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1、第11章直流电路本讲稿第一页，共四十六页主要内容：主要内容：(1)电流强度和电流密度；电流强度和电流密度；(2)欧姆定律及其微分形式；欧姆定律及其微分形式；(3)电源及其电动势；电源及其电动势；(4)基尔霍夫定律及其应用。基尔霍夫定律及其应用。本讲稿第二页，共四十六页11-1 恒 定 电 流本讲稿第三页，共四十六页1、电流强度：电流强度：单位时间内通过导体任一截面的电量称为单位时间内通过导体任一截面的电量称为电流强度电流强度。电流在导体内的分布一般是不均匀的（大块导体、趋肤效应电流在导体内的分布一般是不均匀的（大块导体、趋肤效应etc.）。可用电流密度（矢量）来讨论导体内的电流分布。）。可用电
2、流密度（矢量）来讨论导体内的电流分布。单位：安培单位：安培本讲稿第四页，共四十六页2、电流密度：电流密度：电流在导体内的流动形成一个电流场。电流在导体内的流动形成一个电流场。导体内无电场时：电子作无规则运动。导体内无电场时：电子作无规则运动。导体内由电场时：除无规则热运动外，电子逆电场方向导体内由电场时：除无规则热运动外，电子逆电场方向作宏观定向运动，形成电流。作宏观定向运动，形成电流。设正电荷定向运动的平均速度（漂移速度）为设正电荷定向运动的平均速度（漂移速度）为v，导体内，导体内电荷数密度为电荷数密度为n，则：，则：或：或：v dtdSq本讲稿第五页，共四十六页定义：电流密度矢量：定义：电
3、流密度矢量：则：则：对正载流子，电流密度与载流子运动方向相同；对正载流子，电流密度与载流子运动方向相同；对负载流子，电流密度与载流子运动方向相反。对负载流子，电流密度与载流子运动方向相反。IIdSdS当当 时：时：或：或：当当 时：时：通过导体内任一曲面通过导体内任一曲面S的电流为：的电流为：SdS本讲稿第六页，共四十六页3、电流的连续性方程：电流的连续性方程：导体内任取闭合曲面，规定单位法线矢量由里向外。导体内任取闭合曲面，规定单位法线矢量由里向外。称为电流的称为电流的连续性方程连续性方程。由电荷守恒定律：由电荷守恒定律：dt时间内，时间内，S面内电量的减少等于该时间内通过面内电量的减少等于
4、该时间内通过S面流出的面流出的电量。电量。本讲稿第七页，共四十六页4、恒定电流、基尔霍夫第一定律：恒定电流、基尔霍夫第一定律：恒定电流：导体内各处的电流密度不随时间变化。恒定电流：导体内各处的电流密度不随时间变化。即对导体内任意封闭曲面：即对导体内任意封闭曲面：称为称为电流的恒定条件电流的恒定条件。推论：推论：恒定电流的电流线不可能在任何地方中断恒定电流的电流线不可能在任何地方中断。或：或：恒定电路（直流电路）必须是闭合的恒定电路（直流电路）必须是闭合的。本讲稿第八页，共四十六页电流恒定时，导体内的电荷分布不变，产生的电场称为电流恒定时，导体内的电荷分布不变，产生的电场称为恒定电场恒定电场。恒
5、定电场与静电场一样服从高斯定理和环路积分为零的环路恒定电场与静电场一样服从高斯定理和环路积分为零的环路定理；定理；导体内的恒定电场不为零；导体内的恒定电场不为零；恒定电场由运动电荷产生，所以恒定电场的存在伴随恒定电场由运动电荷产生，所以恒定电场的存在伴随着能量的转换；而静电场由静止的电荷产生，维持静电场着能量的转换；而静电场由静止的电荷产生，维持静电场不需要能量的转换。不需要能量的转换。恒定电场与静电场的相同处：恒定电场与静电场的相同处：恒定电场与静电场的不同处：恒定电场与静电场的不同处：本讲稿第九页，共四十六页恒定电流电路（直流电路）中，若干根导线相交处称为恒定电流电路（直流电路）中，若干根
6、导线相交处称为节点节点。设设流入节点的电流为负，流出节点的电流为正。流入节点的电流为负，流出节点的电流为正。由电流的恒定条件：由电流的恒定条件：或：或：称为称为基尔霍夫第一定律基尔霍夫第一定律（节点电流定律节点电流定律）。）。其实质为电荷守恒定律。其实质为电荷守恒定律。I1I2I4I3S本讲稿第十页，共四十六页11-2 欧姆定律 电阻本讲稿第十一页，共四十六页1、欧姆定律：欧姆定律：温度一定时，一段导体的温度一定时，一段导体的欧姆定律欧姆定律为：为：R：电阻：电阻 单位：单位：欧姆欧姆线性电阻：线性电阻：R=常量，与电流、电压无关；常量，与电流、电压无关；G：电导：电导 单位：西单位：西门子门
