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1、2.3 数学归纳法课后训练1用数学归纳法证明1n(nN，n1)时，第一步应验证不等式()A BC D2利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN)的过程中，由nk到nk1时，左边增加了()项A1 Bk C2k1 D2k3观察下列式子：，则可归纳出1小于()A BC D4已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A30 B26C36 D65设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足“当f(k)k2成立时总可推出f(k1)(k1)2成立”那么下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)
2、25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立6观察下列不等式：，,， ,，由此猜测第n个不等式为_7用数学归纳法证明“当nN时，求证：12222325n1是31的倍数”，当n1时，原式为_，从nk到nk1时需增添的项是_8用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为_9是否存在常数a，b使等式122232n2(n1)22212an(bn21)对于一切nN都成立？若存在，求出a，b，并证明；若不存在，说明理由10已知在数列an中，a1
3、2，an1(1)(an2)，n1,2,3，.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn中，b12，bn1，n1,2，3，.证明：bna4n3，n1,2,3，.参考答案1. 答案：BnN，n1，n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为.2. 答案：D1，共增加了2k项3. 答案：C所猜测的分式的分母为n1，分子恰好是第n1个正奇数，即2n1.4. 答案：Cf(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除证明：当n1,2时，由上得证，设当nk(k2)时，f(k)(2k7)3k9能被36整除，则当nk1时，f(k1)f(k
4、)(2k9)3k1(2k7)3k(6k27)3k(2k7)3k(4k20)3k36(k5)3k2(k2)f(k1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求的最大的m的值等于36.5. 答案：D由数学归纳法原理可得，若f(3)9成立，则当k4时，均有f(k)k2成立，故A不正确若f(5)25成立，则当k5时，均有f(k)k2成立，故B不正确若f(7)49成立，则当k6时，均有f(k)k2成立，故C不正确若f(4)2542成立，则当k4时，均有f(k)k2成立6. 答案：1由3221,7231,15241，可猜测第n个不等式为1.7. 答案：71222232425k25k125k225k3
5、25k4当n1时，原式应加到251124，原式为12222324，从nk到nk1时需添25k25k125(k1)1.8. 答案：25(34k252k1)5634k2当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k252k1)5634k2.9. 答案：分析：令n1,2解方程组求得a，b的值，再用数学归纳法证明a，b的值对一切nN等式都成立解：假设存在a，b使122232n2(n1)22212an(bn21)对于一切nN都成立，令n1,2，得解得下面用数学归纳法证明a，b2时等式对一切nN都成立(1)当n1时，已证(2)假设当nk(kN)时等式成立，即122232k2(
6、k1)22212k(2k21)；则当nk1时，1222k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21当nk1时，等式也成立由(1)和(2)，知存在a，b2，使等式对一切nN都成立10. 答案：解：(1)由题设an1(1)(an2)(1)(an)(1)(2)(1)(an)，所以an1(1)(an)所以数列an是首项为2，公比为1的等比数列则an(1)n，即an的通项公式为an(1)n1，n1,2,3，.(2)用数学归纳法证明当n1时，因为2，b1a12，所以b1a1，结论成立假设当nk时，结论成立，即bka4k3，也即0bka4k3.则当nk1时，bk10，又，所以bk1(3)2(bk)(1)4(a4k3)a4k1，也就是说，当nk1时，结论成立根据和，知bna4n3，n1,2,3，.5