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1、建立概率模型一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014抚顺高一检测)掷两枚骰子,事件“点数之和为6”的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.掷两枚骰子,每枚骰子可能有6种结果,所以共有36(个)基本事件,这些事件出现的可能性是相同的;事件“点数之和为6”包括的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5个.所以P=.2.(2014临沂高一检测)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.从4张卡片中随机取2张共有6种取法,取得2张卡片上数字之和为奇数,即(1,2
2、),(1,4),(3,2),(3,4),4种,故其概率为=,故选C.3.一个三位数字的密码锁,每位上的数字都在0到9这十个数字中任选,某人忘记了密码最后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.只考虑最后一个号码,因为最后一个号码可以在0,1,2,9中随机选择,共10种可能,而正确的号码只有1个,所以随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为.【变式训练】在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站一次只能停靠一辆汽车),有一位乘客在等候4路或8路公共汽车.假定当时各汽车首先到此站的可能性相等,则首先到站正好
3、是这位乘客所需乘的汽车的概率等于()A.B.C.D.【解析】选D.因为各汽车首先到此站的可能性相等,共有5种可能,而首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的可能有4路和8路两种,所以选D.4.(2014郑州高二检测)有两双不同的袜子,任取2只恰好成双的概率是()A.B.C.D.【解题指南】为区分袜子的不同双和左右只,应把两双袜子标上号码,然后再用列举法列举出所有的基本事件求解.【解析】选C.设这4只袜子为A1,A2,B1,B2,其中A1和A2是一双,B1和B2是一双.从中任取2只有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)共6个基本事件,恰好成
4、双有(A1,A2),(B1,B2)共2个基本事件,则任取2只恰好成双的概率为=.5.任意选出星期一到星期日的两天(不重复)准备举行某两项活动,其中恰有一天是星期六的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.任选两天的所有可能的结果是:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),(6,7),共有21种等可能的情况,其中一天为星期六的结果有6种,所以所求概率是=.6.(2014陕西高考)从正方形四个顶点及其
5、中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.设边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点并连线,共有=10条线段,满足该两点间的距离不小于1的有AB,BC,CD,DA,AC,BD共6条线段,则根据古典概型的概率公式可知随机(等可能)取两点,则该两点间的距离不小于1的概率P=.二、填空题(每小题4分,共12分)7.在集合1,2,3中有放回地先后随机取两个数,若把这两个数按照取的先后顺序组成一个两位数,则“个位数与十位数不相同”的概率是_.【解题指南】首先根据题意,计算在集合中有放回地先后随机取两个数,可以重复,再分析组成
6、的两位数的个数,即基本事件的个数,再找出个位数与十位数相同的基本事件个数,进而可得“个位数与十位数不相同”的基本事件个数,由古典概型的概率计算公式,计算可得答案.【解析】根据题意,在集合1,2,3中有放回地先后随机取两个数,基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)9种情况;按照取的先后顺序组成一个两位数后,其中个位数与十位数相同的有3种,即(1,1),(2,2),(3,3),则“个位数与十位数不相同”的有9-3=6种,则其概率为=.答案:8.从1,2,3,4,5这5个数字中,不放回地任取两数,其和为偶数的概率是_.【解
7、析】如图123451345623567345784567956789基本事件共有20个,其中和为偶数的基本事件共有8个.所以其和为偶数的概率为P=.答案:9.(2014泰州高一检测)已知x,y0,1,2,3,4,5,P(x,y)是坐标平面内的点,点P在x轴上方的概率为_.【解析】把点P的所有情况列举出来(0,0),(0,5),(5,0),(5,5),共可构成36个点,其中在x轴上方的点有30个.所以点P在x轴上方的概率为=.答案:【一题多解】由于点P与x轴的位置关系只与纵坐标y有关,因此,只考虑纵坐标y,有6种结果,即0,1,2,3,4,5.其中5种在x轴上方,即1,2,3,4,5.所以点P在
8、x轴上方的概率为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2013赣州高一检测)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.(1)一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果.(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5分的概率.【解析】(1)一共有8种不同的结果,列举如下:(红、红、红),(红、红、黑),(红、黑、红),(红、黑、黑),(黑、红、红),(黑、红、黑),(黑、黑、红),(黑、黑、黑).(2)记“3次摸球所得总分为5分”为事件A,事件A包含的基本事件为:(红、红、黑),(红、黑、红),(黑、红、红),事件A包含
9、的基本事件数为3,由(1)可知,基本事件总数为8,所以事件A的概率为P(A)=.【变式训练】已知甲袋中有1个白球,2个红球;乙袋中有2个白球,2个红球,现从两袋中各取一球.(1)两球颜色相同的概率.(2)至少有一个白球的概率.【解析】设甲袋中1个白球记为a1,2个红球记为b1,b2;乙袋中2个白球记为a2,a3,2个红球记为b3,b4.所以“从两袋中各取一球”包含基本事件为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b3),(a1,b4),(b1,a2),(b1,a3),(b1,b3),(b1,b4),(b2,a2),(b2,a3),(b2,b3),(b2,b4),共有12种.(1)设A表示“从
10、两袋中各取一球,两球颜色相同”,所以事件A包含基本事件为:(a1,a2),(a1,a3),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),共有6种,所以P(A)=.(2)设B表示“从两袋中各取一球,至少有一个白球”,所以事件B包含基本事件为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b3),(a1,b4),(b1,a2),(b1,a3),(b2,a2),(b2,a3),共有8种.所以P(B)=.11.(2013湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量
11、Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量.Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.【解题指南】本题先要确定共种植15株作物,然后弄懂哪些株之间的距离等于1米,哪些超过1米,关键是弄懂“相近”即直线距离不超过1米的含义.【解析】(1)由图可知所种作物总株数为15.其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株
