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1、综合能力训练一(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合P=xR|0x4,Q=xR|x|3,则PQ=()A.3,4B.(-3,4C.(-,4D.(-3,+)2.双曲线x2-=1的离心率为()ABCD3.(2017浙江台州4月调研)某空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是()A.BCD4.设实数x,y满足则z=2x-3y的最大值为()A.-B.-C.2D.35.(2017浙江杭州二模)设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的两个零点为x1,x2,若|x
2、1|+|x2|2,则()A.|a|1B.|b|1C.|a+2b|2D.|a+2b|26.已知等比数列an的公比为q,则“0q1”是“an为递减数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)=ax3+ax2+x(aR),下列选项中不可能是函数f(x)图象的是()8.设离散型随机变量X的分布列为X123Pp1p2p3若E(X)=2,则()A.p1=p2B.p2=p3C.p1=p3D.p1=p2=p39.在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=PA.若BC边上有且只有一个点Q,使得PQQD,则此时二面角A-PD-Q
3、的余弦值为()ABCD10.在直棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=,AB=AC=AA1=1,已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GDEF,则线段DF的长度的取值范围为()AB.1,CD.(1,二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中,有一道数学命题叫“宝塔装灯”,内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增),根据此诗,可以得出塔的顶层与底层灯数之和为.12.(201
4、7浙江宁波二模)把复数z的共轭复数记作,若(1+i)z=1-i,i为虚数单位,则z的实部为,=.13.(x2-1)的展开式所有项系数之和为,常数项为.14.ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2A=3cos(B+C)+1,则A为,若cos Bcos C=-,且ABC的面积为2,则a为.15.已知平面向量|=|=,且与-的夹角为150,则=,(tR)的取值范围是.16.将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有种.17.已知定义域是R的偶函数f(x)在0,+)上单调递增,若x时,不等式f(1+xlog27log7a)f(x
5、-2)恒成立,则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(本小题满分14分)设函数f(x)=2sin xcos x-cos(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,上的单调递增区间.19.(本小题满分15分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC侧面AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2,CAA1=,D,E分别为AA1,A1C的中点.(1)求证:A1C平面ABC;(2)求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值.20.(本小题满分15分)已知函数f(x)=xex-a(x-1)(aR),(1)若函数f(x)在x=0处
6、有极值,求a的值及f(x)的单调区间;(2)若存在实数x0,使得f(x0)an;(2)an=cos参考答案综合能力训练一1.B解析 由题意得P=0,4,Q=(-3,3),PQ=(-3,4.2.D3.A解析 此几何体的下部分是圆锥,上面是个球,所以几何体的体积V=122+13=,故选A.4.C解析 作出可行域,如图,ABC内部(含边界),作出直线l:2x-3y=0,平移直线l,当它过点C(1,0)时,z=2x-3y取得最大值2.故选C.5.B解析 |x1|+|x2|2=2,所以22,则|b|1,故选B.6.D解析 可举a1=-1,q=,可得数列的前几项依次为-1,-,-,显然不是递减数列,故由“
7、0q1”不能推出“an为递减数列”;可举等比数列-1,-2,-4,-8,显然为递减数列,但其公比q=2,不满足0q1,故由“an为递减数列”也不能推出“0q1”.故“0q1”是“an为递减数列”的既不充分也不必要条件.故选D.7.D解析 因f(x)=ax2+ax+1,故当a0,其图象是选项C中的那种情形;当a0时,判别式=a2-4a0,其图象是选项B中的那种情形;判别式=a2-4a0,其图象是选项A中的那种情形;当a=0,即y=x也是选项A中的那种情形,故选D.8.C解析 由题设及数学期望的公式可得p1=p3.故选C.9.C解析 连接AQ,由题意可得若BC边上有且只有一个点Q,使得PQQD,则
