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1、第五章 刚体的转动第1页，共32页，编辑于2022年，星期三5-1 刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动5-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量5-3 刚体定轴转动动能刚体定轴转动动能 力矩的功力矩的功5-4 绕定轴转动的刚体的角动量绕定轴转动的刚体的角动量 和角动量守恒定律和角动量守恒定律第2页，共32页，编辑于2022年，星期三一、刚体一、刚体在外力作用下任意两点间的距离保持不变在外力作用下任意两点间的距离保持不变5-1 刚体的平动、转动和定轴转动刚体的平动、转动和定轴转动在外力作用下形状和大小都不变化的物体在外力作用下形状和大小都不变化的物体形状和大小改变不显
2、著，可视为刚体形状和大小改变不显著，可视为刚体形状改变，不能视为刚体形状改变，不能视为刚体形状大小不变形状大小不变可视为刚体可视为刚体刚体是一种理想模型刚体是一种理想模型刚体刚体 有许多物体在外力不甚大时，有许多物体在外力不甚大时，第3页，共32页，编辑于2022年，星期三二、刚体的平动和转动二、刚体的平动和转动 平动平动刚体作平动刚体作平动质心运动轨迹整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿定律整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿定律其中各点的速度、加速度相等，运动轨迹相同其中各点的速度、加速度相等，运动轨迹相同刚体运动时，其中任一直线的方位始终保持不变刚体运动时，其中任一直线的方位始终保持不变第4
3、页，共32页，编辑于2022年，星期三转轴转轴作作用用力力平动 转动转动转轴转轴转轴转轴放放大大起重吊车起重吊车刚体中所有质点都绕着一直线作圆周运动刚体中所有质点都绕着一直线作圆周运动第5页，共32页，编辑于2022年，星期三刚体的一般运动刚体的一般运动平动和转动（转轴位置变）平动和转动（转轴位置变）轮轴平动车轮绕轴转动转轴平动绕轴转动转轴转轴可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成第6页，共32页，编辑于2022年，星期三三、定轴转动三、定轴转动 特点特点 刚体中任一点都在垂直于轴的平面内刚体中任一点都在垂直于轴的平面内转轴转轴转轴转轴固定的转动转
4、轴固定的转动同一时刻，各质点的角速度和角加速度相等同一时刻，各质点的角速度和角加速度相等在同一时间间隔内，各质点的角位移相等在同一时间间隔内，各质点的角位移相等作半径不同的圆周运动作半径不同的圆周运动第7页，共32页，编辑于2022年，星期三 刚体中各质点的速度和加速度，因其位置和到转轴刚体中各质点的速度和加速度，因其位置和到转轴的距离不同而不同的距离不同而不同P转轴转轴r 匀角速运动匀角速运动有有匀角加速运动匀角加速运动有关系式有关系式描写刚体绕描写刚体绕定轴转动的物理量：定轴转动的物理量：角位移角位移 ，角速度角速度 ，角加速度角加速度 。线量与角量的关系线量与角量的关系为为第8页，共32
5、页，编辑于2022年，星期三 例题例题5-1 飞轮转速为飞轮转速为1800r/min，因制动而均匀，因制动而均匀飞轮均匀减速，为匀变速转动，角加速度为飞轮均匀减速，为匀变速转动，角加速度为解解 (1)设设 为初角速度，由题意得为初角速度，由题意得10s时飞轮边缘点的线速度和切向与法向加速度。时飞轮边缘点的线速度和切向与法向加速度。10s时飞轮的角速度；时飞轮的角速度；(3)设飞轮半径为设飞轮半径为0.5m，求在，求在t=始到停止转动飞轮转过的转数；始到停止转动飞轮转过的转数；(2)求制动开始后求制动开始后t=地减速，经地减速，经20s停止转动。停止转动。(1)求角加速度和从制动开求角加速度和从
6、制动开第9页，共32页，编辑于2022年，星期三从开始制动到停止转动飞轮的角位移从开始制动到停止转动飞轮的角位移 及转数及转数N 分分（2）t=10s 时飞轮的角速度为时飞轮的角速度为相应的切向加速度及法向加速度为相应的切向加速度及法向加速度为（3）t=10s 时，飞轮边缘上一点的线速度为时，飞轮边缘上一点的线速度为别为别为第10页，共32页，编辑于2022年，星期三一、力对转轴的力矩一、力对转轴的力矩使物体转动的作用不仅与力的大小有关而且还使物体转动的作用不仅与力的大小有关而且还5 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量作用力方向转轴作用线到转轴距离（力臂）力的大小力的大小F 与力