12、,列表如下Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为=46.(2)由(1)知年收获量至少为48kg的有6株,故从15株中随机选取一株,它的年收获量至少为48kg的概率为=.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014合肥高一检测)从装有两个白球和一个红球的袋中不放回地摸两个球,则摸出的两个球中恰有一个红球的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.不放回地摸出两球共有3种情况,即(白1,红),(白2,红),(白1,白2),而恰有一个红球的结果有2个.所以P=.2.(2014宁波高一检测)有一对酷爱运动的俄罗斯年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”,“14”和“索契
13、”的字块,如果婴儿能够排成“2014索契”或者“索契2014”,则他们就给婴儿奖励.假设婴儿能将字块横着正排,那么这个婴儿能得到奖励的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.3块字块共能拼排成以下6种情形:2014索契,20索契14,索契2014,索契14 20,14索契20,14 20索契,即共有6个基本事件.其中这个婴儿能得到奖励的基本事件有2个:2014索契,索契2014,故婴儿能得到奖励的概率为P=.【变式训练】一个盒子里有3只好晶体管,2只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则取到一只好的、一只坏的的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.给3只好晶体管编号为1,2,3,
14、2只坏晶体管编号为4,5,则试验的所有结果为:12,21,13,31,14,41,15,51,23,32,24,42,25,52,34,43,35,53,45,54,共20个,其中事件“取到一只好的、一只坏的”包含12个结果,故其概率为P=.3.(2014淮北高一检测)有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯,假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则这2个人在不同层离开的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.2个人的不同下法共有66=36种,其中这2个人在同一层下的情况有6种,在不同层下的情况有36-6=30种,故所求概率为=.4.(2014绍兴高一检测)甲、乙两人玩猜数字游戏,先
15、由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b1,2,3,4,若|a-b|1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为()A.B.C.D.【解题指南】由条件a,b1,2,3,4,该试验为有放回抽样.【解析】选A.甲、乙所猜数字的情况有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3
16、),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m的概率为_.【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2,分别是2.5和2.8,2.6和2.9,故所求概率为=.答案:6.(2014新课标全国卷)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_.【解析】设数学书为A,B,语文书为C,则不同的排法共
17、有(A,B,C),(A,C,B),(B,C,A),(B,A,C),(C,A,B),(C,B,A)共6种排列方法,其中2本数学书相邻的情况有4种情况,故所求概率为P=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014福建高考)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1 035美元为低收入国家;人均GDP为1 035-4 085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4 085-12 616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如表:行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位:美元)A25%8000B30
18、%4000C15%6000D10%3000E20%10000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准.(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.【解析】(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为(8 0000.25a+4 0000.30a+6 0000.15a+3 0000.10a+10 0000.20a)=6 400.因为6 4004 085,12 616),所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B
19、,E,C,D,C,E,D,E,共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,则事件M包含的基本事件是:A,C,A,E,C,E,共3个,所以所求概率为P(M)=.【方法技巧】构建古典概型解决概率的求解问题的方法(1)判定它是否属于古典概型.(2)正确地列举出试验所有的基本事件,这是解决这类问题的关键和难点所在,然后计算出所求事件包含的基本事件的个数,最后应用公式求解.8.某班同学利用春节进行社会实践,在25,55岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数
20、频率分布直方图:组分组低碳族的人数占本组的频率第一组25,30)1200.6第二组30,35)195p第三组35,40)1000.5第四组40,45)a0.4第五组45,50)300.3第六组50,55150.3(1)补全频率分布直方图并求n,p,a的值.(2)从年龄段在40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在40,45)岁的概率.【解析】(1)第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)5=0.3,=0.06.补全的频率分布直方图如下:第一组的人数为=200,频率为0.045=0.2
21、,所以n=1 000.由题可知,第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为1 0000.3=300,所以p=0.65.第四组的频率为0.035=0.15,所以第四组的人数为1 0000.15=150,所以a=1500.4=60.(2)因为40,45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为6030=21,所以采用分层抽样法抽取6人,40,45)岁中有4人,45,50)岁中有2人.设40,45)岁中的4人为a,b,c,d,45,50)岁中的2人为m,n,则选取2人作为领队的情况有(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n),共15种;其中恰有1人年龄在40,45)岁的情况有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),共8种.所以选取的2名领队中恰有1人年龄在40,45)岁的概率为P=.- 9 -