7、子非线性电阻：非线性电阻：R 随电流、电压变化。随电流、电压变化。UI本讲稿第十二页，共四十六页2、电电 阻：阻：对粗细均匀的导体：对粗细均匀的导体：对非均匀导体（粗细不均匀或电阻率不均匀）：对非均匀导体（粗细不均匀或电阻率不均匀）：Sl：电阻率：电阻率 单位：单位：电导率：电导率 单位：单位：本讲稿第十三页，共四十六页当温度变化时（变化范围不大）：当温度变化时（变化范围不大）：当导体的线膨胀系数可忽略时：当导体的线膨胀系数可忽略时：0：0 时的时的电阻率电阻率；：电阻温度系数电阻温度系数 （p.199表表11-1）利用上式可制成电阻温度计。（如：利用上式可制成电阻温度计。（如：铂电阻温度计）
8、铂电阻温度计）本讲稿第十四页，共四十六页3、欧姆定律的微分形式：欧姆定律的微分形式：电荷运动受电场影响，所以电流场的分布与电场的分布电荷运动受电场影响，所以电流场的分布与电场的分布有关。有关。IIdldSdI沿电流方向取一电流管，则：沿电流方向取一电流管，则：欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式即：即：上式也适用于非稳定电流的情况。上式也适用于非稳定电流的情况。dldSUU+dUdI本讲稿第十五页，共四十六页例11-2例例11-2：求同轴电缆两柱面间的电阻（漏电电阻）及漏电求同轴电缆两柱面间的电阻（漏电电阻）及漏电流密度（设两柱面间电势差为流密度（设两柱面间电势差为U）。在两柱面间的介质中取一
9、同轴柱壳，则在两柱面间的介质中取一同轴柱壳，则柱壳内、外表面间的电阻为：柱壳内、外表面间的电阻为：lR2R1rdr漏电电阻：漏电电阻：漏电电流：漏电电流：漏电流密度：漏电流密度：本讲稿第十六页，共四十六页习11-12习题习题11-12：半径为半径为a的球形电极一半埋入大地，大地电阻率的球形电极一半埋入大地，大地电阻率为为。设电流沿径向均匀分布，求接地电阻。设电流沿径向均匀分布，求接地电阻。接地电阻是指接地电极和距离电极接地电阻是指接地电极和距离电极很远处的电阻。很远处的电阻。取如图所示的半球壳，则：取如图所示的半球壳，则：rdr本讲稿第十七页，共四十六页11-3 电 流 做 的 功本讲稿第十八
10、页，共四十六页1、电功、电功率：电功、电功率：电量电量q通过负载（用电器）时，电场通过负载（用电器）时，电场力作功（电流的功）：力作功（电流的功）：ABRIU1U2电功率：电功率：对纯电阻负载：对纯电阻负载：是电源输出的功率，是电源输出的功率，或或 是电是电阻消耗的功率。仅对纯电阻负载，两者才相等。阻消耗的功率。仅对纯电阻负载，两者才相等。本讲稿第十九页，共四十六页2、焦耳定律：焦耳定律：电场使电子获得动能，电子与晶格点阵（离子）碰撞将动能电场使电子获得动能，电子与晶格点阵（离子）碰撞将动能转化为晶格振动的内能（电流的热效应），与此内能相对应转化为晶格振动的内能（电流的热效应），与此内能相对应
11、的热量称为的热量称为焦耳热焦耳热。对纯电阻负载，电流的功全部转化为焦耳热：对纯电阻负载，电流的功全部转化为焦耳热：焦耳定律焦耳定律单位体积导体每秒放出的焦耳热称为单位体积导体每秒放出的焦耳热称为热功率密度热功率密度。由欧姆。由欧姆定律的微分形式可以证明：定律的微分形式可以证明：焦耳定律的微分形式。焦耳定律的微分形式。本讲稿第二十页，共四十六页11-4 电 动 势本讲稿第二十一页，共四十六页1、电动势：电动势：两个电势不相等的导体用导线连接时会产生电流（如电容器两个电势不相等的导体用导线连接时会产生电流（如电容器的放电）。但这电流很快就衰减、消失。的放电）。但这电流很快就衰减、消失。结论：结论：
12、仅靠静电力不可能维持恒定电流。仅靠静电力不可能维持恒定电流。为了维持恒定电流，需要借助于为了维持恒定电流，需要借助于“非静电非静电力力”的作用，它能将其它形式的能量（化的作用，它能将其它形式的能量（化学能、机械能、太阳能等）转化为电势能，学能、机械能、太阳能等）转化为电势能，从而将从而将 B 板上的正电荷移到板上的正电荷移到 A 板，维持极板，维持极板间电势差不变。板间电势差不变。能提供非静电力的装置称为能提供非静电力的装置称为电源电源。I+-RI本讲稿第二十二页，共四十六页I+-RI电 源设设 表示单位正电荷所受的非静电力：表示单位正电荷所受的非静电力：的方向与场强的方向与场强 相反。相反。
