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1、第三讲 第一课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题1(2018成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(1,0)，(1,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于2，记顶点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设直线ykx2(0k2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且，求实数的取值范围解析：(1)设C(x，y)由题意，可得2(x1)，曲线E的方程为x21(x1)(2)设R(x1，y1)，Q(x2，y2)联立，得消去y，可得(2k2)x24kx20，8k2160，k22.又0k2，k2.由根与系数的关系得，x1x2，
2、x1x2.，点R在点P和点Q之间，x2x1(1)联立，可得.k2，(4，)，4，3，1，实数的取值范围为(1,3)2(2018武汉调研)已知抛物线C：x22py(p0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程解析：设直线AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0，则x1x22pk，x1x22p.(1)由x22py得y，则A，B处的切线斜率的乘积为，点N在以AB为直径的圆上，ANBN，1
3、，p2.(2)易得直线AN：yy1(xx1)，直线BN：yy2(xx2)，联立，得结合式，解得即N(pk，1)|AB|x2x1|，点N到直线AB的距离d，则ABN的面积SABN|AB|d2，当k0时，取等号，ABN的面积的最小值为4，24，p2，故抛物线C的方程为x24y.3(2018山西四校联考)如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴正半轴相交于两点M、N(点M在点N的下方)，且|MN|3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：ANMBNM.解析：(1)设圆C的半径为r(r0)，依题意，圆心C的坐标为(2，r)|MN|3，r2222
4、，解得r2.圆C的方程为(x2)22.(2)证明：把x0代入方程(x2)22，解得y1或y4，即点M(0,1)、N(0,4)当ABx轴时，可知ANMBNM0.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为ykx1.联立方程，消去y得，(12k2)x24kx60.设直线AB交椭圆于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则x1x2，x1x2.kANkBN.若kANkBN0，则ANMBNM.2kx1x23(x1x2)0，ANMBNM.4(2018德州模拟)已知C为圆(x1)2y28的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足0，2.(1)当点P在圆上运动时，求点
5、Q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2y21相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且时，求k的取值范围解析：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以|CP|QC|QP|QC|QA|2|CA|2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a，c1，b1，故点Q的轨迹方程是y21.(2)设直线l：ykxt，F(x1，y1)，H(x2，y2)，直线l与圆x2y21相切1t2k21.联立，得(12k2)x24ktx2t220，16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k20k0，x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kt(x1x2)t2ktt2k21，所以k2|k|，所以k或k.故k的取值范围是，4