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1、题型练9大题综合练(一)1.(2017全国,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.2.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求证:PD平面PAB;(2)求直线PB与平面P
2、CD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.4.设椭圆E的方程为=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.5.设函数f(x)=2ln(x+1)+.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)如果对所有的x0,都有f(x)ax,求a的最小值;(3)已知在数列an中,a1=1,且(1-an+1)(1+an)=1,若数列an
3、的前n项和为Sn,求证:Sn-ln an+1.参考答案题型练9大题综合练(一)1.解(1)由题设及A+B+C=,得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=(2)由cosB=得sinB=,故SABC=acsinB=ac.又SABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4.所以b=2.2.解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(
4、X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=综上知,X的分布列为X012P故E(X)=0+1+2(个).3.(1)证明因为平面PAD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD,所以PD平面PAB.(2)解取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以POAD.又因为PO平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD,所以POCO.因为AC=CD,所以COAD.如图建立空间直角坐标系O-xyz.由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,
5、z),则令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又=(1,1,-1),所以cos=-所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为(3)解设M是棱PA上一点,则存在0,1使得=因此点M(0,1-,),=(-1,-,).因为BM平面PCD,所以BM平面PCD当且仅当n=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0.解得=所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD,此时4.解(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而,进而得a=b,c=2b,故e=(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为=1,点N的坐标为设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为又
6、点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为=1.5.(1)解f(x)的定义域为(-1,+),f(x)=当-1x-2+时,f(x)-2+时,f(x)0,所以函数f(x)在区间(-1,-2+)内单调递减,在区间(-2+,+)内单调递增.(2)解设g(x)=2ln(x+1)+-ax,则g(x)=-a=-a=-+2-a.因为x0,所以-1-0.当a2时,2-a0,g(x)0,所以g(x)在区间0,+)内单调递减,而g(0)=0,所以对所有的x0,g(x)0,即f(x)ax.当1a2时,02-a0,g(x)单调递增,而g(0)=0,所以当x时,g(x)0,即f
7、(x)ax.当a1时,2-a1,g(x)0,所以g(x)在区间0,+)内单调递增,而g(0)=0,所以对所有的x0,g(x)0,即f(x)ax.综上,a的最小值为2.(3)证明由(1-an+1)(1+an)=1,得an-an+1=anan+1,由a1=1得,an0,所以=1,数列是以=1为首项,1为公差的等差数列,所以=n,an=,an+1=Sn-lnan+1ln(n+1)+0,即ln(x+1)+0.(方法一)令x=,得ln,即ln(n+1)-lnn+,因为=ln(n+1)+,所以ln(n+1)+-lnan+1.(方法二)Sn-lnan+11+ln(n+1)+下面用数学归纳法证明.当n=1时,令x=1代入ln(x+1)+ln2+,不等式成立.假设当n=k(kN*,k1)时,不等式成立,即1+ln(k+1)+,则当n=k+1时,1+ln(k+1)+,令x=代入ln(x+1)+ln,ln(k+1)+ln(k+1)+ln=ln(k+2)+=ln(k+2)+,即1+ln(k+2)+由可知不等式1+ln(n+1)+对任何nN*都成立.故Sn-lnan+1.- 8 -