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1、2016年高考数学大题限时规范训练三：立体几何部分解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (时间60分钟分数70分)1.(2014南京模拟)如图，ABC是以ABC为直角的三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4.M，N，D分别是SC，AB，BC的中点(1)求证：MNAB；(2)求二面角SNDA的余弦值；(3)求点A到平面SND的距离解以B为坐标原点，BC，BA为x，y轴的正方向，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图)(1)证明由题意得A(0，4，0)，B(0，0，0)，M(1，2，1)，N(0，2，0)，S(0，4，2)，D(1，0，0)所以：(1，0，1)，(
2、0，4，0)，0，MNAB.(2)设平面SND的一个法向量为m(x，y，z)，则：m0，且m0.(0，2，2)，(1，2，0)，即令z1，得：x2，y1，m(2，1，1)又平面AND的法向量为n(0，0，1)，cosm，n.由题图易知二面角SNDA为锐角，故其余弦值为.(3)(0，2，0)，点A到平面SND的距离d.2(2015广东六校联盟模拟)如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCDA1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边ABt(0t2)，连接A1B，A1C，A1D.(1)当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，求二面角BA1CD的值；(2)线段A1C上是否存在一点P，使得A
3、1C平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由解法一(1)根据题意，长方体体积为Vt(2t)1t(2t)1，当且仅当t2t，即t1时体积V有最大值为1，所以当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形，作BMA1C于M，连接DM，BD，因为四边形ABCD为正方形，所以A1BC与A1DC全等，故DMA1C，所以BMD即为所求二面角的平面角因为BC平面AA1B1B，所以A1BC为直角三角形，又A1B，A1C，所以BM，同理可得，DM，在BMD中，根据余弦定理有：cosBMD，因为BMD(0，180)，所以BMD120，即此时二面角BA1CD的值是120.(2)若线
4、段A1C上存在一点P，使得A1C平面BPD，则A1CBD又A1A平面ABCD，所以A1ABD，所以BD平面A1AC.所以BDAC，底面四边形ABCD为正方形，即只有ABCD为正方形时，线段A1C上存在点P满足要求，否则不存在由(1)知，所求点P即为BMA1C的垂足M，此时，A1P.法二根据题意可知，AA1，AB，AD两两垂直，以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：(1)长方体体积为Vt(2t)1t(2t)1，当且仅当t2t，即t1时体积V有最大值为1.所以当长方体ABCDA1B1C1D1的体积最大时，底面四边形ABCD为正方形，则A1(0，0，1)，B(1，0，0
5、)，C(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，0)，设平面A1BC的法向量m(x，y，z)，则取xz1，得：m(1，0，1)，同理可得平面A1CD的法向量n(0，1，1)，所以，cosm，n，又二面角BA1CD为钝角，故值是120.(也可以通过证明B1A平面A1BC写出平面A1BC的法向量)(2)根据题意有B(t，0，0)，C(t，2t，0)，D(0，2t，0)，若线段A1C上存在一点P满足要求，不妨(0)，可得P(t，(2t)，1)(tt，(2t)，1)，(t，2t，0)，即：解得：t1，.即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P，位置是线段A1C上A1PPC21处3.(2015北京
6、西城二模)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求证：ABDE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，请说明理由解：(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.因为EBEA，所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD.因为EODOO，所以AB平面EOD，所以ABED.(2)因为平面ABE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE两两垂直
7、，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OAOBODOE，设OB1，所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)所以(1,1，1)，平面ABE的一个法向量为(0,1,0)设直线EC与平面ABE所成的角为，所以sin |cos，|，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.(3)存在点F，且时，有EC平面FBD.证明如下：由，F，所以，(1,1,0)设平面FBD的法向量为v(a，b，c)，则有所以取a1，得v(1,1,2)因为v(1,1，1)(1,1,2)0，且EC平面FBD，所以EC平面FBD
8、，即点F满足时，有EC平面FBD.4(2015江西新余模拟)已知正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由解：(1)在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，所以AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(0,0,2)，B(2,0,
9、0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)易知平面CDF的法向量为(0,0,2)，设平面EDF的法向量n(x，y，z)，则即取n(3，3)，cos，n，所以二面角EDFC的余弦值为.(3)存在设P(s，t,0)，则(s，t，2)(0，1)t20，t，又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2.把t代入上式得s，在线段BC上存在点P，使APDE.此时，.5(2015广东七校联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，E，F分别为PC，BC的中点(1)求证：EF平面
10、PAD；(2)求证：平面PAB平面PDC；(3)在线段AB上是否存在点G，使得二面角CPDG的余弦值为？说明理由解：(1)证明：如图，连接AC，交BD于点F，底面ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点所以在CPA中，EFPA.又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(2)证明：因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD.底面ABCD为正方形，CDAD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD.又PA平面PAD，所以CDPA.又PAPDAD，所以PAD是等腰直角三角形，且APD，即PAPD.又CDPDD，且CD，PD平面PDC，所以PA平面PDC.又PA平面PAB，所
11、以平面PAB平面PDC.(3)如图，取AD的中点O，连接OP，OF，因为PAPD，所以POAD.又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD，而O，F分别为AD，BD的中点，所以OFAB，又底面ABCD是正方形，故OFAD，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，则有A(1，0,0)，C(1,2,0)，F(0,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，若在AB上存在点G，使得二面角CPDG的余弦值为，连接PG，DG，设G(1，a,0)(0a2)，则(1,0,1)，(2，a,0)，由(2)知平面PDC的一个法向量为(1,0，1)，设平面PGD的法向量为n
12、(x，y，z)则即解得令y2，得n(a，2，a)，所以|cosn，|，解得a.所以，在线段AB上存在点G，使得二面角CPDG的余弦值为.6(2015浙江名校联考)如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)(1)当a为何值时，MN的长度最小；(2)当MN长度最小时，求AB与平面AMN所成角的正弦值解：(1)以B为原点，BA，BE，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Bxyz(如图所示)，则N，M.MN ，当a时，MN的长度最小(2)当a时，M，N，又A(1,0,0)，.设平面AMN的法向量n(x，y，z)，则即取x1，得y1，z1，平面AMN的法向量n(1,1,1)(1,0,0)，AB与平面AMN所成角的正弦值为sin .8