13、正电荷沿闭合电路一周，静电力和非静正电荷沿闭合电路一周，静电力和非静电力的功为：电力的功为：电动势电动势：单位正电荷绕闭合回路一周，非静电力的功。：单位正电荷绕闭合回路一周，非静电力的功。若非静电力只在电源内：若非静电力只在电源内：本讲稿第二十三页，共四十六页2、全电路欧姆定律、电源的端电压：全电路欧姆定律、电源的端电压：电源放电时，电源放电时，t 时间内电源作功：时间内电源作功：此功完全转化为电阻上的焦耳热：此功完全转化为电阻上的焦耳热：即：即：放电时电源的端电压：放电时电源的端电压：充电时电源的端电压：充电时电源的端电压：开路时电源的端电压：开路时电源的端电压：RIrAB本讲稿第二十四页，
14、共四十六页 基尔霍夫基尔霍夫基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)(G.R.Kirchhoff)定律定律定律定律复杂电路：复杂电路：不能化解为等效的电阻不能化解为等效的电阻串、并联电路的组合，含有较复杂串、并联电路的组合，含有较复杂的分支和节点的电路。的分支和节点的电路。复杂电路的基本方程：复杂电路的基本方程：基尔霍夫定律。基尔霍夫定律。10-4 基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)(G.R.Kirchhoff)定律定律基尔霍夫基尔霍夫本讲稿第二十五页，共四十六页（1）基尔霍夫第一定律）基尔霍夫第一定律节点：节点：三条或三条以上通电导线的会合点。三条或三条以上通电导线的会合点
15、。基尔霍夫第一定律：基尔霍夫第一定律：在任一节点处，流向节点的电流和流在任一节点处，流向节点的电流和流出节点的电流的代数和等于零。出节点的电流的代数和等于零。基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)(G.R.Kirchhoff)定律定律本讲稿第二十六页，共四十六页（2）基尔霍夫第二定律）基尔霍夫第二定律基尔霍夫第二定律：基尔霍夫第二定律：沿任一闭合回路中电动势的代数和沿任一闭合回路中电动势的代数和等于回路中电阻上电势降落的代数和。等于回路中电阻上电势降落的代数和。基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)(G.R.Kirchhoff)定律定律本讲稿第二十七页，共四十六页基尔霍夫第二定
16、律：基尔霍夫第二定律：基尔霍夫第一定律：基尔霍夫第一定律：对有对有n个节点，个节点，p 条支路的复杂电路，有条支路的复杂电路，有n1个独立的节点个独立的节点电流方程，电流方程，p(n1)个独立的回路电压方程，独立方程的个独立的回路电压方程，独立方程的总数正好等于支路的总数总数正好等于支路的总数 p。规定：规定：流入节点的电流为负，流出节点的电流为正。流入节点的电流为负，流出节点的电流为正。规定：规定：电动势方向与回路绕行方向相同时电动势方向与回路绕行方向相同时取正。反之取负。取正。反之取负。电流方向与回路绕行方向相同时电流方向与回路绕行方向相同时 I 取正；反之取负。取正；反之取负。基尔霍夫定
17、律应用基尔霍夫定律应用本讲稿第二十八页，共四十六页应用基尔霍夫定律时的注意事项：应用基尔霍夫定律时的注意事项：（1）如果电路中有如果电路中有n个节点，那么只有个节点，那么只有(n-1)个相互个相互 独立的节点电流方程。独立的节点电流方程。（2）新选定的回路中，至少应有一段电路是已选新选定的回路中，至少应有一段电路是已选 回路中未曾出现过的。回路中未曾出现过的。（3）独立方程的个数应等于未知数的个数。独立方程的个数应等于未知数的个数。（4）每一电路上电流的方向可以任意假定，解出每一电路上电流的方向可以任意假定，解出 的结果若为负，则说明电流的方向与假定的的结果若为负，则说明电流的方向与假定的 相