8、BC边上有且只有一个点Q,使得AQQD,即以AD为直径的圆与直线BC相切,设AD的中点为O,则QOAD,可得QO平面PAD,作OHPD于点H,连接QH,则OHQ是二面角A-PD-Q的平面角,设AB=PA=a,则AD=2a,在RtQOH中,可求得OH=,QH=,cosQHO=,二面角A-PD-Q的余弦值为.故选C.10.C解析 分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则G,E,F(x,0,0),D(0,y,0),其中0x1,0y1,于是=-x-y+=0,得y=-x+.DF=的意义即点(x,y)满足线段y=-x+(0x1)与(0,0)的距离的范围易求得DF.11.195解
9、析 设顶层的灯数为a1,公比为q,n=7,S7=381,解得a1=3,底层为a7=a1q6=326=192,所以a1+a7=195盏灯.12.0i解析 复数z的共轭复数记作,(1+i)z=1-i,i为虚数单位,z=-i,实部为0.=i.13.0-48解析 令x=1,可得所有项系数和为0,的展开式的通项公式为Tr+1=(-2)5-r(-2)5-rx-r.令-r=-2,-r=0,分别解得r=2,r=0.(x2-1)的展开式的常数项=1(-2)3-11(-2)5=-48.14.4解析 由cos 2A=3cos(B+C)+1得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)
10、=0,所以cos A=或cos A=-2(舍去),因为A为三角形内角,所以A=.因为cos A=-cos(B+C)=,则cos Bcos C-sin Bsin C=-;由cos Bcos C=-,得sin Bsin C=,由正弦定理,有,即b=,c=,由三角形的面积公式,得S=bcsin A=a2,即a2=2,解得a=4.15.-解析 平面向量|=|=,且与-的夹角为150,如图,设=,=,则=-,OAB为等腰三角形,且AOB=120,OAB=OBA=30.=cos 120=-.=.故答案为-.16.20解析 根据题意,分2种情况讨论:若A与C之间为B,即B在A,C中间且三人相邻,考虑A,C的
11、顺序,有种情况,将三人看成一个整体,与D,E 2人全排列,有=6种情况,则此时有26=12种排法;若A与C之间不是B,先在D,E中选取1人,安排在A,C之间,有=2种选法,此时B在A的另一侧,将4人看成一个整体,考虑A,C的顺序,有=2种情况,将这个整体与剩余的1人全排列,有=2种情况,则此时有222=8种排法;则一共有12+8=20种符合题意的排法.17.解析 若x时,不等式f(1+xlog27log7a)f(x-2)恒成立|1+xlog2a|x-2|对任意x恒成立,即1-log2a-1恒成立,又=0,=-2,故-2log2a0,解得a1.18.解 (1)f(x)=sin 2x-=sin 2
12、x-cos 2x=sin,故周期为.(2)由-+2k2x-+2k,kZ,可得-+kx+k,kZ,取k=0,则x,取k=1,则x,又因为x0,所以f(x)的单调递增区间为.19.(1)证明 BC侧面AA1C1C,A1C平面AA1C1C,BCA1C.在AA1C中,AC=1,AA1=C1C=2,CAA1=,由余弦定理得A1C2=AC2+A-2ACAA1cosCAA1=3,A1C=,AC2+A1C2=A.ACA1C.又ACBC=C,A1C平面ABC.(2)解 由(1)知,CA,CA1,CB两两垂直,如图,以C为空间坐标系的原点,分别以CA,CA1,CB所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0
13、,0,0),B(0,0,1),A(1,0,0),A1(0,0).由此可得D,E.设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则有令z=1,则x=0,y=.n=.又A1C平面ABC,=(0,0)是平面ABC的一个法向量.cos=.平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为.20.解 (1)f(x)=(x+1)ex-a,由f(0)=0,解得a=1,故f(x)=(x+1)ex-1,令f(x)0,解得x0,令f(x)0,解得x0,故f(x)在(-,0)递减,在(0,+)递增.(2)若f(x)0在x上有解,即xexa(x-1),a在x上有解,设h(x)=,x,则h(x)=0,故h(x)在递减,h(x)在上的
14、值域是(-,0),故ah(0)=0.即a的取值范围为(-,0).21.解 (1)设点B(xB,yB),直线AB的方程为y=k(x+2),联立=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,-2xB=,即xB=,yB=k(xB+2)=,即B.(2)易知F2(1,0),=-,直线BF2,CF1的方程分别为y=(x-1),y=-(x+1),由解得C(8k2-1,-8k),代入=1,得192k4+208k2-9=0,即(24k2-1)(8k2+9)=0,得k2=,k=.22.证明 (1)由题意知2-2=an+1-2=(1-an)(1+2an),故只需要证明an1即可.下面用数学归纳法证明:当n=1时,a1=1成立;假设n=k时,ak1成立,那么当n=k+1时,ak+1=1.综上所述,对任意nN*,anan得证.(2)用数学归纳法证明an=cos,当n=1时,a1=cos 成立;假设n=k时,ak=cos,那么当n=k+1时,ak+1=cos.综上所述,对任意nN*,an=cos .7