7、臂与力臂 d 的乘积的乘积力臂力臂力矩力矩力的作用线与转轴的距离力的作用线与转轴的距离与力的方向以及作用线和转轴的距离有关与力的方向以及作用线和转轴的距离有关第11页，共32页，编辑于2022年，星期三力臂为力臂为力臂为零，力矩等于零力臂为零，力矩等于零1.1.力位于垂直于转轴的平面内力位于垂直于转轴的平面内转轴转轴2.2.力不在垂直于转轴的平面内力不在垂直于转轴的平面内转轴转轴将作用力分解为将作用力分解为垂直于转轴的平面垂直于转轴的平面与转轴平行与转轴平行与转轴垂直与转轴垂直两个分力两个分力如果力的作用线通过转轴如果力的作用线通过转轴第12页，共32页，编辑于2022年，星期三一般规定：一般
8、规定：使刚体沿反时针方向转动的使刚体沿反时针方向转动的力矩为正力矩为正使刚体沿顺时针方向转动的使刚体沿顺时针方向转动的力矩为负力矩为负各个力对转轴的力各个力对转轴的力矩的代数和矩的代数和刚体内各质点间内力对转轴的合力矩为零。刚体内各质点间内力对转轴的合力矩为零。与转轴垂直但通过转轴的力对转轴的力矩为零与转轴垂直但通过转轴的力对转轴的力矩为零；与转轴平行的力对转轴的力矩为零；与转轴平行的力对转轴的力矩为零；对于定轴转动的刚体：对于定轴转动的刚体：刚体所受刚体所受的合力矩的合力矩第13页，共32页，编辑于2022年，星期三二、转动定律二、转动定律刚体可看成由无数质点组成刚体可看成由无数质点组成转轴
9、转轴与转轴垂直的截面与转轴垂直的截面外力内力质点质点Pi的的切向运动为切向运动为两边乘以两边乘以 对所有质点求和，得对所有质点求和，得每个质点绕定轴作半径不同的圆周运动每个质点绕定轴作半径不同的圆周运动第14页，共32页，编辑于2022年，星期三内力成对出现，内力成对出现，内力产生的力矩和等于零，即内力产生的力矩和等于零，即对一定的转轴，刚体的对一定的转轴，刚体的转动惯量转动惯量表示为表示为得刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，得刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，转动定律转动定律外力产生的力矩的代数和为外力产生的力矩的代数和为与刚体的转动惯量成反比，即与刚体的转动惯量成反比，即第15
10、页，共32页，编辑于2022年，星期三三、转动惯量三、转动惯量转动惯量是物体的转动惯性大小的量度转动惯量是物体的转动惯性大小的量度根据转动惯量的定义根据转动惯量的定义决定刚体的转动惯量大小的因素决定刚体的转动惯量大小的因素为为 刚体的总质量刚体的总质量 刚体的质量分布刚体的质量分布 刚体的转轴的位置刚体的转轴的位置转轴转轴I转轴转轴II总质量总质量 m反之，转动状态容易改变反之，转动状态容易改变转动惯量越大，欲改变其转动状态越困难转动惯量越大，欲改变其转动状态越困难第16页，共32页，编辑于2022年，星期三 质点组成的系统的质点组成的系统的转动惯量转动惯量1.转动惯量的计算转动惯量的计算 质
11、量连续分布的物体的质量连续分布的物体的转动惯量转动惯量线密度线密度转轴转轴线元线元rL面密度面密度转轴转轴面元面元rS体密度体密度r转轴转轴体元体元V第17页，共32页，编辑于2022年，星期三质量均匀分布的几种刚体的转动惯量质量均匀分布的几种刚体的转动惯量第18页，共32页，编辑于2022年，星期三 例题例题5-2 求质量为求质量为 m、长为、长为 l 的均匀细棒对于的均匀细棒对于质量为质量为 棒的质量线密度棒的质量线密度 ，代入上式得，代入上式得OOxdxx解解 在棒上取距轴在棒上取距轴OO为为x、长为、长为dx的一小段的一小段根据转动惯量定义，棒对轴根据转动惯量定义，棒对轴OO的转动惯量
12、为的转动惯量为通过棒的中点而与棒垂直的轴的转动惯量。通过棒的中点而与棒垂直的轴的转动惯量。第19页，共32页，编辑于2022年，星期三例题例题5-3 求质量为求质量为 m、半径为、半径为 r 的匀质圆盘的匀质圆盘解解 在圆盘上取半径为在圆盘上取半径为 x，宽，宽dx 的圆环的圆环圆盘的质量面密度圆盘的质量面密度代入上式得代入上式得对于通过圆心而垂直于圆平面的轴的转动惯量。对于通过圆心而垂直于圆平面的轴的转动惯量。圆盘对通过圆心圆盘对通过圆心O而垂直圆平面的轴的转动惯量为而垂直圆平面的轴的转动惯量为质量为质量为面积为面积为第20页，共32页，编辑于2022年，星期三2.转动定律的应用转动定律的应
13、用基本步骤：基本步骤：隔离法选择研究对象；隔离法选择研究对象；质点受力分析和刚体受力矩分析；质点受力分析和刚体受力矩分析；对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律；对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律；建立角量与线量的关系，求解方程；建立角量与线量的关系，求解方程；结果分析及讨论。结果分析及讨论。第21页，共32页，编辑于2022年，星期三例题例题5-4 半径分别为半径分别为R1、R2的阶梯形滑轮，的阶梯形滑轮，转转m1m2m2m1解解假设假设滑轮沿顺时针方向转动滑轮沿顺时针方向转动对轻绳应有对轻绳应有受力分析受力分析角加速度角加速度 及各绳中张力及各绳中张力FT1、FT2。为为m1、m2的物