18、反。相反。基尔霍夫基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)(G.R.Kirchhoff)定律定律本讲稿第二十九页，共四十六页例11-4例例11-4：求图示电路中每一支路中的电流。求图示电路中每一支路中的电流。解以上方程得：解以上方程得：假设图示的电流方向和回路绕行方假设图示的电流方向和回路绕行方向。向。R1=10aR2=10R3=1451=220V2=200VbI1I2I3由基尔霍夫第一定律：由基尔霍夫第一定律：由基尔霍夫第二定律：由基尔霍夫第二定律：I2 的实际方向与所设方向相反。的实际方向与所设方向相反。本讲稿第三十页，共四十六页例题例题 图表示把两个无内阻的直流电源并联起来给一个负图表示把
19、两个无内阻的直流电源并联起来给一个负载供电，设已知电源的电动势以及各个电阻，试求每一电载供电，设已知电源的电动势以及各个电阻，试求每一电源所供给的电流源所供给的电流I1以以I2及通过负载的电流及通过负载的电流I。R1BAR2RI1I2I123 1 2基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用本讲稿第三十一页，共四十六页解：解：利用基尔霍夫定律来解利用基尔霍夫定律来解这个问题时，可先根据基尔霍这个问题时，可先根据基尔霍夫第一定律（节点定律）列出夫第一定律（节点定律）列出电流方程，对节点电流方程，对节点A：R1BAR2RI1I2I123 1 2由于这电路只有两个节点，所以从节点定律只能得出一个由于这
20、电路只有两个节点，所以从节点定律只能得出一个独立的方程，由此对节点独立的方程，由此对节点B没有必要再列方程式了。为了没有必要再列方程式了。为了求出各未知电流，还需要两个方程，这两个方程必须利用求出各未知电流，还需要两个方程，这两个方程必须利用基尔霍夫第二定律（回路定律）列出，基尔霍夫第二定律（回路定律）列出，基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用本讲稿第三十二页，共四十六页对这三个联立方程求解对这三个联立方程求解对回路对回路B2A3B：R1BAR2RI1I2I123 1 2对回路对回路B1A2B：基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用本讲稿第三十三页，共四十六页我们可以把式（我们可以把式（
21、6）改写为如下形式）改写为如下形式其中其中 表明图中的负载表明图中的负载R就象是连接在一个电动势为就象是连接在一个电动势为 e和内和内阻为阻为Re的电源上一样。换的电源上一样。换句话说，对于负载句话说，对于负载R来说，来说，图中的两个并联电源可以用一个图中的两个并联电源可以用一个“等效电源等效电源”来代替。来代替。如图所示，等效电动势和等效内阻的公式如上所示。如图所示，等效电动势和等效内阻的公式如上所示。基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用本讲稿第三十四页，共四十六页 不仅两个并联使用的电源可以用一个等效电源来代替，不仅两个并联使用的电源可以用一个等效电源来代替，在分析多回路电路中某一分支
22、电路的电流或电压时，也可在分析多回路电路中某一分支电路的电流或电压时，也可以将电路的其余部分用一个等效电动势和一个等效内阻来以将电路的其余部分用一个等效电动势和一个等效内阻来代替，这就是所谓的等效电源原理。代替，这就是所谓的等效电源原理。R1R2R 1 2ReR e基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用本讲稿第三十五页，共四十六页 再以具体的数值来讨论：再以具体的数值来讨论：（1）设已知，）设已知，1=220V，2=200V，R1=R2=10,R=45 ，则算出各电流分别为则算出各电流分别为基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用本讲稿第三十六页，共四十六页 这三个电流都是正的，表明图中所假
23、定的电流这三个电流都是正的，表明图中所假定的电流方向与实际的电流方向一致，这时两电源都向负载方向与实际的电流方向一致，这时两电源都向负载供电。供电。R1BAR2RI1I2I123 1 2基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用本讲稿第三十七页，共四十六页（2）设已知）设已知 1=220V，2=220V，R1=R2=10,但但R=145 ，则算出各电流分别为则算出各电流分别为基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用本讲稿第三十八页，共四十六页 此时此时I2为负值，表明电流方向与图中所假设的方为负值，表明电流方向与图中所假设的方向相反，即不是从第二个电源的正极流出，反而是从向相反，即不是从第二个电
