是正方体对称中心，ON=.而AO=,AO2+ON2=()2+()2=AN2.AON是直角三角形.AON=90，故异面直线B1D1和C1A所成角是90. 解法二：(割补法)在原正方体A1B1C1D1ABCD的旁边，补上一个与原正方体棱长相等的正方体，如图2-1-17所示.图2-1-17 取新正方体与A1D1在同一直线上的顶点为E，连结C1E、AE，由正方体性质,可知C1EB1D1，EC1A为所求两异面直线B1D1和C1A所成的角或其补角.正方体棱长为a，由正方体性质知C1E=，C1A=， 又EA2=A1A2+A1E2=a2+(2a)2=5a2=C1E2+C1A2，EAC1是直角三角形，EC1A=90.方法归纳 割补法在立体几何中有广泛的用途,对于“补”来说,可以全补(如本例),也可以“局部补形”(如本例只将底面A1B1C1D1延伸至A1B1E,所作平行线为EC1,构成EAC1),都可以达到目的.5