14、体，忽略滑轮与轴间摩擦，求滑轮的的物体，忽略滑轮与轴间摩擦，求滑轮的动动惯量为惯量为 J，其上反向绕有两根细绳，其上反向绕有两根细绳，各悬挂质量各悬挂质量第22页，共32页，编辑于2022年，星期三选取物体运动方向为坐标轴正向选取物体运动方向为坐标轴正向滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度滑轮边缘的切向加速度等于物体的加速度解以上各式得解以上各式得根据牛顿第二定律和转动定律可得根据牛顿第二定律和转动定律可得第23页，共32页，编辑于2022年，星期三一、转动动能一、转动动能5-3 刚体定轴刚体定轴转动动能转动动能 力矩的功力矩的功质量为质量为 的质点动能为的质点动能为等于所有质点动能相加等于所
15、有质点动能相加转动惯量转轴转轴刚体转动动能刚体转动动能第24页，共32页，编辑于2022年，星期三二、力矩的功二、力矩的功垂直于转轴的平面垂直于转轴的平面转轴转轴O在外力在外力 作用下作用下外力外力 在位移在位移 中的功为中的功为当刚体在力矩当刚体在力矩M作用下角位移为作用下角位移为 时，力矩的功时，力矩的功如果力矩恒定不变如果力矩恒定不变力的作用点位移力的作用点位移 的大小为的大小为角位移角位移第25页，共32页，编辑于2022年，星期三根据转动定律，合外力矩为根据转动定律，合外力矩为在在dt时间内刚体角位移为时间内刚体角位移为则则当刚体角速度由当刚体角速度由 变为变为 时，合外力矩的功时，
16、合外力矩的功合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量第26页，共32页，编辑于2022年，星期三例题例题5-5 质量为质量为 m、长为、长为 l 的均匀细杆的均匀细杆可绕水可绕水OAhC重力矩所作元功为重力矩所作元功为当杆沿升高方向有角位移当杆沿升高方向有角位移d 时，时，解解高度。高度。气阻力和轴上摩擦，求杆摆动时端点气阻力和轴上摩擦，求杆摆动时端点A 升高的最大升高的最大点时的速率为点时的速率为v0，杆的转动惯量为杆的转动惯量为 ，忽略空，忽略空平光滑轴平光滑轴 O在竖直平面内自由转动。端点在竖直平面内自由转动。端点A 过过最低最低第27页，
17、共32页，编辑于2022年，星期三当杆从平衡位置转到最大角位移当杆从平衡位置转到最大角位移 m处，处，因因平衡位置处平衡位置处则得则得重力矩所作总功为重力矩所作总功为，得，得合外力的功等于转动动能的增量，得合外力的功等于转动动能的增量，得转到最大角位移转到最大角位移 m处处 ，第28页，共32页，编辑于2022年，星期三刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量为为5-4 绕定轴绕定轴转动的刚体的角动量和角转动的刚体的角动量和角动量守恒定律动量守恒定律转轴转轴对转轴的角动量对转轴的角动量为为转动定律转动定律可写为可写为此式不但适用于绕定轴转动的刚体此式不但适用于绕定轴转动的刚体刚体中质量为刚体中质量
18、为 的质点的质点也适用于绕定轴转动的任意物体和物体系也适用于绕定轴转动的任意物体和物体系第29页，共32页，编辑于2022年，星期三 角动量守恒定律角动量守恒定律 当作用于转动物体的合外力矩当作用于转动物体的合外力矩 M=0 时，得时，得角动量守恒定律角动量守恒定律L=J =常量常量即即当作用于转动物体的合外力矩为零时当作用于转动物体的合外力矩为零时 J 减小w 增大物体的角动量保持不变物体的角动量保持不变第30页，共32页，编辑于2022年，星期三系统的总角动量将保持不变系统的总角动量将保持不变常量常量合外力矩为零时有合外力矩为零时有自然界的普遍规律之一自然界的普遍规律之一对于物体系统对于物
19、体系统如果系统合外力矩为零时如果系统合外力矩为零时角动量守恒定律是角动量守恒定律是第31页，共32页，编辑于2022年，星期三 例题例题5-6 水平放置的圆盘形转台质量为水平放置的圆盘形转台质量为m，半半解解 人和转台为一系统，系统未受外力矩作用，人和转台为一系统，系统未受外力矩作用，常量常量系统角动量守恒系统角动量守恒，则，则 1 1转动，当人转动，当人走到台边后，求人与转台的角速度。走到台边后，求人与转台的角速度。的人站在台上距转轴为的人站在台上距转轴为R/2 处，人和转台以角速度处，人和转台以角速度径为径为R，可绕过中心的光滑竖直轴转动，质量为，可绕过中心的光滑竖直轴转动，质量为 m即即第32页，共32页，编辑于2022年，星期三