24、源的正极流出，反而是从它的正极流进去。也就是说，它非但没有向负值供电，它的正极流进去。也就是说，它非但没有向负值供电，反而要由第一个电源对它充电。反而要由第一个电源对它充电。R1BAR2RI1I2I123 1 2基尔霍夫方程组的应用基尔霍夫方程组的应用本讲稿第三十九页，共四十六页例题例题 在图所示的电路中，已知电池在图所示的电路中，已知电池A电动势电动势 A=24V，内电阻，内电阻RiA=2，电，电池池B电动势电动势 B=12V，内电阻，内电阻RiB=1，外电阻外电阻R=3。试计算。试计算 IRB3421IIA（1）电路中的电流；）电路中的电流；（2）电池电池A的端电压的端电压U12；（3）电
25、池）电池B的端电压的端电压U34；（4）电池）电池A消耗的化学能功率及所输出的有效功率；消耗的化学能功率及所输出的有效功率；（5）输入电池）输入电池B的功率及转变为化学能的功率；的功率及转变为化学能的功率；（6）电阻电阻R所产生的热功率。所产生的热功率。一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 本讲稿第四十页，共四十六页（2）设所选定的积分路径自）设所选定的积分路径自1经过电池经过电池A 而到而到2，应用一段，应用一段含源电路的欧姆定律得含源电路的欧姆定律得电流的指向如图中箭头所示的方向。电流的指向如图中箭头所示的方向。解：解：（1）应用闭合电路的欧姆定律得）应用闭合电路的欧姆定律得IRB
26、3421IIA一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 本讲稿第四十一页，共四十六页计算结果表示计算结果表示1处的电势处的电势V1高于高于2处的电势处的电势V2。现在再从现在再从1342这一积分路径来计这一积分路径来计算算1、2之间的电势差。得之间的电势差。得所得结果与前相同。所得结果与前相同。IRB3421IIA一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 本讲稿第四十二页，共四十六页（3）设所选定的积分顺序方）设所选定的积分顺序方向自向自3经过电池经过电池B 而到而到4，仍应，仍应用一段含源电路的欧姆定律得用一段含源电路的欧姆定律得（4）由电动势的定义可知，当电源中通有电流）由电动势的
27、定义可知，当电源中通有电流I时，电源时，电源作功的功率为作功的功率为IRB3421IIA一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 本讲稿第四十三页，共四十六页电池电池A所消耗的化学能功率所消耗的化学能功率P1=I A=2 24W=48W，而其，而其输出功率输出功率P2=IU12=2 20W=40W，消耗于内阻的功率，消耗于内阻的功率P3=I 2RiA=4 2W=8W。P3等于等于P1减去减去P2。IRB3421IIA一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 本讲稿第四十四页，共四十六页IRB3421IIA（6）电阻）电阻R上的热功率上的热功率 P7=I 2R=4 3W=12W。（5）输入电池）输入电池B的功率的功率P4=IU34=14 2W=28W，其中，其中变化为化学能的功率变化为化学能的功率P5=I B=12 2W=24W，消耗于，消耗于内阻的功率内阻的功率P5=P4-P5=I 2RiB=4W。最后应当指出：按能量守恒最后应当指出：按能量守恒定律，电池定律，电池A所消耗的化学能功率，所消耗的化学能功率，应等于电池应等于电池B中转变为化学能的功中转变为化学能的功率以及消耗在外电阻和两电池内率以及消耗在外电阻和两电池内电阻上的热功率。电阻上的热功率。一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 本讲稿第四十五页，共四十六页本讲稿第四十六页，共四十六页