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1、【成才之路】2015-2016学年高中数学 第3章 2第2课时 最大值、最小值问题课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1函数f(x)x(1x2)在0,1上的最大值为()A BC D答案A解析f(x)xx3，f(x)13x2，令f(x)0得x(x舍去)，计算比较得最大值为f().2.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为_km/h航行时，能使行驶每公里的费用总和最小()A20B30C40D60答案A解析设船速为每小时x(x0)公里，燃料费为Q元，则Qkx3，由已知得：6k103，
2、k，即Qx3.记行驶每公里的费用总和为y元，则y(x396)x2yx，令y0，即x0，解之得：x20.这就是说，该函数在定义域(0，)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元3已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()Am BmCm Dm0)在1,4上的最大值为3，最小值为6，则ab_.答案解析f(x)4ax312ax2(a0，x1,4)由f(x)0，得x0(舍)，或x3，可得x3时，f(x)取得最小值为b27A又f(1)b3a，f(4)b，f(4)为最大值由解得ab.8.设函数f(
3、x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_答案4解析本小题考查函数单调性的综合运用若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x0即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a，设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x) maxg4，从而a4；当x0即x1,0，f(x)ax33x10可化为a，g(x)在区间1,0)上单调递增，因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上a4.三、解答题9.(2014江西理，18)已知函数f(x)(x2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0，
4、)上单调递增，求b的取值范围解析(1)当b4时，f(x)(x2)2的定义域为(，)，f (x)，由f (x)0得x2或x0.当x(，2)时，f (x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f (x)0，f(x)单调递减，故f(x)在x2取极小值f(2)0，在x0取极大值f(0)4.(2)f (x)，因为当x(0，)时，0，依题意当x(0，)时，有5x(3b2)0，从而(3b2)0.所以b的取值范围为(，10.(2014三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式
5、y4(x6)2，其中2x6，m为常数已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)解析(1)因为x4时，y21，代入关系式y4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y4(x6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)(x2)4(x6)2104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2x6)，从而f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2x0，函数f(x)单调递增；在(，
6、6)上，f (x)0，函数f(x)单调递减，所以x是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x3.3时，函数f(x)取得最大值故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.一、选择题1给出下面四个命题：函数yx25x4，x1,1的最大值为10，最小值为；函数y2x24x1(2x4)的最大值为17，最小值为1；函数yx312x(3x3)的最大值为16，最小值为16；函数yx312x(2x0，易知f2(x)的极大值为f()a，极小值为f()a，而f1(x)图象此时开口向上，对称轴为x0且f1()f1(0)，f2(0)a，A、C均适合(2)若a0，f1(x)图象开
7、口向下，对称轴为x0 ，f()f1(0)aa，也就是说当x时函数f2(x)图象为极大值而此时f1(x)图象对应的点应该在(，f2()上方，而B选项中显然右下方，因而B不可能4以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A10 B15C25 D50答案C解析如图，设NOB，则矩形面积S5sin25cos50sincos25sin 2，故Smax25.二、填空题5.已知函数yxf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：函数f(x)在区间(1，)上是增函数；函数f(x)在区间(1,1)上无单调性；函数f(x)在x处取得极大值；函数f(x)在x1
8、处取得极小值其中正确的说法有_答案解析从图像上可以发现，当x(1，)时，xf(x)0 ，所以f(x)0，故f(x)在(1，)上是增函数，正确；当x(1,1)时，f(x)0，所以函数f(x)在(1，1)上是减函数，所以，错误；当0x1)讨论f(x)的单调性；解析f(x)的定义域为(1，)，f(x).当1a0，f(x)在(1，a22a)是增函数；若x(a22a,0)，则f(x)0，f(x)在(0，)是增函数当a2时，f(x)0，f(x)0成立当且仅当x0，f(x)在(1，)是增函数当a2时，若x(1,0)，则f(x)0，f(x)在(1,0)是增函数；若x(0，a22a)，则f(x)0，f(x)在(
9、a22a，)是增函数8.设f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立分析(1)先求f(x)，写出g(x)，对g(x)求导，g(x)0求得增区间，g(x)0求得减区间；(2)作差构造函数h(x)g(x)g()，对h(x)求导，判定其单调性，进一步求出最值，与0比较大小；(3)利用(1)的结论求解解析(1)f(x)lnx，f(x)，g(x)lnx.g(x)，令g(x)0得x1，当x(0,1)时，g(x)0.(1，)是g(x)的单调增区间因此当x1时g(x)取极小值，且x1是唯一极值点，从而是最小值点所以g(x)最小值为g(1)1.(2)g()lnxx令h(x)g(x)g()2lnxx，h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g()，当x(0,1)(1，)时h(x)h(1)0，即g(x)g()当x(1，)时，h(x)h(1)0，即g(x)g()，当x1时，g(x)g()当x(1，)时，g(x)g()(3)由(1)可知g(x)最小值为1，所以g(a)g(x)0成立等价于g(a)1，即lna1，解得0ae.所以a的取值范围是(0，e)点评本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转化与化归思想等9